Predavanje 06

Kratki spojevi – nesimetrična stanja u složenim mrežama

Distributivne i industrijske mreže, TF Čačak

Elektroenergetski sistemi normalno rade u uslovima pogonske i geometrijske simetrije. To je poželjan radni režim.

Do nesimetričnih radnih stanja može doći iz raznih razloga, a najčešći su: kratki spojevi i prekidi provodnika. Ostali uzroci nesimetrije mogu biti: monofazni potrošači, nejednaka rastojanja provodnika, netranspozicija vodova i drugi.

Ponašanje EES-a pri kvarovima bitno je iz više uglova: planiranje, projektovanje i eksploatacija:

izbor parametara opreme (prvenstveno prekidača, koji treba da prekinu struje kvara);
provera uzemljenja;
zaštita postrojenja (relejna zaštita).

Postoje dva relevantna međunarodna standarda za definisanje parametara i karakteristika veličina struja kvara:

IEC – International Electrotechnical Commission
ANSI – American National Standard Institution

Kratki spojevi

Analiza kratkih spojeva vrši se u cilju određivanja veličina struja koje iz sistema dotiču u mesto kvara posle kratkog spoja. Te struje se menjaju sa vremenom.

Definicija: kratak spoj je spoj provodnika posredstvom malog otpora ili impedanse, između dve ili više tačaka, koje su obično pod različitim naponom.

Osnovne vrste kratkih spojeva prikazane su na slici:

Tri faze, R (A, a), S (B, b) i T (C, c), od izvora sa uzemljenim zvezdištem, linija L1, i kratki spojevi na njima označeni munjama: a. između sve tri faze, b. između dve faze, c. dve faze sa zemljom, d. jedna faza sa zemljom, e. simultani kvarovi

trofazni (tropolni) kratak spoj je spoj između sve tri faze (i eventualno sa zemljom, što ne utiče na veličinu struje kvara);
dvofazni kratak spoj je spoj između dve faze bez spoja sa zemljom;
dvofazni zemljospoj je spoj dve faze uz spoj sa zemljom;
jednofazni zemljospoj je spoj neke faze sa zemljom;
simultani kvarovi.

Spojevi sa zemljom nazivaju se zemljospojevi.

Orijentaciono učešće svih kvarova u mreži je:

80 % – jednopolni zemljospojevi;
10 % – dvopolni zemljospojevi;
5 % – dvopolni kratki spojevi;
5 % – tropolni kratki spojevi.

Vidi se da do tropolnih kratkih spojeva dolazi retko. To je jedini simetričan kvar. Tada se analiza može sprovesti samo po jednoj fazi (monofazno). Svi ostali kratki spojevi su nesimetrični i moraju se primeniti drugi specijalni postupci proračuna – najčešće simetrične komponente. To je klasičan i standardan postupak.

Ako se kratak spoj ne isključi brzo, on može preći u drugi, još teži kvar.

U opštem slučaju, najteži je tropolni kratak spoj. Međutim, to nije pravilo, jer ponekad dvofazni i jednofazni zemljospojevi mogu biti opasniji (to je slučaj mreža sa direktno uzemljenim zvezdištem u blizini izvora). Tada se moraju proračunati i zemljospojevi. Ako su oni opasniji, mora se uticati na način uzemljenja neutralne tačke.

Tipična vremenska promena struje kratkog spoja u jednoj fazi prikazana je na donjoj slici.

Ukupna struja kratkog spoja je zbir dve komponente:

1. Aperiodične prolazne (jednosmerne) komponente $i_{DC}(t)$ .

Ona je eksponencijalnog oblika i brzo se prigušuje sa vremenskom konstantom $T_a$ (reda 50 do 100 ms):

i_{DC}(t) = \sqrt{2}\, I_k'' e^{-t/T_a} \sin\alpha .

2. Sinusoidne (naizmenične) komponente sistemske učestanosti $i_{AC}(t)$ .

Ona osciluje oko efektivne vrednosti struje kratkog spoja i posle dugog vremena definiše stacionarnu vrednost:

\begin{aligned} i_{AC}(t) = \sqrt{2} \Big[ &\left( I_k'' - I_k' \right) e^{-t/T_d''} \sin(\omega t - \alpha) \\ &+ \left( I_k' - I_k \right) e^{-t/T_d'} \sin(\omega t - \alpha) + I_k \sin(\omega t - \alpha) \Big] . \end{aligned}

Struja kratkog spoja u vremenu, u fazama R, S i T: pre kvara struja I_n; u fazi R posle kvara udarna struja i_p, gornja i donja anvelopa koje se sužavaju do ustaljene struje i_k (do 4 s) i jednosmerna komponenta koja se prigušuje; u fazama S i T, do 0,5 s, jednosmerne komponente suprotnog znaka

Ukupna struja kvara je zbir dve prethodno definisane komponente:

i_k(t) = i_{DC}(t) + i_{AC}(t) .

