Predavanje 03

Proračun tokova snaga u distributivnim mrežama

Distributivne i industrijske mreže, TF Čačak

Osnovne specifičnosti distributivnih mreža koje određuju i način proračuna tokova snaga su:

Radijalna struktura mreža u eksploataciji.
Veliki broj vodova i transformatora različitih sprega (važno kod trofaznih proračuna), što otežava proračun za klasične modele.
Mali stepen povezanosti zbog radijalne strukture.
R/X vodova i transformatora u distribuciji varira u širokim granicama (dovodi do loše konvergencije proračuna tokova snaga).
Teškoće u primeni klasičnih algoritama (konvergencija, brzina proračuna, zahtevana memorija), što je uslovljeno velikom dimenzionalnošću distributivnih mreža, u kojima su svi čvorovi praktično PQ-tipa (osim u čvorovima gde su priključeni distribuirani generatori).
Problem određivanja prostorne i vremenske fluktuacije opterećenja (nedostatak dovoljne redundanse merenja).
Najčešće se pretpostavlja da se dijagram opterećenja u izvornoj transformatorskoj stanici (TS) raspodeljuje na pripadajuće TS srazmerno nominalnim snagama (dosta nerealno u praksi).

Iterativni model proračuna tokova snaga

Postoji više modela, ali je najpopularniji i najviše se koristi Shirmohammadi-jev algoritam, koji će se obraditi detaljnije.

Primer radijalne mreže, uz alternativne načine redosleda čvorova prikazan je na donjoj slici. Prvi način po nivoima (layers) je najjednostavniji i najlakši za implementaciju, pa se najviše i koristi.

Radijalna mreža od 0-tog (izvornog) čvora, čvorovi 1 do 31 numerisani po nivoima 1 do 10 (isprekidane horizontalne linije); isprekidanim linijama su ucrtane grane koje zatvaraju petlje (5–22, 22–27–31, 19–29) — Označavanje čvorova po nivoima

Ista radijalna mreža od 0-tog (izvornog) čvora, čvorovi numerisani redom duž ogranaka (1, 2, 3, … 9 po glavnom ogranku, zatim 10, 11 i dalje); isprekidanim linijama ucrtane su iste grane koje zatvaraju petlje — Označavanje čvorova po ograncima

Ukupan broj grana u sistemu je B, a čvorova $N = B + 1$ (izvorni čvor se označava kao 0-ti). Vidi se da se $\ell$ -ta grana uvek završava u i-tom čvoru ( $\ell = i$ ).

Proračun se vrši kroz sledeće korake:

1. Zadavanje inicijalnih napona u čvorovima

U nedostatku boljih informacija pretpostaviti:

V_i^{(0)} = V_{in}\,; \quad \theta_i^{(0)} = 0^\circ ; \quad i = 0, 1, \cdots, N .

2. Iterativni proračun zamenom unazad struja injektiranja u čvorovima, koristeći vrednosti napona u čvorovima iz prethodne iteracije

Izračunavanje počinje od poslednjeg (N-tog) čvora. Kompleksna struja koja ulazi u i-ti čvor po grani $\ell = i$ , prema slici je (uočiti da se proračun sprovodi počev od zadnjeg čvora):

\ph{I}_{ui} = \ph{I}_{pi} + \ph{I}_{Ci} + \sum_{\substack{\ell = 1 \\ \ell \neq i}}^{\alpha_{\ell i}} \ph{I}_{u\ell}\,; \quad i = N, N - 1, \cdots, 0 ,

gde je:

$\ph{I}_{pi}$ – kompleksna struja potrošača u i-tom čvoru;
$\ph{I}_{Ci}$ – kompleksna struja kondenzatora priključenog otočno u i-tom čvoru (distributivne mreže po pravilu imaju induktivni faktor snage, pa se u njima često vrši kompenzacija reaktivne snage: obično baterijama otočnih kondenzatora);
$\ph{I}_{u\ell}$ – kompleksna struja na ulazu u $\ell$ -tu granu, incidentnu i-tom čvoru;
$\alpha_{\ell i}$ – ukupan broj grana incidentnih i-tom čvoru.

