Ispit 1 i Ispit 6, Zadatak 1

Newton-Raphson, jedna iteracija tokova snaga: rešen zadatak

Zadatak sa ispita iz predmeta Analiza elektroenergetskih sistema (AEES), FTN Novi Sad. Rešenje: Miloš Sarić

Analiza elektroenergetskih sistema (AEES), FTN Novi Sad

Zadatak

Na slici 1 dat je elektroenergetski sistem (EES) sa vodom V i elektranom koju čine generator G1 i blok-transformator T1 priključeni u čvoru 1. Podaci o vodu dati su ispod slike 1. Elektrana priključena u čvor 1 i vod imaju dovoljan kapacitet da se pokrije bilo kakav zahtev za potrošnjom. Elektrana održava konstantan moduo napona čvora 1 na 231 kV. Kompleksna snaga potrošnje priključena u čvoru 2 nezavisna je od napona i iznosi 300 MW i 50 MVAr. Postaviti problem ustaljenog stacionarnog režima razmatranog EES u zadatim uslovima, formulisati matematički model tokova snaga, pripremiti ga za rešavanje primenom Newton-Raphson-ovog iterativnog postupka i uraditi jednu iteraciju iterativnog postupka.

Podaci o vodu:

	$X_d$ , $X_i$	$X_0$
V	0,4 Ω/km	$3 \cdot X_d$

Slika 1 – Elektroenergetski sistem

Poznato

$X_d = 0{,}4$ Ω/km
$l = 125$ km
$V_1 = 231$ kV
$P_{p2} = 300$ MW
$Q_{p2} = 50$ MVAr

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Ustaljeni stacionarni režim mreže poznat je kada se znaju fazori napona svih čvorova; iz njih slede snaga elektrane i tok snage po vodu. To je problem proračuna tokova snaga: sistem nelinearnih jednačina bilansa snaga u čvorovima, koji se rešava iterativno, ovde Newton-Raphson-ovim postupkom. Zadatak traži četiri koraka: postavku problema (vrste čvorova i nepoznate), matematički model (jednačine injektiranja), pripremu za Newton-Raphson-ov postupak (Jakobijan i početno rešenje) i jednu iteraciju.

Parametri voda u relativnim jedinicama

U ustaljenom simetričnom režimu postoji samo direktni redosled, pa se od podataka o vodu koristi samo $X_d$ ( $X_i$ i $X_0$ služe za nesimetrične kvarove). Otpornost i otočna susceptansa voda nisu date, pa je vod čista redna reaktansa:

X_V = X_d \cdot l = 0{,}4 \cdot 125 = 50\ \Omega.

Elektrana (G1 i T1) održava napon čvora 1, pa njeni parametri za tokove snaga nisu potrebni. Za bazne veličine uzimamo $S_B = 100$ MVA i za bazni napon baš napon koji elektrana drži, $U_B = 231$ kV, pa je napon čvora 1 jednak 1 r.j.:

\begin{aligned} Z_B &= \frac{U_B^2}{S_B} = \frac{231^2}{100} = 533{,}61\ \Omega, \\ X_V &= \frac{50}{533{,}61} = 0{,}0937\ \rj \end{aligned}

Postavka problema: vrste čvorova

Čvor 1 je referentno-balansni (SL): elektrana drži moduo njegovog napona i ima dovoljan kapacitet da pokrije potrošnju i gubitke, a fazni ugao njegovog napona je referentni. Njegove snage $P_1$ i $Q_1$ su nepoznate i računaju se na kraju, iz rešenja:

V_1^{sp} = 1\ \rj, \qquad \theta_1^{sp} = 0.

Čvor 2 je potrošački (PQ): snaga potrošnje ne zavisi od napona, pa su zadata njegova injektiranja (proizvodnja minus potrošnja), a nepoznati su $V_2$ i $\theta_2$ :

\begin{aligned} P_2^{sp} &= -\frac{300}{100} = -3\ \rj, \\ Q_2^{sp} &= -\frac{50}{100} = -0{,}5\ \rj \end{aligned}

Mreža ima $N = 2$ čvora, $N_{PQ} = 1$ i $N_{PV} = 0$ , pa se rešava $2N_{PQ} + N_{PV} = 2$ jednačine sa dve nepoznate, vektorom:

\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} \theta_2 \\ V_2 \end{bmatrix}.