Indeks vrste kvara “k” u prethodnim izrazima podrazumeva:

“3” za trofazni kratak spoj;
“2” za dvofazni kratak spoj;
“2E” za dvofazni zemljospoj;
“1” za jednofazni zemljospoj.

U prethodnom izrazu za naizmeničnu komponentu struje kvara definisane su dve vremenske konstante:

$T_d''$ – suptranzijentna vremenska konstanta;
$T_d'$ – tranzijentna vremenska konstanta.

Definisane vremenske konstante zavise od karakteristika izvora, mreže i lokacije kvara.

Impedanse generatora menjaju se u zavisnosti od perioda posle kvara (one su praktično uzrok ovakvog ponašanja struje kvara):

$\ph{Z}''_G \approx \mathrm{j} X_d''$ – suptranzijentni period (indeks “d” označava veličine u d-osi)
$\ph{Z}'_G \approx \mathrm{j} X_d'$ – tranzijentni period
$\ph{Z}_G \approx \mathrm{j} X_d$ – ustaljeni period

Ovako se uvažavaju promene impedansi tokom prelaznog procesa. Orijentaciono trajanje pojedinih perioda je:

0,1 s za suptranzijentni period;
1,0 s za tranzijentni period;
$>1{,}0$ s za ustaljeni period.

Mreža simetričnih komponenata složenih mreža

Za proračune se po pravilu primenjuju simetrične komponente. Posmatra se sledeći trofazni sistem:

Faze R, S i T preko impedansi Z_Y spojene u neutralnu tačku, koja je preko impedanse uzemljenja Z_N vezana za zemlju; napon faze R prema neutralnoj tački V_RN i napon neutralne tačke V_N

Na prethodnoj slici R, S i T su oznake faza (po IEC standardu).

$\ph{Z}_Y$ je ekvivalentna impedansa po fazi.

$\ph{Z}_N$ je impedansa uzemljenja priključena u neutralnu tačku.

Za mrežu na prethodnoj slici važi sledeća jednačina:

\begin{aligned} \begin{bmatrix} \ph{V}_R \\ \ph{V}_S \\ \ph{V}_T \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ph{V}_{RN} \\ \ph{V}_{SN} \\ \ph{V}_{TN} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \ph{V}_N \\ \ph{V}_N \\ \ph{V}_N \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \ph{Z}_Y \ph{I}_R \\ \ph{Z}_Y \ph{I}_S \\ \ph{Z}_Y \ph{I}_T \end{bmatrix} + 3 \ph{I}^0 \ph{Z}_N = \ph{Z}_Y \begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix} + 3 \ph{I}^0 \ph{Z}_N . \end{aligned}

Veza struja u fazama i njihovih simetričnih komponenti (izvedena u temi iz simetričnih komponenti) je:

\begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \ph{a}^2 & \ph{a} & 1 \\ \ph{a} & \ph{a}^2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \\ \ph{I}^0 \end{bmatrix} ; \quad \ph{a} = e^{\mathrm{j} 2\pi/3} \text{ - kompleksni operator}

Tada je:

\ph{A} \begin{bmatrix} \ph{V}^d \\ \ph{V}^i \\ \ph{V}^0 \end{bmatrix} = \ph{A} \ph{Z}_Y \begin{bmatrix} \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \\ \ph{I}^0 \end{bmatrix} + 3 \ph{I}^0 \ph{Z}_N \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad / \ph{A}^{-1} ;

\begin{bmatrix} \ph{V}^d \\ \ph{V}^i \\ \ph{V}^0 \end{bmatrix} = \ph{Z}_Y \begin{bmatrix} \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \\ \ph{I}^0 \end{bmatrix} + 3 \ph{I}^0 \ph{Z}_N \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} .