Struje u i-tom čvoru: po ℓ-toj grani (ℓ = i) u čvor ulazi struja I_ui; iz čvora izlaze struja kondenzatora priključenog u i-ti čvor I_Ci, struja potrošača priključenog u i-ti čvor I_pi i struje I_uℓ ℓ-tih grana (ℓ ≠ i), njih α_ℓi

Kompleksna struja potrošača u i-tom čvoru zavisi od načina modelovanja. Za tri različita načina modelovanja (model konstantne snage, konstantne struje i konstantne impedanse ili admitanse) je:

\ph{I}_{pi} = \begin{cases} \dfrac{P_{pi}^{sp} - \mathrm{j} Q_{pi}^{sp}}{\sqrt{3}\,\cj{\ph{U}}_i}\,; & P_{pi}^{sp} = \text{Const.};\ Q_{pi}^{sp} = \text{Const.}; \\[3ex] \dfrac{P_{pi} - \mathrm{j} Q_{pi}}{\sqrt{3}\,\ph{U}_i^{*(k-1)}} = I_{pi}^{sp} \underline{/\theta_i - \varphi_i}\,; & I_{pi}^{sp} = \dfrac{\sqrt{\left( P_{pi}^{sp} \right)^2 + \left( Q_{pi}^{sp} \right)^2}}{\sqrt{3}\, U_{in}} = \text{Const.}; \\[3ex] \dfrac{\ph{V}_i}{\ph{Z}_{pi}} = \ph{V}_i Y_{pi}^{sp} \underline{/-\beta_i}\,; & Y_{pi}^{sp} = \left| \dfrac{P_{pi}^{sp} + \mathrm{j} Q_{pi}^{sp}}{U_{in}^2} \right| = \text{Const.} \end{cases}

Slični izrazi važe i za kondenzatore (uvažavajući njihovu kapacitivnu prirodu, $P_{Ci} = 0$ ).

Model konstantne snage tipičan je za motorne pogone. Model konstantne admitanse karakterističan je za potrošače sa pretežno termičkom potrošnjom (električno grejanje). Na kraju, model konstantne struje je kombinacija modela konstantne snage i konstantne admitanse, pa je samim tim najpogodniji za potrošačke centre sa mešovitom potrošnjom.

Način iterativnog proračuna struje $\ph{I}_{u\ell}$ (zamenom unazad) zavisi od tipa konkretne grane između neka dva čvora. Ti se izrazi izvode za pojedine modele vodova i transformatora.

3. Iterativni proračun napona čvorova zamenom unapred, koristeći struje injektiranja izračunate u koraku 2

Proračun se sprovodi počev od prvog čvora (zamena unapred), primenom izraza:

\ph{V}_i = \ph{V}_{i, poc.cvor} - \ph{Z}_\ell \ph{I}_\ell .

4. Provera kriterijuma konvergencije

Za potrošače modelovane modelom konstantne snage primenjuje se kriterijum snaga:

\begin{aligned} &\left| P_i - P_i^{sp} \right| \le \varepsilon_P\,; \\ &\left| Q_i - Q_i^{sp} \right| \le \varepsilon_Q\,; \quad i = 1, 2, \cdots, N . \end{aligned}

U ostalim slučajevima ne može se primeniti ovaj kriterijum (pošto se stvarne snage menjaju u odnosu na specificirane, zbog promene napona), tako da se kao kriterijum konvergencije može koristiti razlika vrednosti modula napona čvorova u dve susedne iteracije:

\left| V_i^{(k)} - V_i^{(k-1)} \right| \le \varepsilon_V , \quad i = 1, 2, \cdots, N .

Ako kriterijum konvergencije nije zadovoljen, ponovo se sprovode proračuni u koracima 2 $\div$ 4.

Za realne mreže izloženi algoritam ima konvergenciju za manje od 10 iteracija, praktično nezavisno od veličine, strukture i osobina distributivne mreže.

