Predavanje 03

Proračun tokova snaga

Analiza elektroenergetskih sistema, TF Čačak

Proračun tokova snaga i naponskih stanja je najviše proučavani i verovatno najvažniji problem u analizi elektroenergetskih sistema. Njegovi rezultati se dalje koriste u drugim oblastima, kao što su planiranje, eksploatacija, upravljanje i drugi.

U suštini, on se sastoji u proračunu fazora napona u čvorovima elektroenergetske mreže u stacionarnom stanju sa sinusoidnom pobudom, pri čemu su konfiguracija i parametri mreže poznati, a terminalni (granični) uslovi unapred poznati. Tek naknadno (na osnovu proračunatih kompleksnih fazora napona čvorova) pristupa se proračunu tokova aktivnih i reaktivnih snaga, kao i gubitaka u sistemu.

Svakom čvoru $i = 1, 2, \cdots, N$ u elektroenergetskoj mreži može se pridružiti sledećih šest promenljivih:

Aktivna i reaktivna snaga priključenih generatora $P_{gi}$ i $Q_{gi}$ , respektivno;
Aktivna i reaktivna snaga priključenih potrošača $P_{pi}$ i $Q_{pi}$ , respektivno;
Moduo i argument fazora napona $V_i$ i $\theta_i$ , respektivno.

Uvođenjem pojmova aktivnih i reaktivnih injektiranja, definisanih kao:

\begin{aligned} P_i &= P_{gi} - P_{pi} \\ Q_i &= Q_{gi} - Q_{pi} \end{aligned} \;; \quad i = 1, 2, \cdots, N,

broj promenljivih po čvoru svodi se na četiri: $P_i$ , $Q_i$ , $V_i$ i $\theta_i$ ( $i = 1, 2, \cdots, N$ ), što za mrežu od N nezavisnih čvorova daje ukupno 4N promenljivih.

Model tokova snaga

Za proračun tokova snaga po pravilu se koristi admitantni model.

Koristi se sistem relativnih jedinica, pošto je postupak svođenja potpuno nepraktičan za velike mreže.

Napred definisani admitantni model mreže je:

\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} \ph{\boldsymbol{V}}

$\ph{\boldsymbol{I}}$ – N-dimenzioni kompleksni vektor struja injektiranja nezavisnih čvorova;
$\ph{\boldsymbol{V}}$ – N-dimenzioni kompleksni vektor fazora napona nezavisnih čvorova,
$\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ – ( $N \times N$ )-dimenziona simetrična kompleksna matrica admitansi nezavisnih čvorova.

Ako se posmatra jedan čvor mreže:

Čvor i sa naponom V_i = V_i/θ_i i strujom injektiranja I_i; otočna admitansa Y_i^0 prema zemlji sa strujom I_i^0 i grane admitansi Y_ij^g sa strujama I_ij^g ka čvoru 1, čvoru j (j ≠ i) i čvoru N

Struja injektiranja u i-tom čvoru jednaka je sumi struja koja teče ka mreži, odnosno:

\ph{I}_i = \ph{I}_i^0 + \sum_{j \in \alpha_i} \ph{I}_{ij}^g = \ph{Y}_i^0 \ph{V}_i + \sum_{j \in \alpha_i} \ph{Y}_{ij}^g (\ph{V}_i - \ph{V}_j).

S druge strane, struja injektiranja u i-tom čvoru može se definisati na osnovu snaga injektiranja, kao:

\ph{I}_i = \frac{\cj{\ph{S}}_i}{\cj{\ph{V}}_i} = \frac{P_i - \mathrm{j} Q_i}{\cj{\ph{V}}_i}.

Izjednačavanjem prethodna dva izraza dobija se:

P_i - \mathrm{j} Q_i = \ph{V}_i \cj{\ph{V}}_i \left( \ph{Y}_i^0 + \sum_{j \in \alpha_i} \ph{Y}_{ij}^g \right) - \cj{\ph{V}}_i \sum_{j \in \alpha_i} \left( \ph{V}_j \ph{Y}_{ij}^g \right);

S druge strane, iz osnovne kompleksne matrične jednačine čvorova $\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} \ph{\boldsymbol{V}}$ , kada se razvije po $\ph{I}_i$ i pomnoži sa $\cj{\ph{V}}_i$ , sledi:

\cj{\ph{S}}_i = \cj{\ph{V}}_i \ph{I}_i = P_i - \mathrm{j} Q_i = \ph{V}_i \cj{\ph{V}}_i \ph{Y}_{ii} + \cj{\ph{V}}_i \sum_{j \in \alpha_i} \left( \ph{V}_j \ph{Y}_{ij} \right).

Poređenjem prethodna dva izraza potvrđuju se ranije izvedeni izrazi za matricu admitansi nezavisnih čvorova:

\boxed{ \ph{Y}_{ij} = \begin{cases} \ph{Y}_i^0 + \sum\limits_{j \in \alpha_i} \ph{Y}_{ij}^g, & i = j \\[1ex] -\ph{Y}_{ij}^g, & i \neq j \end{cases} } .

Vrlo je važno praviti razliku između elementa matrice admitansi nezavisnih čvorova na poziciji ij ( $\ph{Y}_{ij}$ ) i admitanse grane između i-tog i j-tog čvora ( $\ph{Y}_{ij}^g$ ), koji su $\boxed{\ph{Y}_{ij} \neq \ph{Y}_{ij}^g}$ i vezani su prethodnim izrazom.

Takođe, treba se podsetiti veze između impedanse i admitanse grane, koje su ranije izvedene:

\ph{Y}_{ij}^g = G_{ij}^g + \mathrm{j} B_{ij}^g = \frac{1}{\ph{Z}_{ij}^g} = \frac{1}{R_{ij}^g + \mathrm{j} X_{ij}^g},

gde je:

G_{ij}^g = \frac{R_{ij}^g}{(R_{ij}^g)^2 + (X_{ij}^g)^2};

B_{ij}^g = -\frac{X_{ij}^g}{(R_{ij}^g)^2 + (X_{ij}^g)^2}.

Iz prethodno izvedenog izraza za matricu admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ , sledi da je ona simetrična, pa važi da je $\ph{Y}_{ij} = \ph{Y}_{ji}$ , odnosno $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{\mathrm{T}}$ .

Primer formiranja matrice admitansi nezavisnih čvorova:

Mreža od četiri čvora: grana Y_12^g između čvorova 1 i 2, Y_13^g između 1 i 3, Y_23^g između 2 i 3, Y_34^g između 3 i 4, i otočna admitansa Y_1^0 u čvoru 1

Matrica admitansi nezavisnih čvorova je:

\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} = \begin{bmatrix} \ph{Y}_1^0 + \ph{Y}_{12}^g + \ph{Y}_{13}^g & -\ph{Y}_{12}^g & -\ph{Y}_{13}^g & 0 \\ -\ph{Y}_{12}^g & \ph{Y}_{12}^g + \ph{Y}_{23}^g & -\ph{Y}_{23}^g & 0 \\ -\ph{Y}_{13}^g & -\ph{Y}_{23}^g & \ph{Y}_{13}^g + \ph{Y}_{23}^g + \ph{Y}_{34}^g & -\ph{Y}_{34}^g \\ 0 & 0 & -\ph{Y}_{34}^g & \ph{Y}_{34}^g \end{bmatrix}

Dobijeni rezultat potvrđuje simetriju matrice admitansi nezavisnih čvorova.

U prethodnim izrazima je izvođena matrica admitansi (kompleksna) nezavisnih čvorova. U proračunima tokova snaga rešava se sistem realnih jednačina, tako da u njemu figurišu realne matrice konduktansi i susceptansi nezavisnih čvorova. U principu, one se mogu dobiti razdvajanjem matrice admitansi nezavisnih čvorova na realni i imaginarni deo ( $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} = \boldsymbol{G}_{BUS} + \mathrm{j} \boldsymbol{B}_{BUS}$ ), ili posebnim formiranjem tih delova na analogan način:

\boxed{ G_{ij} = \begin{cases} G_i^0 + \sum\limits_{j \in \alpha_i} G_{ij}^g, & i = j \\[1ex] -G_{ij}^g, & i \neq j \end{cases} } ,

\boxed{ B_{ij} = \begin{cases} B_i^0 + \sum\limits_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g, & i = j \\[1ex] -B_{ij}^g, & i \neq j \end{cases} } ,

Iz prethodnog izvođenja važno je uočiti da ako bi u matrici admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ (isto važi za matrice $\boldsymbol{G}_{BUS}$ i $\boldsymbol{B}_{BUS}$ ) bilo $\ph{Y}_i^0 = 0$ ( $i = 1, 2, \cdots, N$ ), ona bi postala singularna, jer bi tada svaki od elemenata na glavnoj dijagonali bio jednak negativnom zbiru elemenata u toj vrsti ili koloni.