Prethodna jednačina data u raspregnutom obliku je:

\boxed{\begin{aligned} \ph{V}^d &= \ph{Z}_Y \ph{I}^d = \ph{Z}^d \ph{I}^d \\ \ph{V}^i &= \ph{Z}_Y \ph{I}^i = \ph{Z}^i \ph{I}^i \\ \ph{V}^0 &= \left( \ph{Z}_Y + 3 \ph{Z}_N \right) \ph{I}^0 = \ph{Z}^0 \ph{I}^0 \end{aligned}} .

Iz prethodnog se vidi:

1. Prvobitni sistem se raspreže na tri nezavisna komponentna podsistema, što je i bio cilj primene simetričnih komponenti.

2. $\ph{Z}^d = \ph{Z}^i = \ph{Z}^{eq} = \ph{Z}_Y$ – direktna i inverzna impedansa jednake su faznoj impedansi.

3. $\ph{Z}^0 = \ph{Z}^{eq} + 3 \ph{Z}_N$ – nulta impedansa je zbir fazne impedanse i trostruke impedanse u povratnom putu kroz koji se zatvaraju nulte struje (impedansa uzemljenja, impedansa povratnog puta kroz zemlju, impedansa zemljovodnog užeta i druge).

Važan zaključak: Za nultu komponentu sve impedanse u povratnom putu množe se sa 3.

To znači da su Thevenin-ovi ekvivalenti za mreže simetričnih komponenata:

Mreža direktnog redosleda: između tačke kvara F^d i čvora N^d izvor E_f^p na red sa impedansom Z_eq^d, struja I^d i napon V^d na krajevima — Direktni (RST) redosled

Mreža inverznog redosleda: između tačke kvara F^i i čvora N^i samo impedansa Z_eq^i, struja I^i i napon V^i na krajevima — Inverzni (RTS) redosled

Mreža nultog redosleda: između tačke kvara F^0 i čvora N^0 samo impedansa Z_eq^0, struja I^0 i napon V^0 na krajevima — Nulti redosled

Sa slike se vidi da spoljašnji izvor $\ph{E}_f^p$ (elektromotorna sila na mestu kvara pre kvara – indeks “p”) deluje samo u mreži direktnog redosleda.

Mreže inverznog i nultog redosleda nemaju izvore, jer se pretpostavlja da je sistem pre kvara bio simetričan.

Dakle, opšte jednačine EES-a su:

\boxed{\begin{aligned} \ph{V}^d &= \ph{E}_f^p - \ph{Z}_{eq}^d \ph{I}^d \\ \ph{V}^i &= -\ph{Z}_{eq}^i \ph{I}^i \\ \ph{V}^0 &= -\ph{Z}_{eq}^0 \ph{I}^0 \end{aligned}} .

Nulte struje i impedanse postoje uvek kada za struju kvara postoji povratni provodnik, zemljovodno uže ili zemlja.

Impedanse simetričnih komponenata

Impedanse direktnog redosleda

One predstavljaju impedanse elemenata uravnoteženog (simetričnog) opterećenja u normalnom pogonu. To su impedanse (fazne) generatora ( $\ph{Z}_G$ ), transformatora ( $\ph{Z}_T$ ), vodova ( $\ph{Z}_v$ ), prigušnica ( $\ph{Z}_L$ ), kondenzatora ( $\ph{Z}_C$ ) i potrošača ( $\ph{Z}_p$ ) u trenutku kada se dogodio kratak spoj.

Specifičnost sinhronih mašina je da koriste impedanse direktnog redosleda za pojedine periode:

$\ph{Z}''_d \approx \mathrm{j} X_d''$ – suptranzijentni period;
$\ph{Z}'_d \approx \mathrm{j} X_d'$ – tranzijentni period;
$\ph{Z}_d \approx \mathrm{j} X_d$ – ustaljeni period.

Za sve periode uzimaju se zasićene vrednosti.

Impedanse inverznog redosleda

Za sve statičke elemente (transformatori, vodovi, kondenzatori, prigušnice i drugi) jednake su direktnim, i ne zavise od redosleda faza.

Kod sinhronih mašina su:

Turbogeneratori: $\ph{Z}^i = \ph{Z}''_d \approx \mathrm{j} X_d''$ (uzimaju se vrednosti u d-osi u suptranzijentnom periodu).
Hidrogeneratori: $\ph{Z}^i = (1{,}2 - 1{,}5) \ph{Z}''_d \approx (1{,}2 - 1{,}5)\, \mathrm{j} X_d''$

koeficijent 1,2 za mašine sa prigušnim namotajem.
koeficijent 1,5 mašine bez prigušnog namotaja.

