Zadatak 2. Za dati trofazni jednopolno prikazani EES:
a) Proveriti statičku stabilnost generatora, b) Odrediti potreban napon na pragu elektrane da bi generatori mogli statički stabilno da rade pri datom opterećenju, c) Kolika je granična prenosna aktivna snaga pri ispadu jednog voda, a da generatori mogu statički stabilno da rade pri naponu U r = 231 U_r = 231 U r = 231 cos φ = 1 \cos\varphi = 1 cos φ = 1 G T 1 1 l 12 = 200 km x v = 0,4 Ω/km 2 T 2 3 S Gn = S T1n = 200 MVA U Gn = 15,5 kV m T1 = 15,5/231 kV/kV x G = 160 % x T1 = 12 % S = 600 MVA cos φ = 1 U r = 225 kV S T2n = 2x300 MVA m T2 = 220/110 kV/kV x T2 = 12 % S k = 3000 MVA U k = 110 kV Poznato S G n = S T 1 n = 200 S_{Gn} = S_{T1n} = 200 S G n = S T 1 n = 200 MVA U G n = 15,5 U_{Gn} = 15{,}5 U G n = 15 , 5 kV U T 1 n = 231 U_{T1n} = 231 U T 1 n = 231 kV x G = 160 x_G = 160 x G = 160 % x T 1 = 12 x_{T1} = 12 x T 1 = 12 % l 12 = 200 l_{12} = 200 l 12 = 200 km x v = 0,4 x_v = 0{,}4 x v = 0 , 4 Ω/km S T 2 n = 2 × = 300 S_{T2n} = 2 \times = 300 S T 2 n = 2 × = 300 MVA U T 2 n = 220 U_{T2n} = 220 U T 2 n = 220 kV x T 2 = 12 x_{T2} = 12 x T 2 = 12 % S k = 3000 S_k = 3000 S k = 3000 MVA S = 600 S = 600 S = 600 MVA U r = 225 U_r = 225 U r = 225 kV U r ( c ) = 231 U_r^{(c)} = 231 U r ( c ) = 231 kV Rešenje Reaktanse pojedinih elemenata (svedene na naponski nivo voda) su:
X G = 1 3 ⋅ x G ( % ) 100 ⋅ U G n 2 S G n ⋅ 1 m T 1 2 = 1 3 ⋅ x G ( % ) 100 ⋅ U T 1 n 2 S G n = 1 3 ⋅ 160 100 ⋅ 231 2 200 = 142,296 Ω ; \begin{aligned} X_G &= \frac{1}{3} \cdot \frac{x_G(\%)}{100} \cdot \frac{U_{Gn}^2}{S_{Gn}} \cdot \frac{1}{m_{T1}^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x_G(\%)}{100} \cdot \frac{U_{T1n}^2}{S_{Gn}} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{160}{100} \cdot \frac{231^2}{200} = 142{,}296\ \Omega; \end{aligned} X G = 3 1 ⋅ 100 x G ( % ) ⋅ S G n U G n 2 ⋅ m T 1 2 1 = 3 1 ⋅ 100 x G ( % ) ⋅ S G n U T 1 n 2 = 3 1 ⋅ 100 160 ⋅ 200 23 1 2 = 142 , 296 Ω ; X T 1 = 1 3 ⋅ u k ( % ) 100 ⋅ U T 1 n 2 S T 1 n = 1 3 ⋅ 12 100 ⋅ 231 2 200 = 10,672 Ω ; \begin{aligned} X_{T1} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{u_k(\%)}{100} \cdot \frac{U_{T1n}^2}{S_{T1n}} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{100} \cdot \frac{231^2}{200} = 10{,}672\ \Omega; \end{aligned} X T 1 = 3 1 ⋅ 100 u k ( % ) ⋅ S T 1 n U T 1 n 2 = 3 1 ⋅ 100 12 ⋅ 200 23 1 2 = 10 , 672 Ω ; X v = x v L = 0,4 ⋅ 200 = 80 Ω ; X_v = x_vL = 0{,}4 \cdot 200 = 80\ \Omega; X v = x v L = 0 , 4 ⋅ 200 = 80 Ω ; X T 2 = 1 2 ⋅ u k ( % ) 100 ⋅ U T 2 n 2 S T 2 n = 1 2 ⋅ 12 100 ⋅ 220 2 300 = 9,68 Ω ; \begin{aligned} X_{T2} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{u_k(\%)}{100} \cdot \frac{U_{T2n}^2}{S_{T2n}} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{100} \cdot \frac{220^2}{300} = 9{,}68\ \Omega; \end{aligned} X T 2 = 2 1 ⋅ 100 u k ( % ) ⋅ S T 2 n U T 2 n 2 = 2 1 ⋅ 100 12 ⋅ 300 22 0 2 = 9 , 68 Ω ; X k = U k 2 S k = 220 2 3000 = 16,133 Ω . X_k = \frac{U_k^2}{S_k} = \frac{220^2}{3000} = 16{,}133\ \Omega. X k = S k U k 2 = 3000 22 0 2 = 16 , 133 Ω. Ekvivalentna šema sistema je:
Sa zamenske šeme je ukupna impedansa sistema
Z ‾ = j X = j ( X G + X T 1 + X v 3 + X T 2 + X k ) = j 205,448 Ω . \begin{aligned} \ph{Z} = \mathrm{j}X &= \mathrm{j}\left(X_G + X_{T1} + \frac{X_v}{3} + X_{T2} + X_k\right) \\ &= \mathrm{j}205{,}448\ \Omega. \end{aligned} Z = j X = j ( X G + X T 1 + 3 X v + X T 2 + X k ) = j 205 , 448 Ω. a. Provera statičke stabilnosti Sa zamenske šeme je elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse generatora (izraz preveden na linijske napone i trofazne snage):
E ‾ G = U r + j P X G + T 1 U r = 225 + j 600 ⋅ ( 142,296 + 10,672 ) 225 = ( 225 + j 407,9 ) kV = 465,85 ⋅ e j 61,12 ∘ kV \begin{aligned} \ph{E}_G &= U_r + \mathrm{j}\frac{PX_{G+T1}}{U_r} = 225 + \mathrm{j}\frac{600 \cdot (142{,}296 + 10{,}672)}{225} \\ &= (225 + \mathrm{j}407{,}9)\ \text{kV} = 465{,}85 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}61{,}12^\circ}\ \text{kV} \end{aligned} E G = U r + j U r P X G + T 1 = 225 + j 225 600 ⋅ ( 142 , 296 + 10 , 672 ) = ( 225 + j 407 , 9 ) kV = 465 , 85 ⋅ e j 61 , 1 2 ∘ kV Slično je napon iza potrošača
U ‾ = U r − j P X v / 3 + T 2 + k U r = 225 − j 600 ⋅ ( 80 / 3 + 9,68 + 16,133 ) 225 = ( 225 − j 139,94 ) kV = 264,97 ⋅ e − j 31,88 ∘ kV \begin{aligned} \ph{U} &= U_r - \mathrm{j}\frac{PX_{v/3+T2+k}}{U_r} = 225 - \mathrm{j}\frac{600 \cdot (80/3 + 9{,}68 + 16{,}133)}{225} \\ &= (225 - \mathrm{j}139{,}94)\ \text{kV} = 264{,}97 \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}31{,}88^\circ}\ \text{kV} \end{aligned} U = U r − j U r P X v /3 + T 2 + k = 225 − j 225 600 ⋅ ( 80/3 + 9 , 68 + 16 , 133 ) = ( 225 − j 139 , 94 ) kV = 264 , 97 ⋅ e − j 31 , 8 8 ∘ kV Iz dobijenih rezultata se vidi da je fazni pomeraj napona između generatora i potrošača
δ = 61,12 ∘ − ( − 31,88 ∘ ) = 93,00 ∘ , \delta = 61{,}12^\circ - (-31{,}88^\circ) = 93{,}00^\circ, δ = 61 , 1 2 ∘ − ( − 31 , 8 8 ∘ ) = 93 , 0 0 ∘ , što znači da je sistem statički nestabilan.
b. Potreban napon na pragu elektrane za statičku stabilnost Koristeći prethodne izraze dosta je teško odrediti koliko se mora promeniti napon na krajevima bloka generator-transformator da bi se imala statička stabilnost. Zato se može poći od jednog generalnijeg pristupa.