Jednačine injektiranja

Polazeći od prethodno izvedene kompleksne jednačine injektiranja

\cj{\ph{S}}_i = P_i - \mathrm{j} Q_i = \ph{V}_i \cj{\ph{V}}_i \ph{Y}_{ii} + \cj{\ph{V}}_i \sum_{j \in \alpha_i} \left( \ph{V}_j \ph{Y}_{ij} \right)

i njenog razdvajanja na realni i imaginarni deo, dobijaju se sledeće dve jednačine aktivnih i reaktivnih injektiranja u čvorovima, odnosno jednačine bilansa snaga u čvorovima:

\boxed{ P_i = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] } \;;

\boxed{ Q_i = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] } \;.

U prethodnim jednačinama je uvaženo: $\ph{Y}_{ij} = G_{ij} + \mathrm{j} B_{ij}$ , $\ph{V}_i = V_i e^{\mathrm{j} \theta_i}$ i $\theta_{ij} = \theta_i - \theta_j = -\theta_{ji}$ .

Druga forma jednačina bilansa snaga je:

\Phi_i = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] - P_i = 0;

\Psi_i = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] - Q_i = 0.

Jedinstvena forma jednačina injektiranja je:

\begin{bmatrix} \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{\lambda}) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ \boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\lambda}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\ \cdots \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix},

ili:

\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\lambda}) = \boldsymbol{0},

gde $\boldsymbol{\lambda}$ podrazumeva funkciju mreže (praktično zavisnost od $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ ).

Klasifikacija čvorova

Prethodni sistem jednačina injektiranja daje $2N$ skalarnih jednačina ( $N$ je broj čvorova u sistemu).

Međutim, svaki čvor karakterišu sledeće nepoznate: $P_i$ , $Q_i$ , $V_i$ i $\theta_i$ . To znači da je ukupan broj nepoznatih u sistemu $4N$ .

Dakle, problem se može rešiti ako se u svakom čvoru unapred specificiraju po dve nepoznate, čime se broj nepoznatih svodi na broj jednačina ( $2N$ ).

U zavisnosti od toga koje se nepoznate unapred specificiraju, a koje se kao nepoznate proračunavaju, vrši se klasifikacija čvorova. Ona je izvršena na bazi prirode problema koji se rešava.

1. Potrošački ili PQ-čvorovi. Njihov ukupan broj je $N_{PQ}$ , a u njima su po pravilu potrošnje veće od proizvodnje. U ovim čvorovima zadaju se aktivna i reaktivna injektiranja ( $P_i^{sp}$ i $Q_i^{sp}$ ). Nepoznate promenljive su moduli i fazni uglovi napona ( $V_i$ i $\theta_i$ ). Ovi čvorovi opisuju se kompleksnim jednačinama:

\ph{S}_i = \ph{S}_i^{sp} = P_i^{sp} + \mathrm{j} Q_i^{sp}; \quad i \in \alpha_{PQ}.

2. Naponski kontrolisani ili PV-čvorovi. Njihov ukupan broj je $N_{PV}$ , a u njima je uglavnom proizvodnja veća od potrošnje. Zavisno od načina na koji se održavaju zadati naponi, ovi čvorovi se dele u dve podgrupe:

2a. Generatorski ili PVG-čvorovi. Njihov ukupan broj je $N_{PVG}$ . U njima su specificirana aktivna injektiranja ( $P_i^{sp}$ ) i moduli fazora napona ( $V_i^{sp}$ ), pri čemu se moduli fazora napona održavaju promenom injektiranja reaktivnih snaga ( $Q_i$ ). Druga nepoznata je fazni ugao napona ( $\theta_i$ ). Ovi čvorovi opisuju se jednačinama:

P_i = P_i^{sp}; \quad V_i = V_i^{sp}; \quad i \in \alpha_{PVG}.

2b. Transformatorski ili PVT-čvorovi. Njihov ukupan broj je $N_{PVT}$ . U njima se specificirani moduli fazora napona ( $V_i^{sp}$ ) održavaju promenom odnosa transformacije regulacionog transformatora vezanog u nekoj grani incidentnoj čvoru. U ovim čvorovima zadaju se aktivna i reaktivna injektiranja ( $P_i^{sp}$ i $Q_i^{sp}$ ) i moduli fazora napona ( $V_i^{sp}$ ), dok su nepoznate promenljive fazni uglovi napona ( $\theta_i$ ) i nenominalni odnos transformacije ( $a_{ki}$ ) regulacionog transformatora u grani između k-tog i i-tog čvora, čijom se promenom održava moduo napona u tom čvoru ( $V_i$ ). Ovi čvorovi opisuju se jednačinama:

\ph{S}_i = \ph{S}_i^{sp} = P_i^{sp} + \mathrm{j} Q_i^{sp}; \quad V_i = V_i^{sp}; \quad i \in \alpha_{PVT}; \quad N_{PVG} + N_{PVT} = N_{PV}.

3. Referentno-balansni (SL) čvor. Najčešće postoji samo jedan SL-čvor (SL – "Slack") u mreži. Koncept balansnog čvora neophodan, jer su Joule-ovi gubici unapred nepoznati, pa se ne može egzaktno izvršiti uravnoteženje potrošnje (zajedno sa gubicima) i proizvodnje na generatorima u svim čvorovima. U tu svrhu obično se koristi neki od naponski kontrolisanih (generatorskih) čvorova (obično sa najvećom mogućnošću u pogledu proizvodnje aktivne snage). Balansni čvor ujedno igra ulogu i referentnog čvora za merenje faznih uglova napona. U ovom čvoru unapred se zadaju moduo ( $V_i^{sp}$ ) i fazni ugao napona ( $\theta_i^{sp}$ , obično $\theta_i^{sp} = 0$ ), a aktivna i reaktivna injektiranja proračunavaju se naknadno, na kraju postupka rešavanja. Ovaj čvor opisuje se jednačinama:

V_i = V_i^{sp}; \quad \theta_i = \theta_i^{sp}; \quad i \in \alpha_{SL}.

Očigledno je:

N_{PQ} + N_{PV} + 1 = N.

Tip čvora	Unapred zadate promenljive	Nepoznate promenljive	Ukupan broj nepoznatih
$PQ;\ i \in \alpha_{PQ}$	$P_i^{sp}$ , $Q_i^{sp}$	$V_i$ , $\theta_i$	$2N_{PQ}$
$PV$
$PVG;\ i \in \alpha_{PVG}$	$P_i^{sp}$ , $V_i^{sp}$	$Q_i$ , $\theta_i$	$2N_{PVG}$
$PVT;\ i \in \alpha_{PVT}$	$P_i^{sp}$ , $Q_i^{sp}$ , $V_i^{sp}$	$\theta_i$ , $a_{ki}$	$2N_{PVT}$
$SL;\ i \in \alpha_{SL}$	$V_i^{sp}$ , $\theta_i^{sp}$	$P_i$ , $Q_i$	$2$
Broj pojedinih promenljivih	$2(N_{PQ} + N_{PVG} + 1) + 3N_{PVT} = 2N + N_{PVT}$	$2(N_{PQ} + N_{PVG} + N_{PVT} + 1) = 2N$	$2N$

Opšti postupak proračuna tokova snaga

Prethodno specificirani sistem jednačina odgovara broju nepoznatih u sistemu.

Međutim, sistem jednačina je nelinearan i nema opšte rešenje (zbog transcendentnosti jednačina), pa se rešava numerički (iterativno), kako bi se odredilo fizički prihvatljivo rešenje.

Opšti postupak proračuna tokova snaga sastoji se iz sledećih koraka:

1. Specifikacija ulaznih podataka:

Numeracija čvorova i topologija mreže.
Električni parametri grana mreže (redne i otočne admitanse $\ph{Y}_{ij}^g$ i $\ph{Y}_{ij}^{g0}$ ).

2. Identifikacija i klasifikacija čvorova (na osnovu numeričkih podataka iz prvog koraka i fizičke prirode problema) na PQ, PVG, PVT i SL čvorove. Formiranje $2N$ -dimenzionog vektora nepoznatih.

3. Formiranje matrice admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ .

4. Formiranje (pisanje) jednačina aktivnih injektiranja u čvorovima ( $\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P_g} - \boldsymbol{P_p}$ i $\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q_g} - \boldsymbol{Q_p}$ ), shodno vrednostima admitansi grana (Korak 1) i definisanoj numeraciji čvorova i specifikaciji promenljivih (Korak 2).

5. Simultano rešavanje skupa od $N_{PQ} + N_{PV}$ jednačina aktivnih injektiranja i $N_{PQ}$ jednačina reaktivnih injektiranja (ukupno $2N_{PQ} + N_{PV}$ ):

V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] - P_i^{sp} = 0; \quad i \in N_{PQ} + N_{PV};

-V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] - Q_i^{sp} = 0; \quad i \in N_{PQ}.

Prethodni sistem jednačina daje rešenje za $N_{PQ} + N_{PV}$ faznih uglova napona i $N_{PQ}$ modula napona.

To znači da se posle ovog koraka, uključujući specificirane vrednosti, raspolaže sa fazorima napona u svim čvorovima, čime je mreža potpuno određena.