Impedanse nultog redosleda

Generatori imaju znatno manju (3-6 puta) nultu impedansu od suptranzijentne impedanse. Nulta impedansa generatora jako zavisi od tipa generatorskog blok-transformatora. Neki karakteristični slučajevi sprega transformatora su:

Kada su namotaji na strani generatora spregnuti u trougao, oni su za nulte struje prekid, pa je impedansa generatora bez uticaja na proračun (struju kvara). Nulta zamenska šema je:

Transformator Yd, zvezda na strani 1 i trougao na strani 2, i njegova nulta zamenska šema: od kraja 1 redna impedansa Z_1, poprečna Z_m i Z'_2, koja je na strani trougla kratko spojena sa povratnim provodnikom, tako da je kraj 2 odvojen

Uprošćena šema prethodne šeme je:

Uprošćena nulta šema transformatora Yd: od kraja 1 reaktanse jX_1 i jX'_2 do povratnog provodnika, kraj 2 odvojen

Impedansa transformatora zavisi od sprege namotaja (d, y, z), konstrukcije jezgra i stanja zvezdišta (načina uzemljenja neutralne tačke).
Generalno: Yy, Yd i Dd sprege imaju beskonačne nulte impedanse i one su prekid u mreži (imaju neuzemljeno zvezdište). Primeri nultih zamenskih šema su:

Transformator Yy i njegova nulta šema: Z_1, Z_m i Z'_2, a oba kraja, 1 i 2, odvojena

Transformator Dd i njegova nulta šema: Z_1, Z_m i Z'_2, na obe strane kratko spojene sa povratnim provodnikom, a oba kraja, 1 i 2, odvojena

Vrlo slično se izvode uprošćene šeme, na osnovu napred date šeme Yd.

Neke od karakterističnih šema sa uzemljenom neutralnom tačkom na jednoj strani su:

Transformator sa uzemljenim zvezdištima na obe strane i njegova nulta šema: Z_1, Z_m i Z'_2, oba kraja, 1 i 2, vezana

Transformator sa uzemljenom zvezdom na strani 1 i neuzemljenom zvezdom na strani 2 i njegova nulta šema: Z_1, Z_m i Z'_2, kraj 1 vezan, kraj 2 odvojen

Transformator sa uzemljenom zvezdom na strani 1 i trouglom na strani 2 i njegova nulta šema: Z_1, Z_m i Z'_2, kraj 1 vezan, a Z'_2 na strani trougla kratko spojena sa povratnim provodnikom i kraj 2 odvojen

Transformator sa trouglom na strani 1 i zvezdom na strani 2 uzemljenom preko impedanse Z_N i njegova nulta šema: Z_1 na strani trougla kratko spojena sa povratnim provodnikom i kraj 1 odvojen, Z_m, i Z'_2 + 3Z'_N do kraja 2, koji je vezan

Transformator sa zvezdom na strani 1 uzemljenom preko impedanse Z_N i trouglom na strani 2 i njegova nulta šema: Z_1 + 3Z_N od kraja 1, koji je vezan, Z_m, i Z'_2 na strani trougla kratko spojena sa povratnim provodnikom, kraj 2 odvojen

Transformator sa trouglom na strani 1 i direktno uzemljenom zvezdom na strani 2 i njegova nulta šema: Z_1 na strani trougla kratko spojena sa povratnim provodnikom i kraj 1 odvojen, Z_m, i Z'_2 do kraja 2, koji je vezan

Opšta metoda proračuna napona i struja kratkog spoja

Da bi se izvršila analiza struja i napona u trofaznom EES-u, treba odrediti struje i napone u sve tri faze, kao i njihove simetrične komponente.

Dakle, ukupan broj promenljivih koje treba odrediti je 12: $\ph{I}_R$ , $\ph{I}_S$ , $\ph{I}_T$ , $\ph{V}_R$ , $\ph{V}_S$ , $\ph{V}_T$ , $\ph{I}^d$ , $\ph{I}^i$ , $\ph{I}^0$ , $\ph{V}^d$ , $\ph{V}^i$ i $\ph{V}^0$ .

