Predavanje 04

Nesimetrična stanja u složenim mrežama

Analiza elektroenergetskih sistema, TF Čačak

Definicije karakterističnih veličina pri kratkom spoju po IEC standardima

Struja kratkog spoja

Povećana struja zbog kratkog spoja.

Očekivana struja kratkog spoja

Struja koja bi tekla kada bi kratak spoj bio zamenjen idealnim spojem zanemarljive impedanse, uz nepromenjen izvor napajanja.

Simetrična struja kratkog spoja

Efektivna vrednost naizmenične komponente očekivane struje kratkog spoja, pri čemu je aperiodična komponenta zanemarena.

Početna simetrična struja kratkog spoja $I_k''$

Efektivna vrednost naizmenične komponente u trenutku nastanka kvara.

Početna simetrična prividna snaga kratkog spoja $S_k''$

Fiktivna vrednost snage određena izrazom:

S_k'' = \sqrt{3}\, U_n I_k'' ,

$U_n$ je nazivni linijski napon.

Ova snaga je uobičajena mera za ocenu intenziteta kvara. Dimenzionisanje opreme vrši se upravo prema njoj.

Jednosmerna (aperiodična) komponenta struje kratkog spoja $i_{DC}$

Srednja vrednost između gornje i donje anvelope krive struje kratkog spoja. Može se izračunati iz izraza:

i_{DC} = \sqrt{2}\, I_k'' e^{-2\pi F_n (R/X) t} ,

$F_n$ nazivna učestanost sistema (50 ili 60 Hz),
$R/X$ odnos otpornosti i reaktanse u ukupnoj impedansi grane preko koje se napaja mesto kvara.

Udarna struja kratkog spoja $i_p$

Maksimalno moguća vrednost očekivane struje kratkog spoja. Kada se kratak spoj napaja iz jednog izvora, izračunava se kao:

i_p = k \sqrt{2}\, I_k'' ,

k udarni koeficijent, koji zavisi od odnosa $R/X$ ukupne impedanse grane, preko koje se napaja kvar. Izračunava se preko približne formule:

k = 1{,}02 + 0{,}98\, e^{-3(R/X)} .

Simetrična rasklopna struja kratkog spoja $I_b$

Efektivna vrednost integrala jednog ciklusa simetrične naizmenične komponente očekivane struje kratkog spoja u trenutku razdvajanja kontakata rasklopne naprave.

Trajna struja kratkog spoja $I_k$

Efektivna vrednost struje kratkog spoja, koja se ustali posle nestanka prelazne pojave.

Ekvivalentna kratkotrajna termička struja kratkog spoja $I_{th}$

To je struja merodavna za proračun toplotnih efekata struje kratkog spoja na provodnicima i električnoj opremi. Računa se kao:

I_{th} = \sqrt{ \frac{1}{\tau_k} \int_0^{\tau_k} i_k^2(t)\, \mathrm{d}t } ,

gde je $\int_0^{\tau_k} i_k^2(t)\, \mathrm{d}t$ toplotni impuls, a $\tau_k$ trajanje kratkog spoja.

To je računski konstantna struja, koja je prema svojim toplotnim efektima u toku nekog vremena $\tau_k$ ekvivalentna stvarnoj, promenljivoj struji kratkog spoja.

Najčešće u praksi nije potrebno tako detaljno proračunavati struju kvara. Dovoljno je izračunati:

$I_k''$ početnu simetričnu suptranzijentnu struju kvara;
$i_P$ udarnu struju;
$I_b$ simetričnu rasklopnu struju kvara;
$I_k$ trajnu struju kratkog spoja;
$i_{DC}$ jednosmernu komponentu (ponekad).

Sve ove veličine određuju se na osnovu $I_k''$ i karakteristika mreže. One zavise od toga da li se kvar napaja sa jedne strane, ili višestrano.

Pored napred navedenih veličina (po IEC standardima) u mnogim zemljama koriste se i neke druge veličine za opis struje kvara, date vrlo skraćeno u nastavku.

Definicije karakterističnih veličina pri kratkom spoju po ANSI standardima

ANSI – Američki standardi (American National Standard Institution).

Simetrična struja posle prve periode

Struja posle jedne periode posle nastanka kvara (praktično bi odgovarala tranzijentnoj struji kvara).

Struja uključenja

Asimetrična struja kratkog spoja koja se izračunava pola periode od nastanka kvara.

Struja prekidanja

Definiše se slično kao udarna struja kratkog spoja $i_P$ .

Struja kratkog spoja posle određenog vremena od nastanka kvara

Struja posle iščezavanja prelazne pojave.

Iz tih definicija se vidi da IEC i ANSI standardi nisu uvek poredivi, tako da to zahteva detaljnije proučavanje, koje se ovde neće vršiti.

Mere za smanjenje struja kratkog spoja

Na struje kratkog spoja dominantno utiču:

Nazivni napon mreže.
Veličina impedansi.

U praksi je vrlo važno da se smanje struje kratkog spoja, jer se time pojevtinjuje rasklopna oprema.

Na nivo nazivnog napona ne može se uticati (osim u fazi planiranja). Dakle, kao rešenje ostaje povećanje impedansi simetričnih komponenti.

Najjednostavniji i najlakši način je promena topologije. To je pogonska manipulacija i praktično bez troškova.

Ako se moraju menjati impedanse, onda je to za elemente praktično nemoguće, pošto su to normalne impedanse. Najlakša je ugradnja rednih prigušnica. Ovo se odnosi na direktan redosled simetričnih komponenti.

Za nulte impedanse situacija je drugačija. One prvenstveno zavise od načina uzemljenja zvezdišta. Zato se tako može delovati na nulte impedanse.

Postoje dva ekstremna slučaja uzemljenja zvezdišta:

Izolovano zvezdište svih transformatora.
Direktno uzemljeno zvezdište svih transformatora.

Dobra strana izolovanog zvezdišta je da se imaju male struje zemljospoja, ali se u prelaznim stanjima javljaju relativno veliki prenaponi, pa zvezdišta svih transformatora moraju biti puno izolovana, što ih poskupljuje. Slično je i sa relejnom zaštitom.

Direktno uzemljena zvezdišta imaju veće struje zemljospoja, manje prelazne prenapone i omogućavaju stepenastu izolaciju namotaja (smanjenu izolaciju zvezdišta), pa je cena transformatora niža. Bolja je selektivnost i efikasnost relejne zaštite.

Između krajnjih, postoji više prelaznih rešenja:

Efikasno uzemljenje podrazumeva direktno uzemljenje zvezdišta nekih transformatora, koji na svim sabirnicama obezbeđuju uslov:

\frac{X^0}{X^d} \le 3 ; \quad \frac{R^d}{R^i} \le 1 .

Koristi se u prenosnim mrežama najviših napona.