6. Proračun preostalih nepoznatih u problemu: injektiranja reaktivnih snaga u PV-čvorovima i aktivnih snaga u SL-čvoru, primenom standardnih izraza za injektiranja u funkciji fazora napona čvorova:

P_i = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right]; \quad i \in N_{SL};

Q_i = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right]; \quad i \in N_{PV} + N_{SL}.

7. Proračun tokova snaga po granama (na jedan od napred opisanih načina).

8. Proračun gubitaka aktivne i reaktivne snage u sistemu (na jedan od napred opisanih načina).

Metode rešavanja tokova snaga

Opšte osobine ovog proračuna su:

Generalno se koriste jednačine pisane na bazi jednačina nezavisnih čvorova (čvor-grana model), pošto na taj način ima manje jednačina.
Koristi se admitantni model, odnosno matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ (slabo popunjena i simetrična matrica). $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$ je puna matrica i teška za formiranje (postupak inverzije matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ je neprimenljiv; postupci formiranja matrice $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$ se neće posebno obrađivati).
Svi metodi su u suštini iterativni, pošto nema eksplicitnog rešenja specificiranog sistema nelinearnih jednačina (danas postoje predlozi neiterativnog rešavanja, ali to još uvek nije našlo masovniju primenu).
Istorijski razvoj metoda: Gauss-ov metod, Gauss-Seidel-ov metod, Newton-ov metod, Newton-Raphson-ov metod, raspregnuti (na primer, Stott-ov) metodi. Industrijski modeli obavezno koriste tehniku retkih matrica.

Kriterijumi konvergencije

Posle specifikacije čvorova vrlo je važno definisati kriterijum konvergencije iterativnog algoritma.

Najčešći kriterijumi konvergencije su:

1. Razlika injektiranih od specificiranih aktivnih i reaktivnih snaga. Imajući u vidu specifikaciju čvorova, ovaj kriterijum se svodi na:

Za sve PQ i PV-čvorove ( $i \in \alpha_{PQ} + \alpha_{PV}$ ):

\Delta P_i = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] - P_i^{sp} \le \varepsilon_P;

Za sve PQ-i PVT-čvorove ( $i \in \alpha_{PQ} + \alpha_{PVT}$ ):

\Delta Q_i = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] - Q_i^{sp} \le \varepsilon_Q.

Vrednost pragova konvergencije obično su: $\varepsilon_P, \varepsilon_Q = (0{,}01 - 0{,}001)$ r.j.

2. Promena izračunatog modula napona u dve susedne iteracije u svim PQ-čvorovima ( $i \in \alpha_{PQ}$ ):

\left| \Delta \ph{V}_i \right| = \left| \ph{V}_i^{(k)} - \ph{V}_i^{(k-1)} \right| \le \varepsilon_V.

Vrednost praga konvergencije obično je: $\varepsilon_V = (0{,}01 - 0{,}0001)$ r.j.

U praksi se više koristi prvi kriterijum konvergencije, osim u specifičnim slučajevima kada to nije moguće.

Gauss-ov metod

Kao što je već rečeno, ovaj metod iterativno admitantnu formu jednačina injektiranja:

\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} \ph{\boldsymbol{V}}.

Konceptualno, rešenje se sprovodi na sledeći način:

Rešenje se inicira pretpostavljajući početnu vrednost napona u svim čvorovima, osim referentno-balansnog čvora, u kome su unapred specificirani moduo i ugao fazora napona).

Zatim se proračunavaju struje injektiranja u čvorovima:

\ph{I}_i = \frac{P_i - \mathrm{j} Q_i}{\cj{\ph{V}}_i}; \quad i = 1, 2, \cdots, N; \quad i \notin \alpha_{SL}.

S druge strane, sa zemlja-čvorom kao referentnim, po I Kirchhoffovom zakonu primenjenom na čvorove mogu se napisati sledeće jednačine za napone:

\ph{V}_i = \frac{1}{\ph{Y}_{ii}} \left( \ph{I}_i - \sum_{j \in \alpha_i} \ph{V}_j \ph{Y}_{ij} \right); \quad i = 1, 2, \cdots, N; \quad i \notin \alpha_{SL}.

Međutim, prethodni postupak se ne primenjuje potpuno dosledno, pošto se u PV-čvorovima unapred specificiraju vrednosti napona.

Iterativna šema proračuna napona sprovodi se kroz sledeće izraze (za inicijalnu iteraciju ( $k = 0$ ) pretpostavljaju se inicijalni naponi):

\ph{V}_i^{(k+1)} = \frac{1}{\ph{Y}_{ii}} \left( \ph{I}_i^{(k+1)} - \sum_{j \in \alpha_i}^{N} \ph{V}_j^{(k)} \ph{Y}_{ij} \right); \quad i = 1, 2, \cdots, N; \quad i \notin \alpha_{SL}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots;

gde je:

\ph{I}_i^{(k+1)} = \frac{P_i^{sp} - \mathrm{j} Q_i^{sp}}{\ph{V}_i^{*(k)}} = \frac{P_i^{sp} - \mathrm{j} Q_i^{sp}}{V_i^{(k)} \underline{/{-\theta_i^{(k)}}}}; \quad i \in \alpha_{PQ};

\ph{I}_i^{(k+1)} = \frac{P_i^{sp} - \mathrm{j} Q_i^{(k)}}{\ph{V}_i^{*(k)}} = \frac{P_i^{sp} - \mathrm{j} Q_i^{(k)}}{V_i^{sp} \underline{/{-\theta_i^{(k)}}}}; \quad i \in \alpha_{PV};

\ph{I}_i^{(k+1)} = \frac{P_i^{(k)} - \mathrm{j} Q_i^{(k)}}{\ph{V}_i^{*sp}} = \frac{P_i^{(k)} - \mathrm{j} Q_i^{(k)}}{V_i^{sp} \underline{/{-\theta_i^{sp}}}}; \quad i \in \alpha_{SL},

gde se aktivna i reaktivna injektiranja koja postoje u prethodnim izrazima proračunavaju iz jednačina injektiranja kao:

P_{SL}^{(k)} = (V_{SL}^{sp})^2 G_{SL,SL} + (V_{SL}^{sp}) \sum_{j \in \alpha_{SL}} \left[ V_j^{(k)} \left( G_{SL,j} \cos(\theta_{SL} - \theta_j^{(k)}) + B_{SL,j} \sin(\theta_{SL} - \theta_j^{(k)}) \right) \right];

Q_i^{(k)} = -\left( V_i^{sp} \right)^2 B_{ii} + V_i^{sp} \sum_{j \in \alpha_i} V_j^{(k)} \left( G_{ij} \sin\theta_{ij}^{(k)} - B_{ij} \cos\theta_{ij}^{(k)} \right); \quad i \in \alpha_{PV};

Q_{SL}^{(k)} = -\left( V_{SL}^{sp} \right)^2 B_{SL,SL} + V_{SL}^{sp} \sum_{j \in \alpha_{SL}} V_j^{(k)} \left( G_{SL,j} \sin(\theta_{SL} - \theta_j^{(k)}) - B_{SL,j} \cos(\theta_{SL} - \theta_j^{(k)}) \right).

Ovaj postupak se sprovodi dok se ne zadovolji jedan od napred definisanih kriterijuma konvergencije.

Na kraju se proračunavaju aktivno i reaktivno injektiranje u referentno-balansnom (SL) čvoru:

\ph{S}_{SL} = P_{SL} + \mathrm{j} Q_{SL} = \ph{V}_{SL}^{sp} \cj{\ph{I}}_{SL} = V_{SL}^{sp} \underline{/\theta_{SL}^{sp}} \, \cj{\ph{I}}_{SL},

gde je:

\ph{I}_{SL} = \sum_{j \in \alpha_{SL}} \ph{I}_{SLj} = \sum_{j \in \alpha_{SL}} \ph{Y}_{SLj} \ph{V}_j.

U prethodnom proračunu moraju se uvažiti i reaktivna ograničenja u generatorski naponski kontrolisanim čvorovima (tipa PVG). Ova ograničenja po pravilu ne postoje u transformatorski naponski kontrolisanim čvorovima (tipa PVT).

U njima se reaktivna injektiranja proračunavaju iz izraza:

Q_i^{(k)} = \operatorname{Im}\left\{ \ph{V}_i^{(k)} \ph{I}_i^{*(k)} \right\} = \operatorname{Im}\left\{ V_i^{sp} \underline{/\theta_i^{(k)}} \, \ph{I}_i^{*(k)} \right\}; \quad i \in \alpha_{PVG},

ili izraza za injektiranje reaktivne snage:

Q_i^{(k)} = -\left( V_i^{sp} \right)^2 B_{ii} + V_i^{sp} \sum_{j \in \alpha_i} V_j^{(k)} \left( G_{ij} \sin\theta_{ij}^{(k)} - B_{ij} \cos\theta_{ij}^{(k)} \right).