U slučaju da u distributivnim mrežama postoje PVG-čvorovi, na njima su zadati aktivna opterećenja potrošača ( $P_{pi}^{sp}$ ) i moduli fazora napona ( $V_i^{sp}$ ). Zahtevani napon održava se promenom injektiranja reaktivne snage ( $Q_i$ ).

Iterativni proces proračuna započinje pretpostavljajući da je u k-toj iteraciji $V_i^{(k)} = V_i^{sp}$ i $Q_i^{(k)} = 0$ . Koraci 1, 2 i 4 ostaju nepromenjeni, dok se u koraku 3 (u kome se proračunavaju naponi) unose određene izmene. Ako je u k-toj iteraciji u nekom PVG-čvoru izračunati napon razlikuje od specifikovanog, tada se modifikovana vrednost napona izračunava kao:

\ph{V}_i^{novo,(k)} = \ph{V}_i^{(k)} \frac{V_i^{sp}}{\left| \ph{V}_i^{(k)} \right|} .

Ovim se u tim čvorovima menja i reaktivna snaga. Ona se u k-toj iteraciji može dobiti linearizacijom vrednosti iz dve prethodne iteracije:

Q_i^{c(k)} = \frac{Q_i^{(k)} - Q_i^{(k-1)}}{V_i^{(k)} - V_i^{(k-1)}} \left( V_i^{sp} - V_i^{(k)} \right) + Q_i^{(k)} .

Izračunata vrednost injektiranja u i-tom čvoru mora zadovoljiti reaktivna ograničenja:

\begin{aligned} Q_i^{novo,(k)} &= Q_i^{c(k)}\,; & &\text{za } Q_i^m \le Q_i^{c(k)} \le Q_i^M\,; \\ Q_i^{novo,(k)} &= Q_i^M\,; & &\text{za } Q_i^{c(k)} > Q_i^M\,; \\ Q_i^{novo,(k)} &= Q_i^m\,; & &\text{za } Q_i^{c(k)} < Q_i^m . \end{aligned}

gde su $Q_i^M$ i $Q_i^m$ maksimalna i minimalna vrednost reaktivne snage u i-tom čvoru.

Proračun slaboupetljanih mreža

Primer petlje dat je isprekidanim linijama na prethodnoj šemi numeracije čvorova.

U tom slučaju vrši se raskidanje petlje u nekom čvoru.

Grana sa strujom I_ℓ raskinuta u čvoru na dve tačke j1 i j2: iz tačke j1 izlazi struja injektiranja −J_j1 = I_ℓ, u tačku j2 ulazi J_j2 = I_ℓ

Ovakve tačke tretiraju se kompenzacionom metodom.

Thevenin-ov ekvivalent u tačkama prekida: izvor napona V (+ gore, − dole) na red sa impedansom Z, i struja J kroz tačke prekida

Ovaj pristup daje mrežu sa više pristupa. Ako se primeni Thevenin-ova teorema dobija se:

\begin{bmatrix} \ph{V}_1 \\ \ph{V}_2 \\ \vdots \\ \ph{V}_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ph{Z}_{11} & \ph{Z}_{12} & \cdots & \ph{Z}_{1p} \\ \ph{Z}_{21} & \ph{Z}_{22} & \cdots & \ph{Z}_{2p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \ph{Z}_{p1} & \ph{Z}_{p2} & \cdots & \ph{Z}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{J}_1 \\ \ph{J}_2 \\ \vdots \\ \ph{J}_p \end{bmatrix},

gde je:

$\ph{\boldsymbol{V}}$ – p-dimenzioni vektor kompleksnih faznih napona između čvorova grana koje se prekidaju (dobija se proračunom tokova snaga radijalne mreže);
$\ph{\boldsymbol{Z}}$ – $(p \times p)$ -dimenziona (puna) matrica impedansi koje se "vide" iz tačaka prekida (Thevenin-ov ekvivalent napona i struje kroz tačke prekida);
$\ph{\boldsymbol{J}}$ – p-dimenzioni vektor kompleksnih struja injektiranja u tačkama prekida.

