Mehanički proračun vodova

Pri proučavanju ponašanja provodnika smatra se da su oni idealno gipki i da se zanemaruje uticaj uklještenja u tačkama vešanja.

Jednačina lančanice

Uz gornje pretpostavke, provodnik se u gravitacionom polju ponaša kao lančanica.

Ravnoteža sila za element $\mathrm{d}L$ daje:

Ravnoteža sila po x-osi je:

odakle se zaključuje da se horizontalna komponenta sile ne menja ($H = \text{Const.}$).

Ravnoteža sila po y-osi je:

odakle je:

Diferenciranjem prethodnog izraza dobija se:

Izraz za ravnotežu komponenti sila je (kako se ponašaju komponente sila, tako se ponašaju i elementi dužine):

odnosno:

Ako se uvedu sledeće oznake:

• $\sigma$ – horizontalna komponenta naprezanja na zatezanje;
• $s$ – poprečni presek, onda je: $\sigma = \dfrac{H}{s}$,
• $\gamma$ – težina užeta po jedinici poprečnog preseka (težina samog užeta i leda zimi).

Sada je: $\gamma = \dfrac{g}{s}$.

Ako se izvrše ove dve smene u prethodni izraz, dobija se jednačina lančanice u diferencijalnom obliku:

U prethodnom izrazu $\sigma/\gamma$ je parametar lančanice.

Rešenje prethodne jednačine je:

Ako se koordinatni sistem tako postavi da je teme na y-osi, što ne ograničava razmatranje na slučaj pravog raspona, dobija se:

Za $x = 0$ je $y = \dfrac{\sigma}{\gamma}$ – teme lančanice usvaja se kao koordinatni početak.

Sada je:

To znači da je jednačina lančanice za ovako usvojeni koordinatni sistem i početne uslove:

Ako se ch razvije u red, dobija se:

U svim proračunima može se zanemariti treći i svi ostali viši članovi. Tada se dobija jednačina parabole (nepotpuna kvadratna jednačina):

Određivanje dužine linije provodnika

Priraštaj dužine provodnika je:

Ako se napred izvedeni izraz $\dfrac{\sigma}{\gamma}y'' = \sqrt{1 + (y')^2}$ zameni u prethodnu jednačinu, dobija se:

Dužina lančanice je:

odnosno:

Ovakav izraz nije najpovoljniji za praktičnu primenu, jer je vezan za početnu i krajnju koordinatu (odnosno za koordinatni sistem). Svakako da dužina raspona provodnika nije funkcija koordinatnog sistema. Zato se daje nezavisno od koordinatnog sistema:

Na prethodnoj slici je:

• $a$ – dužina raspona;
• $h$ – visinska razlika tački vešanja.

Sa prethodne slike je:

Ako se postavi razlika:

dobija se:

Pošto ovakav izraz nije najpogodniji za inženjersku primenu, vrši se razvijanje sh i ostavljaju prva dva člana:

Ova uprošćena formula se primenjuje za raspone $a \le 700$ m.

Ako to nije slučaj, primenjuje se detaljan proračun. Razlike u rezultatu su male, što će se pokazati na vežbama.

U slučaju pravog raspona ($h = 0$) i za dužinu raspona $a \le 300$ m, koristi se formula:

Najgrublja aproksimacija je (dužina provodnika jednaka dužini raspona):

U primeni se najčešće koristi izraz dat preko ugiba, što se izvodi u nastavku.

Ugib provodnika

Posmatra se sledeća slika:

Sa slike je:

pa se mogu postaviti dve jednačine:

Iz ove dve jednačine mogu se rešiti $x_1$ i $x_2$, a zatim korišćenjem jednačine lančanice $y_1$ i $y_2$.

Koristeći koordinate izračunatih tačaka može se odrediti ugib u bilo kojoj tački.

Ali u praksi je najvažniji maksimalni ugib. On se može izračunati na sledeći način:

Koeficijent pravca prave $A_1 - A_2$ je:

Maksimalni ugib ima se u tački gde je tangenta paralelna sa pravom $A_1 - A_2$, odnosno u tački M.

To znači da je koeficijent pravca tangente:

Ordinata tačke M je:

Iz gornje dve jednačine mogu se izračunati $x_M$ i $y_M$.

Vrednost u tački K ($y_K$) izračunava se iz jednačine tangente kroz dve tačke ($x_1$, $y_1$) i ($x_2$, $y_2$), koje su već određene.

Ovaj detaljan način će biti prikazan na vežbama.

Slučaj pravog raspona

Sa donje slike je:

Razvojem u red prethodnog izraza dobija se:

Za raspone $a \le 500$ m je (najčešći slučaj u praksi):

U slučaju kosog raspona može se usvojiti da je ($\cos\psi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}}$):

Uz prethodne izraze može se izraziti dužina provodnika za prav raspon $a \le 300$ m kao:

Uticaj klimatskih uslova na proračun nadzemnih vodova

Propisi definišu da se provodnici i zaštitna užad proračunavaju za:

• $t_{min} = -20^\circ$ C – minimalna temperatura koja se može javiti kod nas (u Rusiji je to $t_{min} = -40^\circ$ C);
• $t_{max} = 40^\circ$ C – maksimalna temperatura;
• $t_L = -5^\circ$ C – temperatura pri kojoj se na provodniku zadržava led, inje i sneg.