Ako se u nekoj iteraciji naruši reaktivno ograničenje u PVG čvoru $Q_i^{\min} \le Q_i^{(k)} \le Q_i^{\max}$ , on se prevodi u PQ-čvor, pri čemu mu se reaktivno opterećenje fiksira na dostignutoj granici. Na taj način u sledećoj iteraciji ima se jedan PQ-čvor više i jedan PV-čvor manje. Međutim, može se desiti da se u sledećoj iteraciji reaktivno injektiranje ponovo vrati u dozvoljene granice, kada se tip čvora ponovo vraća u originalan (PVG). U praksi se najčešće u prvih nekoliko iteracija (dok se ne približi rešenju) ne proveravaju reaktivna ograničenja, a kasnije se za narušena ograničenja čvor prevodi u negativnu vrednost (na primer, sa 2 na −2), kako bi se naznačilo da to nije originalno PQ-čvor i da ga treba vratiti u originalan tip, ako je to moguće.

Prethodni metod je izložen u kompleksnom domenu, mada se u praksi po istoj metodologiji on sprovodi sa algebarskim jednačinama (proračun u kompleksnom domenu obično je sporiji), po praktično istoj metodologiji i sa komplikovanijim izrazima.

Ovaj iterativni metod rešavanja modela tokova snaga je jednostavan, ali vrlo sporo konvergira (opšta osobina Gauss-ovog metoda u svim oblastima), zbog slabe matematičke sprege između čvorova (slaba popunjenost matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ ). Promena napona utiče samo na susedne čvorove. Zato se primenjuju razna ubrzanja, od kojih će jedno biti objašnjeno u nastavku.

Gauss-Seidel-ov metod

Modifikacija koju je u Gauss-ov metod uneo Seidel sastoji se u tome da se ne čeka da se proračunaju naponi svih čvorova, pa da se tek onda izvrši njihova smena. Pošto se proračun sprovodi čvor po čvor (osim referentno-balansnog čvora), ideja je da se proračunati napon jednog čvora odmah iskoristi za proračun napona ostalih čvorova. To znači da je iterativna šema proračuna:

\begin{aligned} \ph{V}_1^{(k+1)} &= \frac{1}{\ph{Y}_{11}} \left( \ph{I}_1^{(k+1)} - \ph{Y}_{12} \ph{V}_2^{(k)} - \ph{Y}_{13} \ph{V}_3^{(k)} - \cdots - \ph{Y}_{1N} \ph{V}_N^{(k)} \right); \\ \ph{V}_2^{(k+1)} &= \frac{1}{\ph{Y}_{22}} \left( \ph{I}_2^{(k+1)} - \ph{Y}_{21} \ph{V}_1^{(k+1)} - \ph{Y}_{23} \ph{V}_3^{(k)} - \cdots - \ph{Y}_{2N} \ph{V}_N^{(k)} \right); \\ &\;\;\vdots \\ \ph{V}_i^{(k+1)} &= \frac{1}{\ph{Y}_{ii}} \left( \ph{I}_i^{(k+1)} - \ph{Y}_{i1} \ph{V}_1^{(k+1)} - \cdots - \ph{Y}_{i,i-1} \ph{V}_{i-1}^{(k+1)} - \cdots - \ph{Y}_{iN} \ph{V}_N^{(k)} \right); \\ &\;\;\vdots \\ \ph{V}_N^{(k+1)} &= \frac{1}{\ph{Y}_{NN}} \left( \ph{I}_N^{(k+1)} - \ph{Y}_{N1} \ph{V}_1^{(k+1)} - \ph{Y}_{N2} \ph{V}_2^{(k+1)} - \cdots - \ph{Y}_{N,N-1} \ph{V}_{N-1}^{(k+1)} \right). \end{aligned}

Struje injektiranja u prethodnim izrazima izračunavaju se na isti način kao kod Gauss-ovog modela. Sve ostale napomene (na primer, u vezi reaktivnih ograničenja, kriterijuma konvergencije i sl.) koje su analizirane u Gauss-ovom modelu važe i ovde.

Prednost ovog metoda je što se greške u pretpostavljenim (ili izračunatim u prethodnoj iteraciji) naponima ne prenose na sve čvorove, već se unutar jedne iteracije svi izračunati naponi odmah koriste, što povoljno utiče na ubrzanje konvergencije.

Predloženi postupak popravlja konvergenciju, ali ona i dalje može biti spora. Da bi se ona dodatno popravila primenjuje se SOR (Successive Over Relaxation) metod ubrzanja. On se sastoji u tome da se posle svake iteracije primenjuje sukcesivna korekcija napona u PQ-čvorovima. Umesto priraštaja napona $\Delta \ph{V}_i^{(k+1)} = \ph{V}_i^{(k+1)} - \ph{V}_i^{(k)}$ za sledeću iteraciju primenjuje se njegova otežana vrednost $\alpha \Delta \ph{V}_i^{(k+1)}$ , pri čemu je $1 \le \alpha \le 2$ . Jedna od varijanti jeste da se različita pojačanja koriste za realni i imaginarni deo napona, odnosno da se različita pojačanja koriste za pojedine čvorove, ili njihove grupe.

Problem prethodnog pristupa je što ne postoje generalne preporuke za usvajanje faktora ubrzanja, već se za svaki sistem (pa čak i radno stanje) mora vršiti njihova optimizacija, što je dosta nepraktično.

Dakle, generalni zaključak je da Gauss-ov algoritam (i njegove modifikacije) ima sporu, ali stabilnu konvergenciju (ovaj algoritam će uvek konvergirati, samo je pitanje za koliko iteracija). Zato su u njemu za broj potrebnih iteracija od posebne važnosti inicijalne vrednosti napona čvorova.

Međutim, i pored ovih nedostataka ovi modeli imaju svoju primenu. Pošto metode zasnovane na gradijentima (koje će biti obrađivane u nastavku) jako zavise od inicijalnog napona (za loše inicijalno pogađanje može se desiti i da ne konvergiraju), onda se u praksi Gauss-ov tip algoritma može koristiti za grubo približavanje rešenju, a onda se gradijentnim metodama iz tako dobijenog dobrog inicijalnog rešenja i vrlo malo iteracija nalazi konačno rešenje. Zato praktično svi profesionalni softverski paketi koji računaju tokove snaga u svojim opcijama imaju i Gauss-ov (ili Gauss-Seidel-ov) algoritam.

Newton-Raphson-ov metod

Ovaj metod u suštini predstavlja n-dimenzionu generalizaciju Newton-Raphson-ovog metoda za rešavanje nelinearnih jednačina sa jednom promenljivom. Metod se sastoji u aproksimaciji nelinearnog problema linearnim u okolini neke radne tačke, i u postupnom približavanju konačnom rešenju u više iteracija.

Zato će metodologija biti prikazana na funkciji jedne promenljive.

Ako je $f(x) = 0$ nelinearna diferencijabilna funkcija sa jednom nepoznatom i ako je $x^{(0)}$ početna procena rešenja, može se u okolini $x^{(0)}$ funkcija razviti u Taylor-ov red, pa ako se zadrži samo na linearnom razvoju, dobija se:

f(x) = f\left( x^{(0)} \right) + f'\left( x^{(0)} \right) \left( x - x^{(0)} \right) = 0.

Rešenje ove jednačine je:

x = x^{(1)} = x^{(0)} - \frac{f\left( x^{(0)} \right)}{f'\left( x^{(0)} \right)} = x^{(0)} - \Delta x^{(1)}.

Dakle, u opštem slučaju prelaz sa jedne na drugu iteraciju daje formulu:

\boxed{ x^{(k+1)} = x^{(k)} - \frac{f\left( x^{(k)} \right)}{f'\left( x^{(k)} \right)} = x^{(k)} - \Delta x^{(k+1)} } .

Vrlo je važna dobra procena početnog pogađanja, jer to smanjuje broj potrebnih iteracija, ili čak može dovesti do divergencije rešenja.

Generalizacijom postupka za n-dimenzionu funkciju je:

\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0},

gde je:

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \begin{bmatrix} f_1(\boldsymbol{X}) & f_2(\boldsymbol{X}) & \cdots & f_n(\boldsymbol{X}) \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ – n-dimenziona vektorska funkcija;
$\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ – n-dimenzioni vektor nepoznatih.

Po analogiji, rešenje prethodne vektorske jednačine je:

\boxed{ \boldsymbol{X}^{(k+1)} = \boldsymbol{X}^{(k)} - \left[ \boldsymbol{F}'\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right) \right]^{-1} \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right) } ; \quad k = 0, 1, 2, \cdots.

$\boldsymbol{F}'\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right)$ se naziva Jacobi-jeva matrica funkcije $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0}$ , koja se definiše kao:

\boldsymbol{F}'\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right) = \left\{ \frac{\partial f_i^{(k)}}{\partial x_j^{(k)}} \right\} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1(\bullet)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1(\bullet)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(\bullet)}{\partial x_n} \\[2ex] \dfrac{\partial f_2(\bullet)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2(\bullet)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_2(\bullet)}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_n(\bullet)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_n(\bullet)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(\bullet)}{\partial x_n} \end{bmatrix}^{(k)} = \boldsymbol{J}\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right) = \boldsymbol{J}^{(k)}.