Uzemljenje zvezdišta preko male impedanse ograničava struju zemljospoja na unapred izabranu vrednost (zavisi od naponskog nivoa i tipa mreže). Ta mala impedansa je otpornost (metalni ili tečni otpornik) ili reaktansa (u ulju ili vazduhu). Koristi se u distributivnim mrežama srednje visokih napona.
Rezonantno uzemljenje zvezdišta preko Petersenove prigušnice, čime se kompenzuju kapaciteti vodova prema zemlji. Koriste se u distributivnim mrežama srednje-visokih napona. Prigušnice imaju više stepeni za promenu kapaciteta (zavisno od uklopnog stanja mreže).
Primena transformatora za uzemljenje, koja se koristi u sistemima sa izolovanim zvezdištem, ili u mrežama na strani transformatora spregnutog u trougao. Služe kao izvor struje nultog redosleda za polarizaciju zemljospojnih releja i ograničenje pogonskih prenapona gde su nulte i inverzne impedanse velike. Ovi transformatori se ne koriste za napajanje potrošača. Služe samo da obezbede nultu impedansu. Po pravilu su autotransformatori.

Analiza kratkih spojeva u realnim mrežama

Realni sistemi imaju različite tipove čvorova: PQ, PV i SL, u kojima su specificirane različite promenljive. Ostale se dobijaju rešavanjem jednačina injektiranja, posle čega se proračunavaju tokovi snaga, gubici i slično. Na taj način definiše se stanje pre kvara. To je postupak proračuna tokova snaga i naponskih stanja (obrađen ranije). Ovaj proračun omogućava da se tačno izračunaju unutrašnje elektromotorne sile $\ph{E}''$ , $\ph{E}'$ i $\ph{E}$ iza reaktansi $\ph{Z}^{d''}$ , $\ph{Z}^{d'}$ i $\ph{Z}^d$ . Isto tako se proračunavaju i impedanse potrošača $\ph{Z}_{pi} = V_i^2 \big/ \ph{S}_{pi}$ za model konstantne snage. Tako je poznato stanje pre kvara, stanje generatora i potrošača. Onda sledi napred objašnjeni opšti postupak proračuna.

Obično se u realnim EES-ima uvode sledeća uprošćenja:

Naponi u tačkama kvara, pre nastanka kvara, iznose $\ph{V}_i = 1{,}0\, \underline{/0^{\circ}}$ .
Impedanse potrošača u mrežama simetričnih komponenata su otočni elementi. I generatorske impedanse takođe su otočne. Pri tome su u impedansama potrošača dominantne otpornosti, a kod generatora reaktanse. To znači da na simetrične komponente malo utiču impedanse potrošača, pošto je najvažniji uticaj reaktansi. Dakle, potrošači su od malog uticaja na kratke spojeve.
Struje normalnih radnih režima su mnogo manje od struja kvara i dosta se fazno razlikuju. To omogućava zanemarenje struje pre kvara. Slična je situacija i sa padovima napona izazvanim strujama pre kvara. To opravdava pretpostavku 1 ( $\ph{V}_i = 1{,}0\, \underline{/0^{\circ}}$ ). Ova pretpostavka uniformnog napona zove se ravan naponski profil (kao i kod tokova snaga). Preko određenog faktora (u knjizi označen sa c) koriguju se ove vrednosti. To je vrlo slično kao pristup u predmetima iz oblasti elektroenergetskih postrojenja, gde se odgovarajuće uprošćeno proračunate struje množe sa odgovarajućim koeficijentima (na primer, sa 1,2 za suptranzijentni i 1,1 za tranzijentni period).

Navedena razmatranja omogućavaju sledeća uprošćenja:

Zanemarenje impedansi opterećenja.
Zanemarenje otočnih impedansi vodova i transformatora.
Sve redne otpornosti se mogu zanemariti.
Sistem pre kvara posmatra se kao da je u praznom hodu, sa naponom $c \cdot 1{,}0\, \underline{/0^{\circ}}$ i ravnim naponskim profilom u mreži.

Matrični metodi proračuna kratkih spojeva

To su po pravilu računarski i matrično orijentisane metode.

Osnovni pristup je preko proračuna matrice impedansi nezavisnih čvorova u mrežama simetričnih komponenata. Specifičnost nastaje kod nultih impedansi, gde se mora uvažiti sprega transformatora, kao i veza zvezdišta sa zemljom. U programskim paketima mesto kvara se proizvoljno zadaje.

Za proračun simetričnih komponenata struje koje teku u mesto kvara moraju se naći Thevenin-ovi ekvivalenti impedansi simetričnih komponenata, gledano sa mesta kvara (tačka F na donjoj slici).

Thevenin-ov ekvivalent direktnog redosleda: izvor E_f^p (+ gore, − dole) na red sa impedansom Z_F^d, struja I_F^d teče ka priključku F^d (+), a napon V_F^d je između F^d i F^d′ (−)

Thevenin-ov ekvivalent inverznog redosleda: samo impedansa Z_F^i, bez izvora, struja I_F^i ka priključku F^i (+), napon V_F^i između F^i i F^i′ (−)

Thevenin-ov ekvivalent nultog redosleda: samo impedansa Z_F^0, bez izvora, struja I_F^0 ka priključku F^0 (+), napon V_F^0 između F^0 i F^0′ (−)

Veza napona i struja simetričnih komponenata sa prethodne slike je:

\begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{V}}_F^d \\ \ph{\boldsymbol{V}}_F^i \\ \ph{\boldsymbol{V}}_F^0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ph{E}_f^p \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{Z}}_F^d & 0 & 0 \\ 0 & \ph{\boldsymbol{Z}}_F^i & 0 \\ 0 & 0 & \ph{\boldsymbol{Z}}_F^0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{I}}_F^d \\ \ph{\boldsymbol{I}}_F^i \\ \ph{\boldsymbol{I}}_F^0 \end{bmatrix} .

Na primer, veza impedansi za slučaj jednofaznog kratkog spoja je:

Pri jednofaznom kratkom spoju (k1E) tri mreže su vezane na red: izvor E_f^p sa impedansom Z_F^d, pa Z_F^i, pa Z_F^0, u jednom kolu, pa kroz sve tri teče ista struja, I_F^d = I_F^i = I_F^0

Dakle, prethodno izloženi postupak je po koncepciji jednostavan. Međutim, najteži deo u njemu je određivanje impedansi koje se vide sa mesta kvara za pojedine simetrične komponente. Zbog toga će se taj proračun malo detaljnije objasniti.

Postoje specijalizovani algoritmi za formiranje matrice $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$ . Međutim, i ovde će se poći od admitantne forme jednačina injektiranja, imajući u vidu trenutno stanje i mogućnosti računara za injektiranje matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ . Dakle, jednačina injektiranja u admitantnoj formi (ista kao kod tokova snaga) je:

\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} \ph{\boldsymbol{V}} ,

gde je i detaljno opisan način formiranja matrice admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ .

Ako se u prethodnoj jednačini svi čvorovi podele u dve grupe:

Karakteristični (koji u sebi imaju injektirane snage), označeni sa p.
Nekarakteristični (čije injektiranje je nula), označeni sa q,

onda se prethodna jednačina injektiranja može napisati kao:

\begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{I}}_p \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{Y}}_{pp} & \ph{\boldsymbol{Y}}_{pq} \\ \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} & \ph{\boldsymbol{Y}}_{qq} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{V}}_p \\ \ph{\boldsymbol{V}}_q \end{bmatrix} .

Iz drugog dela matrične jednačine je:

\ph{\boldsymbol{V}}_q = -\ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \ph{\boldsymbol{V}}_p .

Ako se ona zameni u prvi deo jednačine, dobija se:

\ph{\boldsymbol{I}}_p = \left( \ph{\boldsymbol{Y}}_{pp} - \ph{\boldsymbol{Y}}_{pq} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \right) \ph{\boldsymbol{V}}_p = \ph{\boldsymbol{Y}}_p \ph{\boldsymbol{V}}_p .

Dakle, ako se za neku matricu zna matrica sopstvenih i međusobnih admitansi, onda se lako formira mreža sa karakterističnim čvorovima.

Slično, iz matrice admitansi karakterističnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ može se dobiti i matrica impedansi karakterističnih čvorova, kao:

\ph{\boldsymbol{Z}}_p = \ph{\boldsymbol{Y}}_p^{-1} .

Postoji nekoliko primena prethodne matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ , koje će biti objašnjene u nastavku.

Svođenje složene mreže na zvezdu radijalnih grana

Proračun vremenskog odziva struja kvara često se zasniva na radijalizaciji mreže (svođenje na mrežu radijalnih grana), kao na slici:

Generatori E_g1 do E_gn priključeni preko svojih impedansi na čvorove M_1 do M_n mreže; iz mreže vodi grana sa impedansom Z_(k) do tačke B, a isprekidane linije spajaju svaki čvor M_i sa tačkom B kao radijalne grane

Karakteristični čvorovi (označeni sa p u prethodnom izvođenju) su čvorovi $\mathrm{M}_1 - \mathrm{M}_n$ .

Za ovako definisanu mrežu izračunava se matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ , a iz nje vektor-kolona admitansi između M-tačaka i tačke B, kao:

\ph{\boldsymbol{Y}}_B = \ph{\boldsymbol{Y}}_p \left[ \boldsymbol{1} \right] ,

gde je $\left[ \boldsymbol{1} \right]$ jedinična matrica.

Na taj način se dobijaju admitanse radijalnih grana.

Određivanje ekvivalentne šeme za delove sistema

Delovi sistema mogu se zameniti Ward-ovim ekvivalentom. Pomenute ekvivalentne šeme dobijaju se eliminacijom svih čvorova u ovim uslovima, osim čvorova koji su zajednički sa ostalim delom sistema i tačkama delovanja elektromotornih sila.

Ward-ov ekvivalent: deo sistema A vezan je za zajedničke čvorove M_1 do M_n, a ostatak sistema zamenjen je granama od svakog čvora M_i do tačke G u kojoj deluje zajednička elektromotorna sila, vezana za zemlju

Za prethodnu šemu je:

\ph{\boldsymbol{Y}}_B = \ph{\boldsymbol{Y}}_{ik} .

Izbor čvorova:

Karakteristični (p) – zajednički čvorovi sa ostatkom mreže ( $\mathrm{M}_1 - \mathrm{M}_n$ ).
Referentni (q) – tačka delovanja zajedničke elektromotorne sile G.

Proračun karakterističnih impedansi koje se vide sa mesta kvara (najvažnija primena)

Ekvivalentne impedanse direktnog, inverznog i nultog redosleda koje se vide sa mesta kvara mogu se takođe odrediti matričnim postupkom preko matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ .

Generatori E_g1 do E_gn priključeni preko svojih impedansi na čvorove M_1 do M_n mreže, a iz mreže vodi grana do tačke kvara k

U odgovarajućoj šemi sistema tačku k u kojoj se desio kvar treba kao karakteristični čvor (p), a zajedničku tačku delovanja elektromotornih sila izvora kao referentni čvor i za tako definisanu mrežu odrediti matricu $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ . U tom slučaju matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ će imati samo jedan element, pošto postoji samo jedan karakteristični (p) čvor.

Recipročna vrednost ove admitanse predstavlja impedansu sistema koja se vidi sa mesta kvara.

Proračun raspodele struja u granama mreže

Ovaj proračun je vrlo bitan zbog dimenzionisanja prekidača, strujnih transformatora i drugih elemenata u mreži.

Čvorovi u koje utiču struje definišu se kao karakteristični čvorovi, a tačka kvara kao referentni čvor.

Struja u granama je:

\ph{\boldsymbol{I}}_\ell = \ph{\boldsymbol{Y}}_g \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{V}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_g \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_p^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_q^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{\boldsymbol{V}}_p \\ \ph{\boldsymbol{V}}_q \end{bmatrix} = \ph{\boldsymbol{Y}}_g \left( \boldsymbol{A}_p^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{V}}_p + \boldsymbol{A}_q^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{V}}_q \right) ,

gde je $\ph{\boldsymbol{Y}}_g$ dijagonalna matrica admitansi grana.

Ranije je izvedeno: $\ph{\boldsymbol{V}}_q = -\ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \ph{\boldsymbol{V}}_p$ ,

pa je:

\begin{aligned} \ph{\boldsymbol{I}}_\ell = \ph{\boldsymbol{Y}}_g \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{V}} &= \ph{\boldsymbol{Y}}_g \left( \boldsymbol{A}_p^{\mathrm{T}} - \boldsymbol{A}_q^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \right) \ph{\boldsymbol{V}}_p \\ &= \ph{\boldsymbol{Y}}_g \left( \boldsymbol{A}_p^{\mathrm{T}} - \boldsymbol{A}_q^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \right) \ph{\boldsymbol{Y}}_p^{-1} \ph{\boldsymbol{I}}_p = \ph{\boldsymbol{C}} \ph{\boldsymbol{I}}_p , \end{aligned}

gde je $\ph{\boldsymbol{C}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_g \left( \boldsymbol{A}_p^{\mathrm{T}} - \boldsymbol{A}_q^{\mathrm{T}} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qq}^{-1} \ph{\boldsymbol{Y}}_{qp} \right) \ph{\boldsymbol{Y}}_p^{-1}$ .

Ovaj postupak se primenjuje za proračun raspodele struja komponenti, a zatim njihovim sabiranjem i ukupnih struja kvara.

Primena proračuna kratkih spojeva za rešavanje konkretnih problema

Kratki spojevi su osnov za niz proračuna u planiranju, projektovanju i eksploataciji EES-a:

Izbor parametara opreme pri projektovanju objekata.
Provera adekvatnosti opreme u eksploataciji.
Projektovanje uzemljenja objekata i provera napona koraka i dodira.
Proračun uticaja elektroenergetskih na telekomunikacione vodove.
Koordinacija delovanja uređaja relejne zaštite.