Da bi se rešilo prethodnih 12 promenljivih, potrebno je postaviti isto toliko jednačina:

3 jednačine: opšte jednačine elektroenergetskog sistema

\boxed{\begin{aligned} \ph{V}^d &= \ph{E}_f^p - \ph{Z}_{eq}^d \ph{I}^d \\ \ph{V}^i &= -\ph{Z}_{eq}^i \ph{I}^i \\ \ph{V}^0 &= -\ph{Z}_{eq}^0 \ph{I}^0 \end{aligned}} .

3 jednačine: simetrične komponente struja

\boxed{\begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \ph{a}^2 & \ph{a} & 1 \\ \ph{a} & \ph{a}^2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \\ \ph{I}^0 \end{bmatrix}} .

3 jednačine: simetrične komponente napona

\boxed{\begin{bmatrix} \ph{V}_R \\ \ph{V}_S \\ \ph{V}_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \ph{a}^2 & \ph{a} & 1 \\ \ph{a} & \ph{a}^2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{V}^d \\ \ph{V}^i \\ \ph{V}^0 \end{bmatrix}} .

3 jednačine: fizička očiglednost, koja karakteriše pojedine vrste kvarova

Može se zaključiti da je prvih devet jednačina već dato i da one uvek važe, nezavisno od vrste kvara. Jedino su poslednje tri funkcija vrste kvara.

Jednofazni kratak spoj

Zamenska šema ove vrste kvara za kvar u fazi R je:

Faza R spojena sa zemljom, V_R = 0; naponi V_S i V_T faza S i T prema zemlji

Terminalni uslovi za ovaj kvar su:

\boxed{\begin{aligned} \ph{V}_R &= 0 \\ \ph{I}_S &= 0 \\ \ph{I}_T &= 0 \end{aligned}} .

Iz terminalnih uslova struja je:

\begin{aligned} \ph{I}^d &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{a} \ph{I}_S + \ph{a}^2 \ph{I}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{I}_R \\ \ph{I}^i &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{a}^2 \ph{I}_S + \ph{a} \ph{I}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{I}_R \\ \ph{I}^0 &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{I}_S + \ph{I}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{I}_R \end{aligned} .

To znači da je:

\ph{I}^d = \ph{I}^i = \ph{I}^0 = \frac{1}{3} \ph{I}_R .

Iz terminalnog uslova $\ph{V}_R = 0$ je:

\ph{V}^d + \ph{V}^i + \ph{V}^0 = 0 .

Ako se prethodna jednačina zameni u jednačinu $\ph{V}^d = \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d$ , dobija se:

-\ph{V}^i - \ph{V}^0 = \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d .

Zamenom jednačina EES-a za $\ph{V}^i$ i $\ph{V}^0$ dobija se:

\ph{Z}^i \ph{I}^i + \ph{Z}^0 \ph{I}^0 = \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d .

Pošto je $\ph{I}^d = \ph{I}^i = \ph{I}^0$ onda je:

\boxed{\ph{I}^d = \ph{I}^i = \ph{I}^0 = \frac{\ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d + \ph{Z}^i + \ph{Z}^0}} .

Struja u fazi R je:

\boxed{\ph{I}_{k1} = \left| \ph{I}_R \right| = 3 \ph{I}^d = \frac{3 \ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d + \ph{Z}^i + \ph{Z}^0}} .

Jednopolna šema simetričnih komponenata koja važi za jednofazni kratak spoj je:

Redna veza mreža simetričnih komponenata: izvor E_f^p, impedansa Z^d sa strujom I^d i naponom V^d, impedansa Z^i sa strujom I^i i impedansa Z^0 sa strujom I^0 i naponom V^0, u jednoj petlji

$\ph{Z}^d$ , $\ph{Z}^i$ i $\ph{Z}^0$ su ekvivalentne impedanse koje se vide sa mesta kvara.

Dvofazni zemljospoj

Zamenska šema ove vrste kvara je:

Faze S i T spojene sa zemljom, V_S = V_T = 0, a faza R bez struje, I_R = 0

Terminalni uslovi za ovaj kvar su:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}_R &= 0 \\ \ph{V}_S &= 0 \\ \ph{V}_T &= 0 \end{aligned}} .

Iz gornjih jednačina terminalnih uslova je:

\begin{aligned} \ph{I}_R &= \ph{I}^d + \ph{I}^i + \ph{I}^0 \\ \ph{V}^d &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a} \ph{V}_S + \ph{a}^2 \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{V}_R \\ \ph{V}^i &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a}^2 \ph{V}_S + \ph{a} \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{V}_R \\ \ph{V}^0 &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{V}_S + \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \ph{V}_R \end{aligned} .