U ovom slučaju najveći problem je što se pri svakoj iteraciji mora izračunavati i vršiti inverzija matrice Jacobijana. Proračun tokova snaga je funkcija realnog vremena i mora se brzo sprovesti, a inverzija matrice drastično usporava proračun.

Iterativna proračuna sastoji se iz dva dela:

1. Linearizacija nelinearne vektorske funkcije $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0}$ u okolini nekog rešenja $\boldsymbol{X}^{(k)}$ :

\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right) + \boldsymbol{J}^{(k)} \Delta \boldsymbol{X}^{(k)} = \boldsymbol{0}.

2. Vrši se popravka rešenja:

\Delta \boldsymbol{X}^{(k+1)} = -\left[ \boldsymbol{J}^{(k)} \right]^{-1} \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right),

koja koriguje rešenje:

\boldsymbol{X}^{(k+1)} = \boldsymbol{X}^{(k)} + \Delta \boldsymbol{X}^{(k+1)},

posle čega se vrši provera kriterijuma konvergencije:

\left| \boldsymbol{X}^{(k+1)} - \boldsymbol{X}^{(k)} \right| \le \varepsilon.

Primena opšteg Newton-Raphson-ovog metoda na proračun tokova snaga

Polazi se od napred definisanih jednačina aktivnih i reaktivnih injektiranja:

\Phi_i(\bullet) = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] - P_i; \quad P_i = P_i^{sp};

\Psi_i(\bullet) = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] - Q_i; \quad Q_i = Q_i^{sp},

gde $(\bullet)$ kao i ranije podrazumeva $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\lambda})$ .

Drugačiji zapis prethodne jednačine (takođe izveden ranije) je:

\begin{bmatrix} \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{\lambda}) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ \boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{V}, \boldsymbol{Q}, \boldsymbol{\lambda}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\ \cdots \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix}.

U nastavku će biti pretpostavljeno da u sistemu nema PVT-čvorova. Njihov uticaj na proračun biće naknadno analiziran.

Cilj proračuna (objašnjeno napred u koracima sprovođenja proračuna tokova snaga) je:

Naći $N_{PQ}$ modula napona i $N_{PQ}$ faznih uglova napona u PQ-čvorovima.
Naći $N_{PV}$ faznih uglova napona u PV-čvorovima.

To znači da posle klasifikacije čvorova i specifikacije promenljivih ostaje da se istovremeno reši $2N_{PQ} + N_{PV}$ jednačina sa isto toliko nepoznatih (videti Opšti postupak proračuna tokova snaga).

To znači da se vektor $\boldsymbol{X}$ može predstaviti kao:

\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} \left. \begin{matrix} V_i \\ \theta_i \end{matrix} \right\} & i \in \alpha_{PQ} \\[2ex] \left. \theta_i \right\} & i \in \alpha_{PV} \end{bmatrix}; \quad \mathit{Dim}\{\boldsymbol{X}\} = 2N_{PQ} + N_{PV}.

Vektor unapred specificiranih veličina je:

\boldsymbol{Y}^{sp} = \begin{bmatrix} \left. \begin{matrix} P_i^{sp} \\ Q_i^{sp} \end{matrix} \right\} & i \in \alpha_{PQ} \\[2ex] \left. \begin{matrix} P_i^{sp} \\ V_i^{sp} \end{matrix} \right\} & i \in \alpha_{PV} \\[2ex] \left. \begin{matrix} \theta_i^{sp} \\ V_i^{sp} \end{matrix} \right\} & i \in \alpha_{SL} \end{bmatrix}; \quad \mathit{Dim}\{\boldsymbol{Y}\} = 2N_{PQ} + 2N_{PV} + 2 = 2N.

Posle iterativnog proračuna rešenja $\boldsymbol{X}$ , mogu se proračunati i preostale promenljive:

\boldsymbol{Z} = \begin{bmatrix} \left. Q_i \right\} & i \in \alpha_{PV} \\[2ex] \left. \begin{matrix} P_i \\ Q_i \end{matrix} \right\} & i \in \alpha_{SL} \end{bmatrix}; \quad \mathit{Dim}\{\boldsymbol{Z}\} = N_{PV} + 2.

Na ovaj način se kompletira rešenje tokova snaga, odnosno svih $4N$ promenljivih, što znači da je:

\mathit{Dim}\{\boldsymbol{X}\} + \mathit{Dim}\{\boldsymbol{Y}\} + \mathit{Dim}\{\boldsymbol{Z}\} = 4N.

Analiza sastava jednačina $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0}$ daje:

$N_{PQ} + N_{PV}$ jednačina aktivnih injektiranja u PQ- i PV-čvorovima:

\Phi_i(\bullet) = V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij} \right) \right] - P_i^{sp} = 0;

$N_{PQ}$ jednačina reaktivnih injektiranja u PQ-čvorovima:

\Psi_i(\bullet) = -V_i^2 B_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} \left[ V_j \left( G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij} \right) \right] - Q_i^{sp} = 0,

Na skupu jednačina $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{0}$ primenjuje se matrični postupak nalaženja diferencijala funkcija $\Phi(\bullet)$ i $\Psi(\bullet)$ :

\begin{aligned} \Delta \boldsymbol{P} + \frac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}} \Delta \boldsymbol{\theta} + \frac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}} \Delta \boldsymbol{V} &= \boldsymbol{0}; \\ \Delta \boldsymbol{Q} + \frac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}} \Delta \boldsymbol{\theta} + \frac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}} \Delta \boldsymbol{V} &= \boldsymbol{0}. \end{aligned}

Iz prethodne jednačine je:

\begin{aligned} \Delta \boldsymbol{P} &= -\frac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}} \Delta \boldsymbol{\theta} - \frac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}} \Delta \boldsymbol{V} = -\boldsymbol{H} \Delta \boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{F}' \Delta \boldsymbol{V}; \\ \Delta \boldsymbol{Q} &= -\frac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}} \Delta \boldsymbol{\theta} - \frac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}} \Delta \boldsymbol{V} = -\boldsymbol{K} \Delta \boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{L}' \Delta \boldsymbol{V}, \end{aligned}

gde su matrice prvih izvoda funkcija $\Phi(\bullet)$ i $\Psi(\bullet)$ po nepoznatim promenljivim $\theta_i$ i $V_i$ , definisane kao:

$\boldsymbol{H} = \dfrac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}}$ – $((N-1) \times (N-1))$ -dimenziona ( $N - 1 = N_{PQ} + N_{PV}$ ) submatrica;
$\boldsymbol{F}' = \dfrac{\partial \Phi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}}$ – $((N-1) \times N_{PQ})$ -dimenziona submatrica;
$\boldsymbol{K} = \dfrac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{\theta}}$ – $(N_{PQ} \times (N-1))$ -dimenziona submatrica;
$\boldsymbol{L}' = \dfrac{\partial \Psi(\bullet)}{\partial \boldsymbol{V}}$ – $(N_{PQ} \times N_{PQ})$ -dimenziona submatrica.

To znači da se Jacobian matrica može napisati u formi:

\boldsymbol{J} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{F}' \\ \boldsymbol{K} & \boldsymbol{L}' \end{bmatrix},

koja je dimenzija $[(N - 1 + N_{PQ}) \times (N - 1 + N_{PQ})]$ .

Elementi submatrica $\boldsymbol{H}$ , $\boldsymbol{F}'$ , $\boldsymbol{K}$ i $\boldsymbol{L}'$ dati su izrazima:

H_{ik} = \left\{ \frac{\partial \Phi_i(\bullet)}{\partial \theta_k} = \frac{\partial P_i}{\partial \theta_k} \right\} = \begin{cases} V_i V_k (G_{ik} \sin\theta_{ik} - B_{ik} \cos\theta_{ik}), & k = j \neq i; \\ V_i \sum\limits_{j \in \alpha_i} V_j (-G_{ij} \sin\theta_{ij} + B_{ij} \cos\theta_{ij}) = -Q_i - V_i^2 B_{ii}, & k = i. \end{cases}

F'_{ik} = \left\{ \frac{\partial \Phi_i(\bullet)}{\partial V_k} = \frac{\partial P_i}{\partial V_k} \right\} = \begin{cases} V_i (G_{ik} \cos\theta_{ik} + B_{ik} \sin\theta_{ik}), & k = j \neq i; \\ 2 V_i G_{ii} + \sum\limits_{j \in \alpha_i} V_j (G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij}) = \dfrac{P_i}{V_i} + V_i G_{ii}, & k = i. \end{cases}