Izbor parametara opreme u fazi projektovanja

U normalnim uslovima elementi se projektuju da rade dobro u normalnom i poremećenim režimima. Najkritičnija radna stanja su pri kratkim spojevima, pa se dimenzionisanje mora vršiti prema tipičnim mestima kvara i šemama postrojenja.

Dimenzionisanje se vrši na bazi dinamičkih i toplotnih naprezanja.

Dinamička naprezanja određuju suptranzijentne struje kvara.

Toplotna naprezanja određuju tranzijentne struje kvara.

Struja kvara posebno je bitna za prekidače snage, i to za struje uključenja i isključenja, kao i snagu prekidanja.

Dimenzionisanje se vrši na bazi tropolne struje kratkog spoja na kraju vremenskog horizonta planiranja. Međutim, mora se izvršiti provera i na zemljospojeve, zato što nekad mogu nadmašiti struje tropolnog kratkog spoja. Tada se vrši korekcija načina uzemljenja neutralne tačke. Bitno je zapamtiti da se prekidači dimenzionišu prema struji perspektivnog kratkog spoja.

Provera adekvatnosti opreme u eksploataciji

Životni vek opreme u EES-ima je dug (15 do 30 godina). Troškovi eventualne zamene i premeštanja elemenata sa jedne na drugu lokaciju su visoki. Zato se periodično tokom eksploatacionog perioda vrši provera adekvatnosti. Ova provera vrši se za aktuelno stanje. Ako parametri nekog od elemenata nisu adekvatni, mora se primeniti neka mera za smanjenje struje kratkog spoja, ili zamena elementa.

Projektovanje uzemljenja

Cilj je da se ograniče naponi između elemenata postrojenja i zemlje pri kvarovima tipa zemljospoja. Naponi moraju biti bezopasni za ljude. Zaštita opreme i eksploatacioni zahtevi po pravilu su manjeg prioriteta, od uslova bezopasnosti.

Za projektovanje sistema uzemljenja moraju se znati najveće struje zemljospoja i njihova raspodela. Postoji stalna tendencija povećanja tih struja sa razvojem sistema. Osnovna mera je obezbeđivanje malog otpora mreže za uzemljenje.

Pri zemljospoju svi elementi mogu doći na povišen potencijal. Ocena opasnosti od naponskog udara vrši se na bazi sledećih kriterijuma:

Napon dodira je potencijalna razlika između ruke i stopala lica koje dodiruje metalnu strukturu za vreme kvara.
Napon koraka je potencijalna razlika između stopala osobe za vreme zemljospoja.

U oba slučaja naponi moraju biti niži od dozvoljenih.

Ekvivalentna šema za napon dodira je:

Čovek rukom dodiruje metalnu konstrukciju kroz koju struja zemljospoja I_kE odlazi u zemlju; struja I_t teče kroz njegovo telo (otpor R_t) i stopala (R_f/2) do tačke B, a uzemljenje konstrukcije čine otpori R_g1 od A do B i R_g2 od B do zemlje

Zamenska šema za napon dodira (k = k1, k2): struja I_kE ulazi u tačku A; između A i B je R_g1, a paralelno njemu grana R_t i R_f/2 kroz koju teče I_t; od B do zemlje je R_g2

$I_t$ – struja koja određuje napon dodira usled potencijalne razlike između A i B;
$R_t$ – otpor putanje u čovečijem telu (šaka – stopalo);
$R_g$ – otpornost uzemljenja;
$R_f$ – otpornost strujne putanje kroz zemlju i stopalo;
$I_{kE}$ – struja zemljospoja.

Raspodela struja pri naponu koraka je:

Čovek stoji raskoračen pored konstrukcije kroz koju struja zemljospoja I_kE odlazi u zemlju; struja I_t ulazi na jedno stopalo i izlazi na drugo, kroz otpor tela R_t i otpore R_f pod stopalima, u tačkama A i B uzemljenja čiji su otpori R_g1, R_g2 i R_g3

Zamenska šema za napon koraka (k = k1, k2): struja I_kE prolazi kroz R_g1 do tačke A, pa kroz R_g2 do tačke B i kroz R_g3 do zemlje; paralelno grani R_g2 je put R_f, R_t, R_f kroz koji teče I_t

Dakle, vrlo je bitno poznavati otpor ljudskog tela $R_t$ .

Efekti električnog udara su posledica struje, a ne napona.

Pokazano je da normalan čovek oseća struju od 1 mA.
Struje 10–25 mA prouzrokuju gubitak kontrole mišića.
Struja 100 mA prouzrokuje poremećaj srčanog ritma.
Struje veće od 100 mA mogu zaustaviti rad srca i izazvati opasne opekotine.

Efekti struje zavise i od učestanosti (naročito su opasne učestanosti na kojima rade EES-i – 50 do 60 Hz) i trajanja izlaganja struji.

Ukupni otpor ljudskog tela (telo + stopalo) izračunava se kao:

\begin{aligned} R &= R_t + \frac{R_f}{2} = (1000 + 1{,}5\rho_z) \quad [\Omega], && \text{za napon dodira;} \\ R &= R_t + 2R_f = (1000 + 6\rho_z) \quad [\Omega], && \text{za napon koraka,} \end{aligned}

gde je:

$\rho_z$ specifična otpornost tla;
$R_t = 1000\ \Omega$ (otpor ruka-stopalo);
$R_f \approx 3\rho_z$ je otpor kružne pločaste elektrode.

Pošto je merenje napona jednostavnije, onda se i izrazi daju na taj način:

\begin{aligned} V_{tol.nap.dodira} &= (1000 + 1{,}5\rho_z) I_t \quad [\mathrm{V}], && \text{za tolerantni nivo napona dodira;} \\ V_{tol.nap.koraka} &= (1000 + 6\rho_z) I_t \quad [\mathrm{V}], && \text{za tolerantni nivo napona koraka,} \end{aligned}

gde se tolerantni nivo struje kroz ljudsko srce proračunava po formuli:

I_t = I_{bsc} = \frac{a}{\sqrt{T_k}} \quad [\mathrm{A}] ,

pri čemu je a empirijska konstanta (na primer, za sisteme učestanosti 60 Hz je $a = 0{,}116$ ), dok je $T_k$ vreme trajanja električnog udara (kvara).