Iz poslednje tri jednačine je:

\ph{V}^d = \ph{V}^i = \ph{V}^0 = \frac{1}{3} \ph{V}_R .

Opšte jednačine EES-a daju:

\begin{gathered} \ph{V}^d = \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d \; ; \\ \ph{V}^d = \ph{V}^i = -\ph{Z}^i \ph{I}^i = (\ph{I}^d + \ph{I}^0) \ph{Z}^i \; ; \\ \ph{V}^d = \ph{V}^0 = -\ph{Z}^0 \ph{I}^0 \; ; \\ \ph{I}^d + \ph{I}^i + \ph{I}^0 = 0 . \end{gathered}

U prethodnom sistemu od četiri jednačine, nepoznate su: $\ph{V}^d$ , $\ph{I}^d$ , $\ph{I}^i$ i $\ph{I}^0$ .

Rešavanjem gornjeg sistema jednačina dobija se:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}^d &= \frac{\ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d + \dfrac{\ph{Z}^i \ph{Z}^0}{\ph{Z}^i + \ph{Z}^0}} \\ &= \frac{\left( \ph{Z}^i + \ph{Z}^0 \right) \ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d \ph{Z}^i + \ph{Z}^d \ph{Z}^0 + \ph{Z}^i \ph{Z}^0} \end{aligned}} \; ;

Jednopolna šema je:

Mreža direktnog redosleda, izvor E_f^p i impedansa Z^d sa strujom I^d i naponom V^d na krajevima, na koje su paralelno vezane impedansa Z^i sa strujom I^i i naponom V^i i impedansa Z^0 sa strujom I^0 i naponom V^0

Dvofazni kratak spoj

Zamenska šema ove vrste kvara je:

Faze S i T spojene međusobno, bez spoja sa zemljom: I_R = 0, I_S = −I_T, V_S = V_T

Terminalni uslovi za ovaj kvar su:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}_R &= 0 \\ \ph{I}_S &= -\ph{I}_T \\ \ph{V}_S &= \ph{V}_T \end{aligned}} .

Iz prve dve jednačine sledi:

\begin{aligned} \ph{I}^d &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{a} \ph{I}_S + \ph{a}^2 \ph{I}_T \right) = \frac{1}{3} \left( \ph{a} - \ph{a}^2 \right) \ph{I}_S \\ \ph{I}^i &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{a}^2 \ph{I}_S + \ph{a} \ph{I}_T \right) = \frac{1}{3} \left( \ph{a}^2 - \ph{a} \right) \ph{I}_S \\ \ph{I}^0 &= \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{I}_S + \ph{I}_T \right) = 0 \end{aligned} .

Iz prve dve jednačine je:

\ph{I}^d = -\ph{I}^i ,

a iz treće:

\boxed{\ph{V}^0 = -\ph{Z}^0 \ph{I}^0 = 0} .

Rezultati $\ph{V}^0 = \ph{I}^0 = 0$ su potpuno logični i očekivani, pošto prilikom ovog kvara nema kontakta sa zemljom, pa samim tim nemaju kuda da se zatvore nulte struje.

Iz opštih jednačina EES-a je:

\begin{aligned} \ph{V}^d &= \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d \; ; \\ \ph{V}^i &= -\ph{Z}^i \ph{I}^i = \ph{Z}^i \ph{I}^d . \end{aligned}

Do sada u izvođenju nije korišćena treća terminalna jednačina koja daje:

\begin{aligned} \ph{V}^d &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a} \ph{V}_S + \ph{a}^2 \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + (\ph{a} + \ph{a}^2) \ph{V}_S \right) ; \\ \ph{V}^i &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a}^2 \ph{V}_S + \ph{a} \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + (\ph{a}^2 + \ph{a}) \ph{V}_S \right) , \end{aligned}

odakle je: $\boxed{\ph{V}^d = \ph{V}^i}$ .

Zamenom ovog uslova u gornje jednačine dobija se:

\begin{aligned} \ph{V}^d &= \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d ; \\ \ph{V}^i &= \ph{V}^d = -\ph{Z}^i \ph{I}^i . \end{aligned}

odakle je:

\boxed{\ph{I}^d = \frac{\ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d + \ph{Z}^i}} .