K_{ik} = \left\{ \frac{\partial \Psi_i(\bullet)}{\partial \theta_k} = \frac{\partial Q_i}{\partial \theta_k} \right\} = \begin{cases} V_i V_k (-G_{ik} \cos\theta_{ik} - B_{ik} \sin\theta_{ik}), & k = j \neq i; \\ V_i \sum\limits_{j \in \alpha_i} V_j (G_{ij} \cos\theta_{ij} + B_{ij} \sin\theta_{ij}) = P_i - V_i^2 G_{ii}, & k = i. \end{cases}

L'_{ik} = \left\{ \frac{\partial \Psi_i(\bullet)}{\partial V_k} = \frac{\partial Q_i}{\partial V_k} \right\} = \begin{cases} V_i (G_{ik} \sin\theta_{ik} - B_{ik} \cos\theta_{ik}), & k = j \neq i; \\ -2 V_i B_{ii} + \sum\limits_{j \in \alpha_i} V_j (G_{ij} \sin\theta_{ij} - B_{ij} \cos\theta_{ij}) = \dfrac{Q_i}{V_i} - V_i B_{ii}, & k = i. \end{cases}

Opšta iterativna šema za rešavanje sistema nelinearnih jednačina (izvedena ranije) je:

\Delta \boldsymbol{X}^{(k+1)} = -\left[ \boldsymbol{J}^{(k)} \right]^{-1} \boldsymbol{F}\left( \boldsymbol{X}^{(k)} \right); \quad k = 0, 1, 2, \cdots,

odnosno, za konkretan slučaj proračuna tokova snaga i naponskih stanja:

\left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \Delta \boldsymbol{V} \end{array} \right]^{(k+1)} = -\left\{ \left[ \begin{array}{c:c} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{F}' \\ \hdashline \boldsymbol{K} & \boldsymbol{L}' \end{array} \right]^{(k)} \right\}^{-1} \left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{P} \\ \hdashline \Delta \boldsymbol{Q} \end{array} \right]^{(k)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots,

iz koje je:

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \boldsymbol{V} \end{array} \right]^{(k+1)} = \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \boldsymbol{V} \end{array} \right]^{(k)} + \left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \Delta \boldsymbol{V} \end{array} \right]^{(k+1)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots.

Često se u osnovnoj linearizovanoj jednačini (odnosno u iterativnoj šemi) priraštaji napona $\Delta V_i$ u PQ-čvorovima dele sa $V_i$ . Na taj način dobija se vektor priraštaja tih napona:

\left[ \frac{\Delta \boldsymbol{V}}{\boldsymbol{V}} \right] = \left\{ \frac{\Delta V_i}{V_i} \right\}; \quad i \in \alpha_{PQ},

gde količnik $\dfrac{\Delta \boldsymbol{V}}{\boldsymbol{V}}$ predstavlja simboličku predstavu vektora, čiji su elementi $\dfrac{\Delta V_i}{V_i}$ .

Na ovaj način dobija se simetrija elemenata Jacobijeve matrice van glavne dijagonale, pa prethodna iterativna šema prelazi u:

\left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \dfrac{\Delta \boldsymbol{V}}{\boldsymbol{V}} \end{array} \right]^{(k+1)} = -\left\{ \left[ \begin{array}{c:c} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{F} \\ \hdashline \boldsymbol{K} & \boldsymbol{L} \end{array} \right]^{(k)} \right\}^{-1} \left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{P} \\ \hdashline \Delta \boldsymbol{Q} \end{array} \right]^{(k)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots,

gde su elementi submatrica $\boldsymbol{H}$ , $\boldsymbol{F}$ , $\boldsymbol{K}$ i $\boldsymbol{L}$ dati parcijalnim izvodima:

\begin{aligned} H_{ik} &= L_{ik} = V_k L'_{ik} = V_i V_k \left( G_{ik} \sin\theta_{ik} - B_{ik} \cos\theta_{ik} \right); && k = j \neq i; \\ H_{ii} &= -Q_i - V_i^2 B_{ii}; \quad L_{ii} = V_i L'_{ii} = Q_i - V_i^2 B_{ii}; && k = i; \\ F_{ik} &= -K_{ik} = V_k F'_{ik} = V_i V_k \left( G_{ik} \cos\theta_{ik} + B_{ik} \sin\theta_{ik} \right); && k = j \neq i; \\ F_{ii} &= V_i F'_{ii} = P_i + V_i^2 G_{ii}; \quad K_{ii} = P_i - V_i^2 G_{ii}; && k = i. \end{aligned}

Prethodnim postupkom dobija se manje izračunavanja prilikom formiranja Jacobiana, ali i bolja konvergencija rešenja.

Rešenje prethodnih linearizovanih jednačina daje rešenje korekcija $\Delta \boldsymbol{\theta}$ i $\Delta \boldsymbol{V}$ (ili $\Delta \boldsymbol{V} / \boldsymbol{V}$ ), a ona sa druge strane daju rešenje promenljivih stanja u sledećoj iteraciji:

\begin{aligned} \boldsymbol{\theta}^{(k+1)} &= \boldsymbol{\theta}^{(k)} + \Delta \boldsymbol{\theta}^{(k+1)}; \\ \boldsymbol{V}^{(k+1)} &= \boldsymbol{V}^{(k)} + \Delta \boldsymbol{V}^{(k+1)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots. \end{aligned}

Proces rešavanja traje dok se ne ispuni unapred zadati uslov konvergencije rešenja (obično dat preko debalansa snaga).

Prethodni iterativni postupak ima odličnu (kvadratnu) konvergenciju u reda 3–5 iteracija (pod pretpostavkom da se ne kreće iz jako lošeg inicijalnog rešenja). To je posledica osobine Jacobiana da dobro odredi pravac najbolje konvergencije ka rešenju. Ovo je daleko bolje nego kod Gauss-Seidelovog modela koji nije imao takvu identifikaciju pravca konvergencije ka rešenju.

Algoritam prethodnog postupka konceptualno je jednostavan i prikazan je na donjoj slici.

Algoritam Newton-Raphson-ovog metoda: ulazni podaci (matrica admitansi elektroenergetske mreže, aktivna i reaktivna injektiranja, klasifikacija čvorova); inicijalna pogađanja za uglove i module fazora napona u čvorovima; proračun debalansa aktivnih i reaktivnih snaga u čvorovima; konvergencija rešenja? Da: izlazni rezultati. Ne: rešavanje jednačina tokova snaga, aktualizacija modula i uglova fazora napona i ponovo proračun debalansa

Kao što je već rečeno, vrlo važno pitanje je inicijalno rešenje. Svakako da što bolje inicijalno pogađanje znatno ubrzava konvergenciju ka rešenju. Suprotno, polazak iz rešenja koje je vrlo daleko od tačnog (zbog nelinearnosti problema) može dovesti do divergencije rešenja.

U praksi se primenjuje jednostavno, a dovoljno tačno, inicijalno pogađanje, koje se naziva “ravan naponski profil“ (“Flat Start“), koji podrazumeva:

\begin{aligned} &\theta_i^{(0)} = 0; \quad i \in \alpha_{PQ} + \alpha_{PV}; \\ \text{i} \;\; &V_i^{(0)} = 1{,}0 \text{ r.j.}; \quad i \in \alpha_{PQ}. \end{aligned}

Osnovni problem prethodnog algoritma je što se Jacobijan matrica mora računati i invertovati u svakoj iteraciji, što zahteva puno računarskog vremena. Imajući u vidu da su tokovi snaga funkcija realnog vremena, čak i sa tako brzim računarima kakvi su danas, to može biti neprihvatljivo za velike sisteme. Svakako da se u tom pogledu situacija iz godine u godinu popravlja, pošto performanse računara značajno brže rastu od veličina elektroenergetskih sistema. Pošto su algoritmi tokova snaga razvijani pre nekoliko decenija, kada su gornji problemi bili jako izraženi, rešenje je traženo u raspregnutim algoritmima sa konstantnom Jacobian matricom, koji se obrađuju u nastavku.

Raspregnuti metodi proračuna tokova snaga

Da bi se objasnila ideja uprošćenih postupaka, posmatra se ranije izvedena jednačina priraštaja koja se iterativno rešava:

\left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\theta} \\ \hdashline \dfrac{\Delta \boldsymbol{V}}{\boldsymbol{V}} \end{array} \right]^{(k+1)} = -\left\{ \left[ \begin{array}{c:c} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{F} \\ \hdashline \boldsymbol{K} & \boldsymbol{L} \end{array} \right]^{(k)} \right\}^{-1} \left[ \begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{P} \\ \hdashline \Delta \boldsymbol{Q} \end{array} \right]^{(k)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots,

gde su:

\begin{aligned} H_{ik} &= \frac{\partial P_i(\bullet)}{\partial \theta_k}; \\ F_{ik} &= V_k \frac{\partial P_i(\bullet)}{\partial V_k}; \\ K_{ik} &= \frac{\partial Q_i(\bullet)}{\partial \theta_k}; \\ L_{ik} &= V_k \frac{\partial Q_i(\bullet)}{\partial V_k}. \end{aligned}

Iskustveno i numerički je pokazano da postoji jaka međusobna veza između aktivnih snaga i uglova fazora napona ( $P{-}\theta$ ), kao i između modula napona i reaktivnih snaga ( $Q{-}V$ ). Ostale međusobne veze ( $P{-}V$ i $Q{-}\theta$ ) su slabe. To se manifestuje u malim vrednostima elemenata submatrica $\boldsymbol{F}$ i $\boldsymbol{K}$ u odnosu na elemente $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}$ u Jacobian matrici. To prirodno sugeriše na razdvajanje ova dva potproblema. Pri tome su karakteristike kvadratne konvergencije Newton-Raphson-ovog metoda sačuvane, ali se postižu značajne uštede u vremenu proračuna i memoriji računara, što je jako važno. Zato su ovi modeli našli veliku primenu i sastavni su deo svih softverskih paketa (primer PSS-E).