Maksimalne dozvoljene (tolerantne) vrednosti napona dodira i koraka izračunavaju se kao:

\begin{aligned} V_{tol.nap.dodira} &= \frac{0{,}116 (1000 + 1{,}5\rho_z)}{\sqrt{T_k}} \quad [\mathrm{V}], \\ V_{tol.nap.koraka} &= \frac{0{,}116 (1000 + 6\rho_z)}{\sqrt{T_k}} \quad [\mathrm{V}]. \end{aligned}

Primera radi, za $\rho_z = 100\ \Omega\mathrm{m}$ i $T_k = 4{,}0\ \mathrm{s}$ , te vrednosti iznose:

\begin{aligned} V_{tol.nap.dodira} &= 66{,}7\ \mathrm{V} ; \\ V_{tol.nap.koraka} &= 92{,}8\ \mathrm{V} . \end{aligned}

Uticaj elektroenergetskog na telekomunikacione vodove

Elektrostatička i elektromagnetna polja stvaraju galvanske, indukcione i kapacitivne sprege nesimetričnih stanja. Ona utiču na bliske metalne telekomunikacione vodove, tako što indukuju napon i struju na njihovim provodnicima. Oni izazivaju šumove, pa i oštećenja opreme. Ovo je posebno izraženo kod zemljospojeva, pa se moraju preduzeti mere za ograničenje indukovanih prenapona. Dozvoljene vrednosti indukovanih napona definisane su propisima. Ovo se dalje neće obrađivati.

Koordinacija delovanja uređaja relejne zaštite

Odnosi se na vremensku koordinaciju delovanja prekostrujnih zaštitnih uređaja. Kada se desi kratak spoj, pojavljuju se abnormalni tokovi struja koji traju određeni period, pa moraju delovati zaštitni releji za isključenje kvara sa najmanjim prekidima napajanja.

Funkcionisanje zaštitnih releja procenjuje se grafičkom interpolacijom njihovih strujno-vremenskih karakteristika. Tako se određuju intervali između štićenih zona. Ovo su problemi relejne zaštite, pa se neće posebno proučavati.

Sistematizacija i unificiranje proračuna struja kratkih spojeva

Iz prethodnog izlaganja se vidi da treba izvršiti vrlo veliki broj proračuna: simetrične komponente (direktna, inverzna i nulta) za različite vrste kvara (jednofazni, dvofazni i trofazni kratki spojevi, kao i dvofazni zemljospojevi) i različite vremenske periode (suptranzijentni, tranzijentni i ustaljeni). Ideja je da se pokuša unificiranje proračuna, kako bi se smanjio broj proračuna, čime se može postići značajno ubrzanje.

Nezavisno od vrste kvara, zamenska šema direktnog redosleda u slučaju kratkog spoja može se predstaviti kao (pretpostavljeno je da postoji jedinstven, ekvivalentni izvor napajanja):

Zamenska šema direktnog redosleda: izvor E^d vezan za zemlju, na red sa jX^d i impedansom mreže Z_M do čvora k; iz čvora k struja I^d teče kroz impedansu kvara Z_(k) u zemlju, a napon V^d je između k i zemlje

Na prethodnoj slici je:

$\ph{Z}_M$ – impedansa mreže (praktično je ista u svim redosledima i vremenskim periodima, pošto su u mreži statički elementi);
$\ph{Z}_{(k)}$ – impedansa kvara koja se vidi sa mesta kvara (različita zavisno od vrste kvara).

Za inverzni i nulti redosled zamenske šeme su:

Zamenska šema inverznog redosleda: od zemlje preko jX^i i impedanse mreže Z_M do čvora k, u kome strujni izvor I^i uteže struju u zemlju; izvora napona nema

Zamenska šema nultog redosleda: od zemlje preko jX^0 i impedanse mreže Z_M do čvora k, u kome strujni izvor I^0 uteže struju u zemlju; izvora napona nema

Glavni proračun (u pogledu brzine i vremena) je proračun impedanse mreže $\ph{Z}_M$ . Vidi se da je ona za sva tri redosleda simetričnih komponenti ista.

Generalno se može reći da postoje veze:

\begin{aligned} \ph{I}^i &= \ph{p}_{(k)} \ph{I}^d ; \\ \ph{I}^0 &= \ph{q}_{(k)} \ph{I}^d ; \\ \ph{I}_{(k)} &= \ph{m}_{(k)} \ph{I}^d . \end{aligned}

Dakle, znajući struju direktnog redosleda ( $\ph{I}^d$ ) na mestu kvara, i njenim množenjem sa kompleksnim koeficijentima mogu se dobiti struje ostalih simetričnih komponenti ( $\ph{I}^i$ i $\ph{I}^0$ ), kao i ukupna struja kvara ( $\ph{I}_{(k)}$ ). To samim tim znači da njihove šeme nisu ni neophodne.

One se takođe koriste za određivanje raspodele struja po granama mreže u slučaju kvara.

Vrednosti pojedinih kompleksnih koeficijenata zavise od vrste kvara i dati su u donjoj tabeli:

Faze R, S i T spojene međusobno, struja I_k3; spoj sa zemljom je isprekidan

Faze S i T spojene međusobno, bez spoja sa zemljom, struja I_k2

Tip kratkog spoja	$\ph{Z}_{(k)}$	$\ph{m}_{(k)}$	$\ph{p}_{(k)}$	$\ph{q}_{(k)}$	Napomena
Trofazni kratak spoj (k3)	$0$	$1$	$0$	$0$	Nema inverznog i nultog redosleda, pa je $\ph{m}_{(3)} = 1$ – ukupna struja kvara jednaka direktnoj.
Dvofazni kratak spoj (k2)	$\ph{Z}^i$	$\sqrt{3}$	$-1$	$0$	Nema nulte komponente, pošto nema kontakta sa zemljom.
Dvofazni zemljospoj (k2E)	$\dfrac{\ph{Z}^i \ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}$	${\ph{a}^2 - \dfrac{\ph{Z}^i + \ph{a}\ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}}$	$\dfrac{-\ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}$	$\dfrac{-\ph{Z}^i}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}$
Jednofazni zemljospoj (k1E)	$\ph{Z}^i + \ph{Z}^0$	$3$	$1$	$1$

Da bi se proračunale sve vrste kvarova potrebno je sprovesti sledeće korake:

Odrediti impedanse inverznog ( $\ph{Z}^i$ ) i nultog redosleda ( $\ph{Z}^0$ ) koje se vide sa mesta kvara (za neke kvarove nije neophodno određivanje svih, pa čak i nijedne).
Odrediti impedansu kvara ( $\ph{Z}_{(k)}$ ) koristeći prethodnu tabelu.
Izračunati pasivnu impedansu mreže ( $\ph{Z}_M$ ).
Izračunati struju kvara direktnog redosleda ( $\ph{I}^d$ ). U slučaju linearnog sistema ova struja jednaka je struji u grani.
Proračun ukupne struje kvara ( $\ph{I}_{(k)}$ ), koristeći koeficijent $\ph{m}_{(k)}$ .
Izračunati raspodelu direktne komponente struje po granama mreže.
Izračunati raspodelu inverzne i nulte komponente struje po granama mreže.
Izračunati raspodelu ukupne struje kvara po granama mreže (sabirajući komponente iz tačaka 6. i 7.).

Prethodnom unifikacijom praktično sve vrste kvarova se mogu računati po istoj metodologiji.

Uprošćeni vremenski tok efektivne vrednosti naizmenične komponente ukupne struje kvara u direktnom redosledu je:

I_{AC}^d = \left( I^{d''} - I^{d'} \right) e^{-t/T_d''} + \left( I^{d'} - I^d \right) e^{-t/T_d'} + I^d .