Jednopolna šema je:

Mreža direktnog redosleda, izvor E_f^p i impedansa Z^d sa strujom I^d i naponom V^d na krajevima, na koje je vezana impedansa Z^i sa strujom I^i i naponom V^i

Važan zaključak: U slučaju dvopolnog kratkog spoja (bez zemljospoja) nulta komponenta nema uticaja na kvar, pa je ne treba ni računati. To je zato što nema kontakta sa zemljom, pa nulte struje nemaju kuda da se zatvore.

Trofazni kratak spoj

Zamenska šema ove vrste kvara je:

Faze R, S i T spojene međusobno, a isprekidanom linijom i sa zemljom: I_R + I_S + I_T = 0, V_R = V_S, V_S = V_T

Terminalni uslovi za ovaj kvar su:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}_R + \ph{I}_S + \ph{I}_T &= 0 \\ \ph{V}_R &= \ph{V}_S \\ \ph{V}_S &= \ph{V}_T \end{aligned}} .

Iz poslednje dve jednačine sledi:

\begin{aligned} \ph{V}^d &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a} \ph{V}_S + \ph{a}^2 \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \left( 1 + \ph{a} + \ph{a}^2 \right) \ph{V}_R = 0 ; \\ \ph{V}^i &= \frac{1}{3} \left( \ph{V}_R + \ph{a}^2 \ph{V}_S + \ph{a} \ph{V}_T \right) = \frac{1}{3} \left( 1 + \ph{a}^2 + \ph{a} \right) \ph{V}_R = 0 . \end{aligned}

Zbog gornje osobine svejedno je da li ima spoja sa zemljom, ili ne, pri tropolnom kratkom spoju.

Dalje je:

\ph{I}^0 = \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{I}_S + \ph{I}_T \right) = 0 .

Iz opšte jednačine EES-a:

\ph{V}^d = \ph{E}_f^p - \ph{Z}^d \ph{I}^d ,

dobija se:

\boxed{\ph{I}^d = \frac{\ph{E}_f^p}{\ph{Z}^d}} .

Iz prethodnih izvođenja takođe je:

\begin{aligned} \ph{V}^0 &= -\ph{Z}^0 \ph{I}^0 = 0 ; \\ \ph{V}^i &= -\ph{Z}^i \ph{I}^i = 0 . \end{aligned}

Jednopolna šema je:

Mreža direktnog redosleda, izvor E_f^p i impedansa Z^d sa strujom I^d, kratko spojena na krajevima, napon V^d

Opšta procedura proračuna kratkih spojeva

Prethodno izlaganje može se generalizovati kroz sledeće korake za proračun struja kratkih spojeva u složenim EES-ima:

Nacrtati mrežu simetričnih komponenata sa odgovarajućim vrednostima direktnih, inverznih i nultih impedansi za pojedine elemente (generatore, transformatore, vodove, potrošače i druge).
Zavisno od lokacije kvara, izračunati ekvivalentne impedanse direktnog, inverznog i nultog redosleda, gledano sa mesta kvara.
Zavisno od tipa kvara, povezati izvore i impedanse izračunate u Koraku 2, shodno prethodnom izlaganju i izvedenim izrazima.
Izračunati simetrične komponente struja kratkog spoja $\ph{I}^d$ , $\ph{I}^i$ i $\ph{I}^0$ , kao i za napone $\ph{V}^d$ , $\ph{V}^i$ i $\ph{V}^0$ za dati kvar.
Proračunati struje i napone po fazama na mestu kvara, na osnovu njihovih simetričnih komponenata.
Proračunati raspodelu struja simetričnih komponenata, a zatim i struja kvara, koristeći šeme impedansi iz Koraka 1.

Komentar:

Za proračun ekvivalentnih impedansi koje se vide sa mesta kvara koriste se matrični metodi, slično proračunu tokova snaga (biće obrađeni u nastavku). Interesantno je da se taj postupak mora primeniti za direktni, inverzni i nulti sistem simetričnih komponenata, što je dosta neracionalno sa računske tačke, pošto je veći deo elemenata isti u sve tri šeme (praktično za direktni i inverzni redosled sve osim generatora).

Zato postoje interesantni postupci za ubrzavanje proračuna koji daju konstantne funkcionalne veze (neće se detaljnije obrađivati u ovom kursu).

Teme

Kratki spojevi · Simetrične komponente

Zadaci uz ovo predavanje

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Distributivne i industrijske mrežeNa Drive-u: Predavanja