Raspregnuti Newton-Raphson-ov metod proračuna tokova snaga

Ako se zanemare submatrice $\boldsymbol{F}$ i $\boldsymbol{K}$ , onda se jednačine tokova snaga rasprežu u sledeću formu:

\begin{aligned} \Delta \boldsymbol{\theta}^{(k+1)} &= -\left[ \boldsymbol{H}^{(k)} \right]^{-1} \Delta \boldsymbol{P}^{(k)}; \\ {\frac{\Delta \boldsymbol{V}}{\boldsymbol{V}}}^{(k+1)} &= -\left[ \boldsymbol{L}^{(k)} \right]^{-1} \Delta \boldsymbol{Q}^{(k)}; \quad k = 0, 1, 2, \cdots, \end{aligned}

gde su elementi pojedinih submatrica kao i ranije:

\begin{aligned} H_{ik} &= L_{ik} = V_i V_k \left( G_{ik} \sin\theta_{ik} - B_{ik} \cos\theta_{ik} \right); && k = j \neq i; \\ H_{ii} &= -V_i^2 B_{ii} - Q_i; \quad L_{ii} = Q_i - V_i^2 B_{ii}; && k = i, \end{aligned}

što pokazuje da se proračun drastično pojednostavljuje.

Pri tome prvih jednačina ima $N - 1$ , a drugih $N_{PQ}$ . Dakle, ukupan broj jednačina je $N - 1 + N_{PQ}$ , što je isto kao u prethodnom (ukupnom) modelu, ali prednost je što se sve jednačine ne moraju rešavati istovremeno (simultano), već mogu sukcesivno, odnosno da se prvo reše jednačine za $\Delta \boldsymbol{\theta}$ , a onda jednačine za $\Delta \boldsymbol{V} / \boldsymbol{V}$ . Takođe, pri proračunu elemenata $L_{ik}$ uvažavaju se izračunate vrednosti uglova fazora napona.

Konvergencija ovog postupka je slična kao i prethodnog (kvadratna). Međutim, zbog znatnog manjeg broja jednačina koje se simultano rešavaju, uštede u vremenu proračuna i memoriji računara su vrlo značajne.

Dalje uprošćenje raspregnutog modela postiže se pretpostavkama:

Dalje uprošćenje raspregnutog modela može se postići uvođenjem novih aproksimacija u izrazima za submatrice $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}$ , u cilju njihovog dovođenja na konstantne vrednosti u svim iteracijama (a ne zavisne od rešenja za $\boldsymbol{\theta}^{(k)}$ i $\boldsymbol{V}^{(k)}$ , pri proračunima istih promenljivih u $(k+1)$ -oj iteraciji).

U realnim elektroenergetskim prenosnim mrežama najviših napona, odnosi između promenljivih i parametara su takvi da važe sledeće relacije:

\begin{gathered} \cos\theta_{ik} \approx 1{,}00 \;\; (\text{obično su uglovi } \theta_{ik} = 10 - 15^{\circ}); \\ \left| G_{ik} \sin\theta_{ik} \right| \ll \left| B_{ik} \right| \;\; (\text{obično je } \left| G_{ik} / B_{ik} \right| = 0{,}1 - 0{,}2); \\ \left| Q_i \right| \ll \left| B_{ii} V_i^2 \right|. \end{gathered}

Uvažavajući gornja uprošćenja, elementi submatrica $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}$ postaju:

\begin{aligned} H_{ik} &= L_{ik} \approx -V_i V_k B_{ik} \cos\theta_{ik} \approx -V_i V_k B_{ik}; \quad k = j \neq i; \\ H_{ii} &= L_{ii} \approx -V_i^2 B_{ii}. \end{aligned}

Međutim, i sa gornjim uprošćenjima, submatrice Jacobian matrice zavise od promenljive stanja, odnosno od napona.

Dalja uprošćenja gornjeg modela, koja dovode do finalizacije brzog raspregnutog Stott-Alsac-ovog metoda rešavanja problema proračuna tokova snaga i naponskih stanja, postižu se sledećim dodatnim pretpostavkama:

Izostavljanjem iz izraza za elemente submatrice $\boldsymbol{H}$ otočnih elemenata i zanemarivanjem uticaja promene admitansi grana regulacionih transformatora (pri promeni njihovih nenominalnih odnosa transformacije – model regulacionog transformatora biće obrađen nešto kasnije), koji malo utiču na rešenje potproblema tokova aktivnih, a znatno na rešenje potproblema tokova reaktivnih snaga.
Izostavljanjem iz izraza za elemente submatrice $\boldsymbol{L}$ uticaja promene admitansi grana faznih transformatora sa promenom ugla fazora napona (model faznog transformatora neće se posebno obrađivati na ovom nivou studija).
Stavljanjem u submatrice $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}$ vrednosti $V_k = 1{,}00$ r.j. i deljenjem elemenata vektora debalansa aktivnih i reaktivnih snaga $\Delta \boldsymbol{P}$ i $\Delta \boldsymbol{Q}$ sa naponom i-tog čvora $V_i$ , čime se formiraju novi modifikovani vektori injektiranja aktivnih ( $\Delta \boldsymbol{P} / \boldsymbol{V}$ ) i reaktivnih snaga ( $\Delta \boldsymbol{Q} / \boldsymbol{V}$ ) (slično kao kod vektora $\Delta \boldsymbol{V} / \boldsymbol{V}$ ).

Posle gornjih uprošćenja, konačne jednačine brzog raspregnutog Stott-Alsac-ovog modela za proračun tokova snaga i naponskih stanja postaju:

\begin{aligned} \left[ \frac{\Delta \boldsymbol{P}}{\boldsymbol{V}} \right] &= \boldsymbol{B}' \Delta \boldsymbol{\theta}; && \text{za sve čvorove, osim } SL\text{-čvora}; \\ \left[ \frac{\Delta \boldsymbol{Q}}{\boldsymbol{V}} \right] &= \boldsymbol{B}'' \Delta \boldsymbol{V}; && \text{za sve } PQ\text{-čvorove}, \end{aligned}

gde je:

$\left[ \dfrac{\Delta \boldsymbol{P}}{\boldsymbol{V}} \right] = \left\{ \dfrac{\Delta P_i}{V_i} \right\}$ – $(N-1)$ -dimenzioni vektor ( $i = 1, 2, \cdots, N$ ; $i \notin \alpha_{SL}$ );
$\left[ \dfrac{\Delta \boldsymbol{Q}}{\boldsymbol{V}} \right] = \left\{ \dfrac{\Delta Q_i}{V_i} \right\}$ – $N_{PQ}$ -dimenzioni vektor ( $i \in \alpha_{PQ}$ ).

$((N-1) \times (N-1))$ -dimenziona submatrica $\boldsymbol{B}'$ i $(N_{PQ} \times N_{PQ})$ -dimenziona submatrica $\boldsymbol{B}''$ su konstantne kvadratne matrice susceptansi.

To su slabo popunjene matrice, čija je struktura identična strukturi submatrica $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}$ . One u sebi sadrže jedino susceptanse elemenata mreže, tako da se izračunavaju samo jednom za ceo proračun, i to na njegovom početku. Ako u elektroenergetskoj mreži nema faznih transformatora, submatrice $\boldsymbol{B}'$ i $\boldsymbol{B}''$ su simetrične (u suprotnom nisu). Njihovi elementi proračunavaju se prema sledećim izrazima:

B'_{ik} = \begin{cases} \sum\limits_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g, & k = i; \\[1ex] -B_{ij}^g, & k = j \neq i; \end{cases} \qquad i = 1, 2, \cdots, N; \; i \notin \alpha_{SL}.

B''_{ik} = \begin{cases} \sum\limits_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g + B_i^0, & k = i; \\[1ex] -B_{ij}^g, & k = j \neq i; \end{cases} \qquad i \in \alpha_{PQ},

gde je $B_i^0$ susceptansa svih otočnih elemenata priključenih u čvoru $i \in \alpha_{PQ}$ .