Proračun vremenskog toka struje kvara u složenim mrežama

Potrebno je odrediti vremenski tok suptranzijentne, tranzijentne i ustaljene komponente u sva tri redosleda (direktni, inverzni i nulti).

Prvo se formiraju ekvivalentne šeme impedansi inverznog i nultog redosleda i ekvivalentne impedanse ovih šema za zadato mesto kvara. Na osnovu određenih vrednosti ovih impedansi izračunava se odgovarajuća impedansa kvara (zavisi od vrste kvara), kojom se obuhvata uticaj inverznog i nultog redosleda na ukupnu struju kvara. Tada se može nacrtati generalna šema za direktni redosled, koja važi za sva tri perioda:

Generalna šema direktnog redosleda: generatori sa istom elektromotornom silom E priključeni preko reaktansi jX_g1 do jX_gn na čvorove M_1 do M_n mreže u kojoj teku struje grana I_ℓ^d; iz mreže grana vodi do čvora k, a iz njega struja I^d teče kroz impedansu kvara Z_(k) do tačke B

Na osnovu struje $\ph{I}^d$ određuje se ukupna struja kvara i njene komponente inverznog redosleda. Struje u fazama dobijaju se iz svojih simetričnih komponenti.

Polazne pretpostavke u proračunu su:

Svi otočni elementi u zamenskim šemama elemenata sistema, uključujući i impedanse potrošača, su izostavljene.
Merodavne elektromotorne sile svih generatora jednake su po vrednosti i faznom stavu, što je realno i nije ograničenje metodologije.
Elektromotorne sile uzimaju u obzir tipično opterećenje izvora u režimu koji je prethodio kratkom spoju.

Prva pretpostavka smanjuje struje kvara u granama mreže sa izvorima, a povećava struje kvara za potrošače neposredno do mesta kratkog spoja, koje su posebno značajne za dimenzionisanje i izbor opreme. Ove razlike su po pravilu male, pošto su otočne impedanse u ekvivalentnoj šemi mreže posle nastanka kvara praktično premošćene malim impedansama grana mreže do mesta kvara.

Druga pretpostavka po pravilu povećava struje kvara zbog saglasnog delovanja izvora, što se zaključuje na bazi principa superpozicije.

Proračun kratkog spoja se svodi na proračun u fiktivnoj tački iza impedanse kvara (ova impedansa karakteriše vrstu kvara).

Čitav vremenski tok naizmenične komponente retko se mora računati u praksi. Jedino kod izbora generatorskih prekidača, kada se imaju potencijalno moguće velike uštede. Ako se dobijaju rezultati na granici za usvajanje opreme, onda se odluka donosi na bazi detaljnijeg proračuna.

Da se ne bi za sve periode vršio poseban proračun, tretman grane posle primene druge pretpostavke je sledeći:

Grana generatora: izvor E, pa reaktansa j(X − X^d″) do tačke M, pa reaktansa jX^d″ dalje ka mreži

Na ovaj način se samo variranjem X proračunavaju svi periodi.

To znači da se deo desno od tačke M može smatrati kao deo mreže. To je pasivan deo EES-a (isti za sve periode i redoslede).

Sada je šema čitavog EES-a sa više generatora:

Šema EES-a sa više generatora: izvori E priključeni preko reaktansi j(X_1 − X_1^d″) do j(X_gn − X_gn^d″) na čvorove M_1 do M_n pasivne mreže sa strujama grana I_ℓ^d; iz mreže grana vodi do čvora k, a iz njega struja I^d teče kroz impedansu kvara Z_(k) do tačke B

Dakle, u čitavom sistemu se eliminišu svi čvorovi, osim čvorova $\mathrm{M}_1 - \mathrm{M}_n$ i čvora k (transfiguracijama zvezda-trougao, ili matrično).

Ovim postupkom se sistem svodi na radijalne grane. Pri tome se moraju zanemariti impedanse koje su vezane između čvorova $\mathrm{M}_1 - \mathrm{M}_n$ . Time se u subtranzijentnom periodu ne čini greška, pošto su ove tačke na istom potencijalu (E), pa između njih ne teče struja. U tranzijentnom i ustaljenom periodu čini se vrlo mala greška, pošto su razlike u naponima male.

Kada se sistem svede na radijalne grane, onda se primenjuju izvedene formule koje važe za radijalne grane. Ukupna struja direktnog redosleda po principu superpozicije je:

I^d = \sum_{i=1}^{n} I_i^d .

(ove komponente se malo razlikuju po faznom stavu)

Kada se reši direktna komponenta, ostale se direktno rešavaju korišćenjem već izvedenih formula i koeficijenata iz prethodne tabele:

\begin{aligned} \ph{I}^i &= \ph{p}_{(k)} \ph{I}^d ; \\ \ph{I}^0 &= \ph{q}_{(k)} \ph{I}^d ; \\ \ph{I}_{(k)} &= \ph{m}_{(k)} \ph{I}^d . \end{aligned}

Poređenje veličina struja kvara za različite tipove kratkih spojeva

Struje pojedinih vrsta kvarova su:

I_{k3} = \frac{E_f^p}{\left| \ph{Z}^d \right|} ;

pri dvofaznom kratkom spoju bez zemljospoja (faza S i T):

I_{k2} = \frac{\sqrt{3}\, E_f^p}{\left| \ph{Z}^d + \ph{Z}^i \right|} ;

pri dvofaznom kratkom spoju sa zemljospojem (faza S i T):

I_{k2E} = \frac{\sqrt{3} \left| \left( 1 + \ph{a}^2 \right) \ph{Z}^i + \ph{Z}^0 \right|}{\left| \ph{Z}^d \ph{Z}^i + \ph{Z}^i \ph{Z}^0 + \ph{Z}^d \ph{Z}^0 \right|} E_f^p \quad \text{za fazu 'S';}

ili:

I_{k2E} = \frac{\sqrt{3} \left| \left( 1 + \ph{a} \right) \ph{Z}^i + \ph{Z}^0 \right|}{\left| \ph{Z}^d \ph{Z}^i + \ph{Z}^i \ph{Z}^0 + \ph{Z}^d \ph{Z}^0 \right|} E_f^p \quad \text{za fazu 'T';}

pri jednofaznom zemljospoju (faza R):

I_{k1E} = \frac{3 E_f^p}{\left| \ph{Z}^d + \ph{Z}^i + \ph{Z}^0 \right|} .

Dakle, u opštem slučaju važi izraz (koji pokriva sve vrste kvarova):

I_{ki} = \frac{b_i c V_n}{\left| f_i\left( \ph{Z}^d, \ph{Z}^i, \ph{Z}^0 \right) \right|} , \quad i = 3,\ 2,\ 2E,\ 1E ,

b_i = \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{za } i = 3 & \text{(trofazni kratak spoj);} \\ \sqrt{3} & \text{za } i = 2;\, 2E & \text{(dvofazni kratak spoj i dvofazni zemljospoj);} \\ 3 & \text{za } i = 1E & \text{(jednofazni zemljospoj);} \end{array} \right.