Opšti izraz za odatu aktivnu snagu i -te elektrane može se napisati u formi:
P G i = ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j sin ( δ i j − ψ i j ) + E G i 2 Z i i sin ψ i i , P_{Gi} = \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\sin(\delta_{ij} - \psi_{ij}) + \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\sin\psi_{ii}, P G i = j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j sin ( δ ij − ψ ij ) + Z ii E G i 2 sin ψ ii , pa je uslov za stabilan prenos da sinhronizaciona snaga, odnosno izvod aktivne snage po uglu bude veći od nula
∂ P G i ∂ δ i j = ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( δ i j − ψ i j ) > 0. \frac{\partial P_{Gi}}{\partial\delta_{ij}} = \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\delta_{ij} - \psi_{ij}) > 0. ∂ δ ij ∂ P G i = j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( δ ij − ψ ij ) > 0. Opšti izraz za unutrašnju reaktivnu snagu i -te elektrane može se napisati u formi:
Q G u n , i = E G i 2 Z i i cos ψ i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( δ i j − ψ i j ) , Q_{Gun,i} = \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos\psi_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\delta_{ij} - \psi_{ij}), Q G u n , i = Z ii E G i 2 cos ψ ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( δ ij − ψ ij ) , pa se prethodni izraz može napisati kao
∂ P G i ∂ δ i j = E G i 2 Z i i cos ψ i i − Q G u n , i > 0. \frac{\partial P_{Gi}}{\partial\delta_{ij}} = \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos\psi_{ii} - Q_{Gun,i} > 0. ∂ δ ij ∂ P G i = Z ii E G i 2 cos ψ ii − Q G u n , i > 0. U ovom konkretnom slučaju prethodni uslov se svodi na
E G 2 Z cos ψ − Q G u n > 0 , odnosno E G 2 > Z Q G u n . \frac{E_G^2}{Z}\cos\psi - Q_{Gun} > 0, \text{ odnosno } E_G^2 > ZQ_{Gun}. Z E G 2 cos ψ − Q G u n > 0 , odnosno E G 2 > Z Q G u n . Elektromotorna sila generatora se može izraziti kao
E G 2 = U r 2 + ( P X G + T 1 U r ) 2 , E_G^2 = U_r^2 + \left(\frac{PX_{G+T1}}{U_r}\right)^2, E G 2 = U r 2 + ( U r P X G + T 1 ) 2 , a unutrašnja reaktivna snaga generatora predstavlja praktično gubitke reaktivne snage u bloku generator-transformator (pošto je cos φ = 1 \cos\varphi = 1 cos φ = 1
Q G u n = X G + T 1 P 2 U r 2 . Q_{Gun} = X_{G+T1}\frac{P^2}{U_r^2}. Q G u n = X G + T 1 U r 2 P 2 . Ako se ove izvedene vrednosti zamene u prethodni izraz dobija se
U r 2 + ( P X G + T 1 U r ) 2 > Z X G + T 1 P 2 U r 2 , U_r^2 + \left(\frac{PX_{G+T1}}{U_r}\right)^2 > ZX_{G+T1}\frac{P^2}{U_r^2}, U r 2 + ( U r P X G + T 1 ) 2 > Z X G + T 1 U r 2 P 2 , čije rešenje po U r U_r U r
U r > P 2 X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) 4 = 231,86 kV . U_r > \sqrt[4]{P^2X_{G+T1}\left(Z - X_{G+T1}\right)} = 231{,}86\ \text{kV}. U r > 4 P 2 X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) = 231 , 86 kV . c. Granična prenosna snaga pri ispadu jednog voda Sa zamenske šeme posle ispada jednog voda ukupna impedansa sistema je
Z ‾ = j X = j ( X G + X T 1 + X v 2 + X T 2 + X k ) = j 218,78 Ω . \begin{aligned} \ph{Z} = \mathrm{j}X &= \mathrm{j}\left(X_G + X_{T1} + \frac{X_v}{2} + X_{T2} + X_k\right) \\ &= \mathrm{j}218{,}78\ \Omega. \end{aligned} Z = j X = j ( X G + X T 1 + 2 X v + X T 2 + X k ) = j 218 , 78 Ω. Iz prethodno izvedene jednačine je
U r 4 = P 2 X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) , U_r^4 = P^2X_{G+T1}\left(Z - X_{G+T1}\right), U r 4 = P 2 X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) , odnosno maksimalna prenosna aktivna snaga je
P M = U r 2 X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) = 231 2 152,968 ⋅ ( 218,78 − 152,968 ) = 531,83 MW . \begin{aligned} P_M &= \frac{U_r^2}{\sqrt{X_{G+T1}\left(Z - X_{G+T1}\right)}} \\ &= \frac{231^2}{\sqrt{152{,}968 \cdot (218{,}78 - 152{,}968)}} = 531{,}83\ \text{MW}. \end{aligned} P M = X G + T 1 ( Z − X G + T 1 ) U r 2 = 152 , 968 ⋅ ( 218 , 78 − 152 , 968 ) 23 1 2 = 531 , 83 MW . Izvođenje prethodnih izraza za aktivne i reaktivne snage generatora:
Ako se pretpostavi da je E ‾ G i = E G i \ph{E}_{Gi} = E_{Gi} E G i = E G i E ‾ G j = E G j / − δ i j ‾ \ph{E}_{Gj} = E_{Gj}\underline{/-\delta_{ij}} E G j = E G j / − δ ij j -ti generator kasni za i -tim), pa je:
S ‾ G i = E G i E G i − E ‾ G j ∗ Z ‾ i j ∗ = E G i 2 Z i j / β i j ‾ − E G i E G j Z i j / δ i j + β i j ‾ \begin{aligned} \ph{S}_{Gi} &= E_{Gi}\frac{E_{Gi} - \ph{E}_{Gj}^*}{\ph{Z}_{ij}^*} \\ &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ij}}\underline{/\beta_{ij}} - \frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\underline{/\delta_{ij} + \beta_{ij}} \end{aligned} S G i = E G i Z ij ∗ E G i − E G j ∗ = Z ij E G i 2 / β ij − Z ij E G i E G j / δ ij + β ij koja se može razdvojiti na jednačine za aktivne i reaktivne snage kao:
P G i = E G i 2 Z i i cos β i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( δ i j + β i j ) , Q G i = E G i 2 Z i i sin β i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j sin ( δ i j + β i j ) . \begin{aligned} P_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos\beta_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\delta_{ij} + \beta_{ij}), \\ Q_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\sin\beta_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\sin(\delta_{ij} + \beta_{ij}). \end{aligned} P G i Q G i = Z ii E G i 2 cos β ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( δ ij + β ij ) , = Z ii E G i 2 sin β ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j sin ( δ ij + β ij ) . Pošto je β i i = π / 2 − ψ i i \beta_{ii} = \pi/2 - \psi_{ii} β ii = π /2 − ψ ii β i j = π / 2 − ψ i j \beta_{ij} = \pi/2 - \psi_{ij} β ij = π /2 − ψ ij
P G i = E G i 2 Z i i cos ( π / 2 − ψ i i ) − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( δ i j + π / 2 − ψ i j ) , Q G i = E G i 2 Z i i sin ( π / 2 − ψ i i ) − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j sin ( δ i j + π / 2 − ψ i j ) . \begin{aligned} P_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos(\pi/2 - \psi_{ii}) - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\delta_{ij} + \pi/2 - \psi_{ij}), \\ Q_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\sin(\pi/2 - \psi_{ii}) - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\sin(\delta_{ij} + \pi/2 - \psi_{ij}). \end{aligned} P G i Q G i = Z ii E G i 2 cos ( π /2 − ψ ii ) − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( δ ij + π /2 − ψ ij ) , = Z ii E G i 2 sin ( π /2 − ψ ii ) − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j sin ( δ ij + π /2 − ψ ij ) . P G i = E G i 2 Z i i sin ψ i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j sin ( ψ i j − δ i j ) = E G i 2 Z i i sin ψ i i + ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j sin ( δ i j − ψ i j ) , Q G i = E G i 2 Z i i cos ψ i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( ψ i j − δ i j ) = E G i 2 Z i i cos ψ i i − ∑ j = 1 j ≠ i n E G i E G j Z i j cos ( δ i j − ψ i j ) . \begin{aligned} P_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\sin\psi_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\sin(\psi_{ij} - \delta_{ij}) \\ &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\sin\psi_{ii} + \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\sin(\delta_{ij} - \psi_{ij}), \\ Q_{Gi} &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos\psi_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\psi_{ij} - \delta_{ij}) \\ &= \frac{E_{Gi}^2}{Z_{ii}}\cos\psi_{ii} - \sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}\frac{E_{Gi}E_{Gj}}{Z_{ij}}\cos(\delta_{ij} - \psi_{ij}). \end{aligned} P G i Q G i = Z ii E G i 2 sin ψ ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j sin ( ψ ij − δ ij ) = Z ii E G i 2 sin ψ ii + j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j sin ( δ ij − ψ ij ) , = Z ii E G i 2 cos ψ ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( ψ ij − δ ij ) = Z ii E G i 2 cos ψ ii − j = 1 j = i ∑ n Z ij E G i E G j cos ( δ ij − ψ ij ) . Rezultat a) δ = 93,00 ∘ \delta = 93{,}00^\circ δ = 93 , 0 0 ∘
b) U r > 231,86 U_r > 231{,}86 U r > 231 , 86
c) P M = 531,83 P_M = 531{,}83 P M = 531 , 83
← Prethodni zadatak Zadatak 1: Statička stabilnost generatora i stepen rezerve Sledeći zadatak → Zadatak 3: Statička stabilnost sa potrošačem kao impedansom 