Matrica admitansi

Admitansa voda je $\ph{y}_V = 1/(\mathrm{j}X_V) = -\mathrm{j}10{,}6722$ r.j., pa je:

\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} = \begin{bmatrix} -\mathrm{j}10{,}6722 & \mathrm{j}10{,}6722 \\ \mathrm{j}10{,}6722 & -\mathrm{j}10{,}6722 \end{bmatrix} \rj,

odnosno:

\begin{aligned} G_{ij} &= 0, \\ B_{11} = B_{22} &= -10{,}6722, \\ B_{12} = B_{21} &= 10{,}6722. \end{aligned}

Matematički model: jednačine injektiranja

U jednačinama bilansa snaga za čvor 2 ostaju, sa $G_{ij} = 0$ , $V_1 = 1$ , $\theta_1 = 0$ i $B_{22} = -B_{21}$ , samo članovi sa $B$ :

\begin{aligned} P_2 &= V_2 V_1 B_{21} \sin\theta_{21} \\ &= 10{,}6722\, V_2 \sin\theta_2, \\ Q_2 &= -V_2^2 B_{22} - V_2 V_1 B_{21} \cos\theta_{21} \\ &= 10{,}6722 \left( V_2^2 - V_2 \cos\theta_2 \right). \end{aligned}

Model tokova snaga su dve jednačine $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0}$ , $\Phi_2 = P_2(\theta_2, V_2) - P_2^{sp} = 0$ i $\Psi_2 = Q_2(\theta_2, V_2) - Q_2^{sp} = 0$ , ovde:

\begin{aligned} \Phi_2 &= 10{,}6722\, V_2 \sin\theta_2 + 3 = 0, \\ \Psi_2 &= 10{,}6722 \left( V_2^2 - V_2 \cos\theta_2 \right) + 0{,}5 = 0. \end{aligned}

Priprema za Newton-Raphson-ov postupak

Newton-Raphson-ov postupak linearizuje model oko tekućeg rešenja $\boldsymbol{X}^{(k)}$ i iz linearizovanih jednačina računa popravku:

\begin{gathered} \begin{bmatrix} \Delta\theta_2 \\ \Delta V_2 \end{bmatrix}^{(k+1)} = -\left[ \boldsymbol{J}^{(k)} \right]^{-1} \begin{bmatrix} \Delta P_2 \\ \Delta Q_2 \end{bmatrix}^{(k)}, \\[1ex] \boldsymbol{J} = \begin{bmatrix} H_{22} & F'_{22} \\ K_{22} & L'_{22} \end{bmatrix}, \end{gathered}

gde su debalansi $\Delta P_2^{(k)} = \Phi_2(\boldsymbol{X}^{(k)})$ i $\Delta Q_2^{(k)} = \Psi_2(\boldsymbol{X}^{(k)})$ vrednosti modela u tekućem rešenju. Elementi Jakobijana (Jacobian matrice) su izvodi jednačina bilansa po nepoznatim; za čvor 2 i ovu mrežu:

\begin{aligned} H_{22} &= \frac{\partial P_2}{\partial \theta_2} = -Q_2 - V_2^2 B_{22} \\ &= 10{,}6722\, V_2 \cos\theta_2, \\ F'_{22} &= \frac{\partial P_2}{\partial V_2} = \frac{P_2}{V_2} + V_2 G_{22} \\ &= 10{,}6722 \sin\theta_2, \\ K_{22} &= \frac{\partial Q_2}{\partial \theta_2} = P_2 - V_2^2 G_{22} \\ &= 10{,}6722\, V_2 \sin\theta_2, \\ L'_{22} &= \frac{\partial Q_2}{\partial V_2} = \frac{Q_2}{V_2} - V_2 B_{22} \\ &= 21{,}3444\, V_2 - 10{,}6722 \cos\theta_2. \end{aligned}

Za početno rešenje uzima se ravan naponski profil (flat start):

\theta_2^{(0)} = 0, \qquad V_2^{(0)} = 1\ \rj

Prva iteracija

Snage i debalansi u početnom rešenju, gde je $\sin 0 = 0$ i $\cos 0 = 1$ :

\begin{aligned} P_2^{(0)} &= 0, \\ Q_2^{(0)} &= 10{,}6722 \left( 1 - 1 \right) = 0, \\ \Delta P_2^{(0)} &= 0 - (-3) = 3, \\ \Delta Q_2^{(0)} &= 0 - (-0{,}5) = 0{,}5. \end{aligned}

Jakobijan u početnom rešenju:

\boldsymbol{J}^{(0)} = \begin{bmatrix} 10{,}6722 & 0 \\ 0 & 10{,}6722 \end{bmatrix}.