$c \le \dfrac{V_M}{V_n} = \dfrac{U_M}{U_n}$ je naponski faktor, pri čemu je $V_M = U_M \big/ \sqrt{3}$ maksimalno dozvoljeni fazni napon za određeni naponski nivo.

Prema IEC Standardu 909, ovaj faktor se razlikuje pri proračunima za maksimalno ( $c_{max} = 1{,}00 \div 1{,}10$ ) i minimalno angažovanje izvora struja kratkog spoja ( $c_{min} = 0{,}95 \div 1{,}00$ ).

$cV_n = c \dfrac{U_n}{\sqrt{3}} = E_f^p$ je fazni napon nezavisnog (ekvivalentnog) naponskog izvora na mestu kvara, pre nastanka kratkog spoja, gde se preko naponskog faktora c uvažavaju varijacije napona sa vremenom i lokacijom kvara, promene položaja regulacionih otcepa transformatora i slično.

U dosadašnjim izvođenjima je pokazano da dominantan uticaj na struje kratkog spoja imaju reaktanse. U tom smislu mogu se izvesti razne uprošćene analize, koje pokazuju pojedine uticaje.

Na primer, približni izrazi za odnose struje kvara u funkciji $k = X^0 \big/ X^d$ su (zanemarene otpornosti i $X^d = X^i$ , što približno važi za suptranzijentni period):

\begin{aligned} \frac{I_{k2}}{I_{k3}} &= \frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}866 ; \\ \frac{I_{k2E}}{I_{k3}} &= \frac{\sqrt{3}}{1 + 2k} \sqrt{k^2 + k + 1} ; \\ \frac{I_{k1E}}{I_{k3}} &= \frac{3}{2 + k} . \end{aligned}

Neki od prethodnih odnosa vide se na donjoj slici.

Dijagram odnosa I_ki/I_k3 u funkciji k = X(0)/X(1), od 0 do 3: I_k2E/I_k3 = √3·√(k² + k + 1)/(1 + 2k) pada od 1,73 i teži 0,866; I_k1E/I_k3 = I_kE1E/I_k3 = 3/(2 + k) pada od 1,5; struja kroz zemlju pri dvofaznom zemljospoju I_kE2E/I_k3 = 3/(1 + 2k) pada najstrmije; sve tri krive prolaze kroz 1,0 za k = 1,0, a krive dvofaznog i jednofaznog zemljospoja seku se i za k = 0,227

Sa slike se izvode sledeći zaključci:

Struje dvofaznog i jednofaznog zemljospoja se izjednačuju za $k = 0{,}227$ i 1,00.
Struja dvofaznog kratkog spoja dostiže maksimalno 86,6 % od trofazne struje kratkog spoja.
Za $0 \le k \le 0{,}227$ najveća je struja dvofaznog zemljospoja.
Za $0{,}227 \le k \le 1{,}00$ najveća je struja jednofaznog zemljospoja.
Za $1{,}00 \le k \le \infty$ najveća je struja trofaznog kratkog spoja.

Za projektovanje uzemljenja postoje dve zone:

za $0 \le k \le 1{,}00$ – veća je vrednost struje koja teče kroz zemlju pri dvofaznom kratkom spoju sa zemljospojem;
za $1{,}00 \le k \le \infty$ – veća je vrednost struje koja teče kroz zemlju pri jednofaznom zemljospoju.

Prethodni uprošćeni proračuni važe kada su direktne i inverzne impedanse (reaktanse) jednake ( $\ph{Z}^d = \ph{Z}^i \approx \mathrm{j} X^d$ ), što je vrlo čest slučaj.

Ako to nije ispunjeno, onda se može izvršiti analiza vrednosti struja kvara u zavisnosti od odnosa $\left| \ph{Z}^i \big/ \ph{Z}^d \right|$ i $\left| \ph{Z}^i \big/ \ph{Z}^0 \right|$ .

Prema IEC propisima ova zavisnost data je na slici:

Dijagram po IEC: po horizontali |Z^i/Z^d| od 0 do 1,0, po vertikali |Z^i/Z^0| od 0 do 1,1; oblasti u kojima je najveća struja jednofaznog zemljospoja (k1E, gore levo), dvofaznog kratkog spoja (k2, dole levo), dvofaznog zemljospoja (k2E, uzan klin oko 0,55–0,9) i trofaznog kratkog spoja (k3, desno); tačka Primer na 0,5 i 0,65 leži u oblasti k1E

Primer korišćenja prethodnog dijagrama:

Izračunaju se impedanse koje se vide sa mesta kvara i očita kvar sa najvećom strujom.

Nesimetrična stanja usled prekida provodnika

Prekidi provodnika su drugi najčešći uzrok nesimetričnih stanja.

Proračun se vrši na sličan način kao kratki spojevi, odnosno preko simetričnih komponenata.

Postoje dva osnovna tipa prekida: 1) prekid jedne faze, i 2) simultani prekid dve faze, čiji se proračun daje u nastavku.

Prekid jedne faze

Zamenska šema ovog kvara je:

Prekid faze R između tačaka F i F′: struja I_R = 0, a na prekidu je napon ΔV_R; faze S i T su neprekinute, ΔV_S = 0 i ΔV_T = 0, i u njima teku struje I_S i I_T

Terminalni uslovi ovog kvara su:

\begin{aligned} & \ph{I}_R = 0 \\ & \Delta \ph{V}_S = 0 \\ & \Delta \ph{V}_T = 0 . \end{aligned}

Iz poslednja dva terminalna uslova (vezana za napon) je:

\begin{aligned} \Delta \ph{V}^d &= \frac{1}{3} \left( \Delta \ph{V}_R + \ph{a} \Delta \ph{V}_S + \ph{a}^2 \Delta \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \Delta \ph{V}_R ; \\ \Delta \ph{V}^i &= \frac{1}{3} \left( \Delta \ph{V}_R + \ph{a}^2 \Delta \ph{V}_S + \ph{a} \Delta \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \Delta \ph{V}_R ; \\ \Delta \ph{V}^0 &= \frac{1}{3} \left( \Delta \ph{V}_R + \Delta \ph{V}_S + \Delta \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \Delta \ph{V}_R , \end{aligned}

odakle je:

\Delta \ph{V}^d = \Delta \ph{V}^i = \Delta \ph{V}^0 = \frac{1}{3} \Delta \ph{V}_R .

Iz terminalnog uslova za struju je:

\ph{I}_R = \ph{I}^d + \ph{I}^i + \ph{I}^0 = 0 .