Iterativna procedura proračuna u slučaju slabo-upetljanih mreža sprovodi se kroz korake:

1. Proračunati matricu ekvivalentnih impedansi koje se "vide" iz tačaka prekida $\ph{\boldsymbol{Z}}$ .

2. Proračunati vektor ekvivalentnih napona između tačaka prekida $\Delta\ph{\boldsymbol{V}}$ (algoritmom tokova snaga). U proračun se uključuju struje injektiranja tačaka prekida $\ph{\boldsymbol{J}}$ .

3. Proračunati priraštaj struja injektiranja u tačkama prekida koristeći Thevenin-ovo ekvivalentno kolo i kompenzacioni metod:

\Delta\ph{\boldsymbol{J}} = -\left( \ph{\boldsymbol{Z}} \right)^{-1} \Delta\ph{\boldsymbol{V}} .

4. Proračunati novi vektor struje injektiranja u tačkama prekida:

\ph{\boldsymbol{J}} = \ph{\boldsymbol{J}} + \Delta\ph{\boldsymbol{J}} .

5. Ponoviti korake 1, 2, 3 i 4, dok se ne postigne kriterijum konvergencije (maksimalna razlika napona između čvorova grana koje se prekidaju u dve susedne iteracije manja je od specifikovanog praga $\varepsilon_V$ ; na primer, $\varepsilon_V = 0{,}001$ r.j.).

Prethodni algoritam ilustrovan je na donjoj slici.

Dijagram toka: ulazni podaci; izbor i otvaranje tačaka prekida; inicijalno stanje napona čvorova i struja injektiranja u tačkama prekida; iteracija m = 0; proračun matrice impedansi tačaka prekida Z^(m); proračun radijalnih distributivnih mreža sa Thevenin-ovim naponskim ekvivalentima u tačkama prekida; kriterijum konvergencije zadovoljen? Da: izlazni rezultati, stop. Ne: proračun priraštaja struja ΔJ^(m+1) i ukupnih struja J^(m+1) u tačkama prekida; maksimalan broj iteracija? Da: izlazni rezultati, stop. Ne: m = m + 1 i novi proračun matrice impedansi

Izbor tačaka za raskidanje

Osnovni cilj je da se slabo-upetljana mreža transformiše u radijalnu. Pored toga, mora se voditi računa o tome da njihov izbor mora da omogući dobru konvergenciju ukupnog algoritma. Dakle, postoji više mogućih izbora. Obično se raskidanje vrši tamo gde su tokovi snaga mali. Na taj način postiže se i najmanji uticaj Thevenin-ove matrice impedansi $\ph{\boldsymbol{Z}}$ na konvergenciju. Međutim, s druge strane ne mogu se unapred znati tokovi snaga (pre proračuna), kako bi se izvršio izbor tačaka za raskidanje.

Zato se za njihov izbor mogu primeniti sledeća (iskustvena) pravila, koja postaju sastavni deo algoritma za (pre)numeraciju čvorova:

Proveriti sve grane i selektovati one koje su priključene na izvorni čvor (prvi nivo grana).
Zapamtiti (posebno označiti) brojeve čvorova na krajevima grana koje su selektovane, kako bi se isključili iz dalje procedure (pre)numeracije.
Ispitati sve preostale grane i izabrati one koje polaze iz čvorova selektovanih u prethodnom nivou grana. Ove grane selektovati u sledeći nivo grana.
Ako je krajnji čvor grane izabran u koraku 3 korišćen i ranije (posebno označen u koraku 2) formira se petlja i taj čvor se može izabrati kao tačka prekida.
Ponoviti korake 2 $\div$ 4 dok se ne ispitaju sve grane.

Sa povećanjem broja zatvorenih kontura efikasnost algoritma opada, tako da se on ne može primeniti kod jako upetljanih (prenosnih) mreža.

Ovaj algoritam se koristi kod rekonfiguracije mreže i restauracije napajanja posle kvara.

Teme

Tokovi snaga · Distributivne mreže

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Distributivne i industrijske mrežeNa Drive-u: Predavanja