Najefikasniji način za rešavanje prethodnog modela sastoji se u alternativnom rešavanju jednačina za $\Delta \boldsymbol{\theta}$ i $\Delta \boldsymbol{V}$ , koristeći u svakoj iteraciji poslednju nađenu vrednost napona u PQ-čvorovima. To znači da se u svakoj iteraciji proračunavaju vektori $\Delta \boldsymbol{\theta}$ i $\boldsymbol{\theta}$ , kao i $\Delta \boldsymbol{V}$ i $\boldsymbol{V}$ . Za ilustraciju videti algoritam na donjoj slici.

Konvergencija ka rešenju je i ovde kvadratna, a rešenje čak i u slučaju velikih mreža (reda nekoliko stotina čvorova), dobija se u 2 do 5 iteracija.

Algoritam brzog raspregnutog metoda: ulazni podaci; inicijalno θ i V; proračun ΔP = P − P^sp; da li rešenje za aktivne snage konvergira? Ne: rešiti jednačinu [ΔP/V] = B′Δθ po Δθ i aktualizovati θ = θ + Δθ, zatim rešiti jednačinu [ΔQ/V] = B″ΔV po ΔV i aktualizovati V = V + ΔV, proračun ΔQ = Q − Q^sp; da li rešenje za reaktivne snage konvergira? Da: proračun ΔP = P − P^sp i provera aktivnih snaga, a kad i one konvergiraju, rezultati. Kad aktivne snage konvergiraju na početku, proračun ΔQ = Q − Q^sp i provera reaktivnih snaga, posle koje se ili rešava jednačina za ΔV ili se ide na rezultate

Kompletno raspregnuti jednosmerni (DC) metod proračuna tokova aktivnih snaga

Pošto se naponi i u savremenim EES-ima menjaju u uskim granicama oko nazivnih napona, a fazni uglovi oko nule, uvođenjem pretpostavki u napred opisanom raspregnutom modelu:

\sin\theta_{ij} \approx \theta_{ij}; \quad \cos\theta_{ij} \approx 1{,}00 \text{ r.j.} \;\; \text{i} \;\; V_i \approx 1{,}00 \text{ r.j.},

(uz ranije uvedene aproksimacije $G_{ij} \approx 0$ ) u jednačine bilansa aktivnih snaga, dobija se $(N-1)$ -dimenzioni sistem jednačina:

\begin{aligned} P_i &= \sum_{j \in \alpha_i} P_{ij} = \sum_{j \in \alpha_i} \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}^g} = -\sum_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g \left( \theta_i - \theta_j \right) = -\theta_i \sum_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g + \sum_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g \theta_j \\ &= -B_{ii} \theta_i - \sum_{j \in \alpha_i} B_{ij} \theta_j; \quad i = 1, 2, \cdots, N; \quad i \notin \alpha_{SL}, \end{aligned}

jer je: $B_{ii} = \sum_{j \in \alpha_i} B_{ij}^g$ , $B_{ij} = -B_{ij}^g$ .

Uvođenjem referentnog čvora za merenje uglova fazora napona (SL), matrična forma jednačine injektiranja aktivnih snaga postaje:

\boldsymbol{P_r} = -\boldsymbol{B}'_{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{\theta_r},

gde je $\boldsymbol{B_r} \equiv \boldsymbol{B}' = \{ B_{ij} \}$ – $(N-1)$ -dimenziona redukovana konstantna kvadratna matrica susceptansi brzog raspregnutog modela za proračun tokova aktivnih snaga, a $\boldsymbol{P_r}$ i $\boldsymbol{\theta_r}$ su $(N-1)$ -dimenzioni redukovani vektori aktivnih injektiranja i uglova fazora napona u svim čvorovima (osim referentno-balansnog).

Pošto je EES modelovan bez gubitaka aktivne snage (zbog zanemarenih konduktansi, $G_{ij} \approx 0$ ), to je ovde injektiranje u referentno-balansnom (SL) čvoru:

P_{SL} = -\sum_{\substack{i = 1 \\ i \neq \alpha_{SL}}}^{N} P_i.

Rešenje jednačine injektiranja zbog linearnosti dobija se direktno (neiterativno):

\boldsymbol{\theta_r} = -(\boldsymbol{B_r})^{-1} \boldsymbol{P_r}, \quad \theta_{SL} = \theta_{SL}^{sp} \;\; (\text{obično } \theta_{SL}^{sp} = 0 \text{ rad}),

dok se tokovi aktivnih snaga po granama $\ell = i \div j = 1, 2, \cdots, N;\ i \neq j$ proračunavaju preko formule:

P_\ell = P_{ij} = \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}^g} = -B_{ij}^g (\theta_i - \theta_j) = B_{ij} \theta_{ij}; \quad i = 1, 2, \cdots, N; \quad j \in \alpha_i,

ili u matričnoj formi:

\boldsymbol{P}_\ell = -\boldsymbol{B}_\ell^g \boldsymbol{\theta}_\ell = -\boldsymbol{B}_\ell^g \boldsymbol{A_r} \boldsymbol{\theta_r} = \boldsymbol{B}_\ell^g \boldsymbol{A_r} (\boldsymbol{B_r})^{-1} \boldsymbol{P_r},

gde je:

$\boldsymbol{P}_\ell$ – L-dimenzioni vektor tokova aktivnih snaga $P_\ell$ (u [r.j.]) po granama (L je ukupan broj grana);
$\boldsymbol{B}_\ell^g = \operatorname{diag}\left\{ B_\ell^g \right\}$ – $(L \times L)$ -dimenziona dijagonalna matrica susceptansi grana;
$\boldsymbol{\theta}_\ell$ – L-dimenzioni vektor faznih uglova na krajevima grana (ako $\ell$ -ta grana povezuje i-ti i j-ti čvor, onda je $\theta_\ell = \theta_i - \theta_j$ );
$\boldsymbol{A_r} = \left\{ A_{ij} \right\}$ – $(L \times (N-1))$ -dimenziona redukovana matrica incidencije grana i čvorova (isključena kolona koja odgovara referentnom čvoru).

Kompletno raspregnuti linearni ("DC") model za proračun tokova aktivnih snaga često se koristi za približne proračune, posebno pri planiranju i analizi sigurnosti prenosnih mreža.

Pretpostavka $V_i \approx 1{,}00$ r.j. ne može se primeniti u jednačinama reaktivnih injektiranja, jer bi značila da reaktivne snage injektiranja ne zavise od napona, što je suprotno fizičkoj prirodi problema. Zato se kompletno raspregnuti linearni ("DC") model ne može koristiti za rešavanje problema vezanih za naponsko-reaktivne prilike u EES-ima.

Tretman regulacionih transformatora u proračunima tokova snaga

PVG i PVT-čvorovi pripadaju kategoriji naponski kontrolisanih čvorova. Razlika između njih je u tome što se održavanje napona u nekom PVG-čvoru vrši promenom reaktivnog injektiranja $Q_i$ , a u PVT-čvoru promenom nenominalnog odnosa transformacije $a_{ki}$ regulacionog transformatora u grani između k-tog i i-tog čvora.

Na donjoj slici prikazane su jednopolna i ekvivalentna zamenska šema za slučaj i-tog PVT-čvora.

Jednopolna šema: grana k–i, regulacioni transformator između k-tog čvora i i-tog (PVT) čvora

Ekvivalentna zamenska šema: između k-tog čvora i i-tog (PVT) čvora redna admitansa Y_ki^g = (1/a_ki)·Y_T i po jedna otočna admitansa na svakom kraju prema zemlja-čvoru

U matrici admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ u pozicijama svih PVT i čvorova direktno povezanih sa njima ( $k \in \alpha_{PVT}$ ), pojaviće se modifikovani elementi, kao posledica prisustva grana sa regulacionim transformatorima, koji se na odgovarajući način uračunavaju u elemente $\ph{Y}_{ki}$ matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ .

Međutim, regulacioni transformatori menjaju unapred zadatih promenljivih i vektor nepoznatih, jer se u PVT-čvorovima zadaju promenljive $P_i$ , $Q_i$ i $V_i$ ( $i \in \alpha_{PVT}$ ), a umesto modula napona u PVT-čvorovima pojavljuju se nepoznati nenominalni odnosi transformacije $a_{ki}$ .

Posledica je da se i u Jacobian matrici $\boldsymbol{J}$ pojavljuju članovi parcijalnih izvoda po $a_{ki}$ u svim elementima koji odgovaraju čvorovima i granama u kojima su prisutni regulacioni transformatori, čije su admitanse nesimetričnog $\pi$ -ekvivalenta date na gornjoj slici.

Posebnu teškoću predstavljaju činjenice da su nenominalni odnosi transformacije diskretne promenljive, kao i da sam proračun elemenata Jacobian matrice nije jednostavan, jer su zavisnosti nekih elemenata matrice admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ nelinearne funkcije od $a_{ki}$ .

Prethodni problemi i modifikacije osnovnog algoritma tokova snaga, zbog svoje složenosti, neće se detaljno analizirati analitički.

Teme

Tokovi snaga

Zadaci uz ovo predavanje

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Analiza elektroenergetskih sistemaNa Drive-u: Predavanja · Vežbe · Zadaci