Iz opšte jednačine EES-a je:

\begin{aligned} \Delta \ph{V}^i = -\ph{Z}^i \ph{I}^i = \Delta \ph{V}^d \quad & \Rightarrow \quad \ph{I}^i = -\frac{\Delta \ph{V}^i}{\ph{Z}^i} = -\frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^i} ; \\ \Delta \ph{V}^0 = -\ph{Z}^0 \ph{I}^0 \quad & \Rightarrow \quad \ph{I}^0 = -\frac{\Delta \ph{V}^0}{\ph{Z}^0} = -\frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^0} . \end{aligned}

Zamenom prethodnih izraza u terminalni uslov $\ph{I}_R = \ph{I}^d + \ph{I}^i + \ph{I}^0 = 0$ , dobija se:

\ph{I}_R = \ph{I}^d - \frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^i} - \frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^0} = 0 ,

odakle je:

\begin{aligned} \ph{I}^d &= \frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^i} + \frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^0} = \Delta \ph{V}^d \frac{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}{\ph{Z}^i \ph{Z}^0} ; \\ \Delta \ph{V}^d &= \frac{\ph{Z}^i \ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0} \ph{I}^d = \Delta \ph{V}^i = \Delta \ph{V}^0 . \end{aligned}

Konačno izvođenje daje:

\begin{aligned} \ph{I}^i &= -\ph{I}^d \frac{\ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0} ; \\ \ph{I}^0 &= -\ph{I}^d \frac{\ph{Z}^i}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0} . \end{aligned}

Monofazni prikaz povezivanja mreža je:

Monofazni prikaz pri prekidu jedne faze: mreža direktnog redosleda (priključak F^d, ΔV^d = (1/3)ΔV_R = E_f^p − Z^d I^d) vezana je na red sa paralelnom vezom mreža inverznog i nultog redosleda (impedanse Z^i i Z^0, priključci F^i i F^0, ΔV^i = −Z^i I^i = (1/3)ΔV_R i ΔV^0 = −Z^0 I^0 = (1/3)ΔV_R), uz I_R = I^d + I^i + I^0 = 0

Simultani prekid dve faze

Zamenska šema ovog kvara je:

Prekid faza S i T između tačaka F i F′: struje I_S = 0 i I_T = 0, na prekidima su naponi ΔV_S i ΔV_T; faza R je neprekinuta, ΔV_R = 0, i u njoj teče struja I_R

Terminalni uslovi ovog kvara su:

\begin{aligned} & \Delta \ph{V}_R = 0 \\ & \ph{I}_S = 0 \\ & \ph{I}_T = 0 . \end{aligned}

Iz razlike faznih struja koje određuju terminalne uslove je:

\ph{I}_S - \ph{I}_T = \left( \ph{a}^2 - \ph{a} \right) \ph{I}^d + \left( \ph{a} - \ph{a}^2 \right) \ph{I}^i = 0 ,

pa je:

\ph{I}^d = \ph{I}^i ,

dok njihov zbir, uz uvažavanje prethodnog identiteta:

\ph{I}_S + \ph{I}_T = \left( \ph{a}^2 + \ph{a} \right) \ph{I}^d + \left( \ph{a} + \ph{a}^2 \right) \ph{I}^i + 2 \ph{I}^0 = 0

daje:

\ph{I}^d = \ph{I}^i = \ph{I}^0 .

Iz terminalnog uslova napona je:

\Delta \ph{V}_R = \Delta \ph{V}^d + \Delta \ph{V}^i + \Delta \ph{V}^0 = \Delta \ph{V}^d - \ph{Z}^i \ph{I}^i - \ph{Z}^0 \ph{I}^0 = 0 ,

odakle je:

\Delta \ph{V}^d = \ph{I}^d \left( \ph{Z}^i + \ph{Z}^0 \right) ,

odnosno:

\boxed{ \ph{I}^d = \ph{I}^i = \ph{I}^0 = \frac{\Delta \ph{V}^d}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0} } .

Zamenska šema sistema je:

Zamenska šema pri prekidu dve faze: mreže direktnog, inverznog i nultog redosleda vezane su na red, priključci F^d, F^i i F^0, kroz sve tri teče ista struja (I^d, I^i, I^0); ΔV^d = E_f^p − Z^d I^d, ΔV^i = −Z^i I^i, ΔV^0 = −Z^0 I^0, a njihov zbir ΔV_R = ΔV^d + ΔV^i + ΔV^0 = 0

Teme

Kratki spojevi · Simetrične komponente · Uzemljenje

Zadaci uz ovo predavanje

Jednopolni kratak spoj, tronamotajni transformator: rešen zadatak

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Analiza elektroenergetskih sistemaNa Drive-u: Predavanja · Vežbe · Zadaci

Definicije karakterističnih veličina pri kratkom spoju po IEC standardima

Struja kratkog spoja

Očekivana struja kratkog spoja

Simetrična struja kratkog spoja

Početna simetrična struja kratkog spoja Ik′′I_k''Ik′′​

Početna simetrična prividna snaga kratkog spoja Sk′′S_k''Sk′′​

Jednosmerna (aperiodična) komponenta struje kratkog spoja iDCi_{DC}iDC​

Udarna struja kratkog spoja ipi_pip​

Simetrična rasklopna struja kratkog spoja IbI_bIb​

Trajna struja kratkog spoja IkI_kIk​

Ekvivalentna kratkotrajna termička struja kratkog spoja IthI_{th}Ith​

Definicije karakterističnih veličina pri kratkom spoju po ANSI standardima

Simetrična struja posle prve periode

Struja uključenja

Struja prekidanja

Struja kratkog spoja posle određenog vremena od nastanka kvara

Mere za smanjenje struja kratkog spoja

Analiza kratkih spojeva u realnim mrežama

Matrični metodi proračuna kratkih spojeva

Svođenje složene mreže na zvezdu radijalnih grana

Određivanje ekvivalentne šeme za delove sistema

Proračun karakterističnih impedansi koje se vide sa mesta kvara (najvažnija primena)

Proračun raspodele struja u granama mreže

Primena proračuna kratkih spojeva za rešavanje konkretnih problema

Izbor parametara opreme u fazi projektovanja

Provera adekvatnosti opreme u eksploataciji

Projektovanje uzemljenja

Uticaj elektroenergetskog na telekomunikacione vodove

Koordinacija delovanja uređaja relejne zaštite

Sistematizacija i unificiranje proračuna struja kratkih spojeva

Proračun vremenskog toka struje kvara u složenim mrežama

Poređenje veličina struja kvara za različite tipove kratkih spojeva

Nesimetrična stanja usled prekida provodnika

Prekid jedne faze

Simultani prekid dve faze

Teme

Zadaci uz ovo predavanje

Početna simetrična struja kratkog spoja $I_k''$

Početna simetrična prividna snaga kratkog spoja $S_k''$

Jednosmerna (aperiodična) komponenta struje kratkog spoja $i_{DC}$

Udarna struja kratkog spoja $i_p$

Simetrična rasklopna struja kratkog spoja $I_b$

Trajna struja kratkog spoja $I_k$

Ekvivalentna kratkotrajna termička struja kratkog spoja $I_{th}$