U ravnom profilu je $\sin\theta_2 = 0$ , pa su $F'_{22}$ i $K_{22}$ jednaki nuli: Jakobijan je dijagonalan, i u prvoj iteraciji debalans aktivne snage pomera samo ugao, a reaktivne samo napon:

\begin{aligned} \Delta\theta_2^{(1)} &= -\frac{\Delta P_2^{(0)}}{H_{22}^{(0)}} = -\frac{3}{10{,}6722} \\ &= -0{,}2811\ \text{rad} = -16{,}11^\circ, \\ \Delta V_2^{(1)} &= -\frac{\Delta Q_2^{(0)}}{L'^{(0)}_{22}} = -\frac{0{,}5}{10{,}6722} \\ &= -0{,}04685\ \rj \end{aligned}

Rešenje posle prve iteracije:

\begin{aligned} \theta_2^{(1)} &= \theta_2^{(0)} + \Delta\theta_2^{(1)} \\ &= -0{,}2811\ \text{rad} = -16{,}11^\circ, \\ V_2^{(1)} &= V_2^{(0)} + \Delta V_2^{(1)} \\ &= 0{,}9531\ \rj = 220{,}2\ \text{kV}. \end{aligned}

Provera konvergencije i dalje iteracije

Posle iteracije računaju se debalansi u novom rešenju:

\begin{aligned} \Delta P_2^{(1)} &= 0{,}1781\ \rj, \\ \Delta Q_2^{(1)} &= 0{,}4227\ \rj \end{aligned}

Debalans aktivne snage pao je sa 3 na 0,1781 r.j., a reaktivne samo sa 0,5 na 0,4227 r.j.: ugao od −16,11° povećava gubitke reaktivne snage na vodu, a Jakobijan iz ravnog profila, sa $K_{22} = 0$ , taj uticaj ugla na reaktivnu snagu ne vidi. Od druge iteracije $F'_{22}$ i $K_{22}$ više nisu nula, i postupak brzo konvergira. Za tačnost od $10^{-4}$ r.j. u debalansima (videti kriterijume konvergencije) potrebne su 4 iteracije:

$k$	$\theta_2^{(k)}$ [°]	$V_2^{(k)}$ [r.j.]	$\Delta P_2^{(k)}$ [r.j.]	$\Delta Q_2^{(k)}$ [r.j.]
0	0,00	1,0000	3	0,5
1	−16,11	0,9531	0,1781	0,4227
2	−18,04	0,9018	0,01936	0,02824
3	−18,25	0,8975	0,0001804	0,0002069
4	−18,25	0,8975	$< 10^{-4}$	$< 10^{-4}$

Rešenje je $V_2 = 0{,}8975$ r.j. $= 207{,}3$ kV i $\theta_2 = -18{,}25^\circ$ . Iz njega elektrana u čvoru 1 daje $P_1 = 300$ MW, koliko i potrošnja, jer vod bez otpornosti nema gubitke aktivne snage, i $Q_1 = 157{,}6$ MVAr: 50 MVAr za potrošnju i 107,6 MVAr gubitaka reaktivne snage na reaktansi voda.

Rezultat

Model: $\Phi_2 = 10{,}6722\, V_2 \sin\theta_2 + 3 = 0$ i $\Psi_2 = 10{,}6722 \left( V_2^2 - V_2 \cos\theta_2 \right) + 0{,}5 = 0$ , sa nepoznatim $\theta_2$ i $V_2$ (r.j., $S_B = 100$ MVA, $U_B = 231$ kV).

Posle prve iteracije iz ravnog profila: $\theta_2^{(1)} = -16{,}11^\circ$ i $V_2^{(1)} = 0{,}9531$ r.j. $= 220{,}2$ kV.

Metod u predavanju

Klasifikacija čvorova
Proračun tokova snaga
Jednačine injektiranja
Proračun tokova snaga
Primena opšteg Newton-Raphson-ovog metoda na proračun tokova snaga
Proračun tokova snaga
Normalizacija veličina
Uvod u analizu elektroenergetskih sistema

Slični zadaci

Relativne jedinice, zamenska šema za tokove snaga: rešen zadatak

Teme

Tokovi snaga

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Analiza elektroenergetskih sistema (AEES)Na Drive-u: Udžbenik i predavanja · Vežbe i zadaci · Ispitni rokovi · Usmeni ispit · Rešeni zadaci, rukom

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.