Dodatna specifična težina usled leda

Minimalna normalna dodatna specifična težina $\gamma_{nd,min}$ je najveća vrednost koja se javlja na tom mestu prosečno svakih pet godina, a koja nije manja od:

gde je:

• $d$ – prečnik provodnika;
• $s$ – stvarni poprečni presek provodnika (u praksi se razlikuje od nazivnog).

Za procenu dodatne specifične težine usled leda koriste se podaci meteorološke službe, kao i iskustva.

Zato se usvajaju sledeći faktori leda:

Sada je normalna specifična težina usled leda:

Definiše se i izuzetna specifična težina usled leda:

kao vrednost koja se prosečno javlja svakih dvadeset godina.

Uticaj vetra na nadzemni vod

Sila vetra koja deluje na neko telo izračunava se kao:

gde su:

• $s_v$ – površina projekcije tela na vertikalnu ravan upravnu na pravac duvanja vetra;
• $p_v$ – pritisak vetra;
• $c_v$ – aerodinamički koeficijent objekta.

Propisi definišu da sila vetra deluje normalno na površinu objekta. Pritisak vetra računa se kao:

gde je:

• $v$ – maksimalna brzina vetra koja se na datom mestu javlja prosečno svakih pet godina.

Prethodni obrazac važi za zone nadmorske visine do 40 m. Za zone od 40 do 80 m koriste se vrednosti iz donje tabele, koje se usvajaju na bazi izračunatih vrednosti (izračunate vrednosti po formuli zaokružiti na prvu veću vrednost iz tabele):

Obično se usvaja $c_v = 1$.

Vrste naprezanja provodnika

Propisi daju tri vrste naprezanja, koje su predstavljene i na donjoj slici:

• B: $\sigma_{nd}$ u $\left[\frac{\text{daN}}{\text{m,mm}^2}\right]$ – normalno dozvoljeno naprezanje je najveće naprezanje koje se sme dostići pri normalno teškim uslovima ($-5^\circ$ C + led, ili $-20^\circ$ C bez leda);
• C: $\sigma_{id}$ u $\left[\frac{\text{daN}}{\text{m,mm}^2}\right]$ – izuzetno dozvoljeno naprezanje je najveće naprezanje koje se sme dostići pri izuzetno teškim uslovima;
• A: $\sigma_{max\,r}$ u $\left[\frac{\text{daN}}{\text{m,mm}^2}\right]$ – maksimalno radno naprezanje je najveće naprezanje koje se sme dostići pri normalnim uslovima; Ono se usvaja, ali tako da je $\sigma_{max\,r} \le \sigma_{nd}$.

Na prethodnoj slici označene su i sledeće dve tačke:

• D: – granica elastičnosti;
• E: – granica čvrstoće (kidanje materijala).

Podaci za neke tipove užadi koja se koriste za nadzemne vodove su dati u donjoj tabeli:

U prethodnoj tabeli E je Jung-ov modul elastičnosti, a $\alpha_t$ toplotni koeficijent istezanja.

Jednačina promene stanja provodnika

Jednačina promene stanja provodnika je:

U slučaju raspona $a \le 300$ m je:

U prethodnom izrazu se sa leve strane mora dati detaljniji izraz, jer sa najgrubljom aproksimacijom $L \approx a$, dobila bi se nula. Sa desne strane dovoljna je aproksimacija $L \approx a$.

Tada je jednačina promene stanja:

Kod kosog raspona u prethodni izraz treba izvršiti smenu $\sigma \to \sigma/\cos\psi$.

Kritični raspon

Da li će najveće naprezanje biti na $-5^\circ$ C + led, ili $-20^\circ$ C bez leda određuje kritični raspon.

Kritični raspon $a_{kr}$ je onaj računski raspon kod koga se ima maksimalna vrednost horizontalne komponente u normalno teškim uslovima, tj. $\sigma = \sigma_0 = \sigma_{nd}$ ili $\sigma = \sigma_0 = \sigma_{mr} \le \sigma_{nd}$, pri uslovima $-5^\circ$ C + led, ili $-20^\circ$ C bez leda.

To znači da je iz jednačine promene stanja:

Stanja $0'$ i 0 su polazne pretpostavke:

• •$0'$: $t_{0'} = -5^\circ$ C i $\gamma_{0'} = \gamma_s + \gamma_d = \gamma_r$ ($\gamma_s$ je sopstvena težina provodnika, a $\gamma_d$ je dodatno opterećenje usled leda);
• •$0$: $t_0 = t_{min} = -20^\circ$ C i $\gamma_0 = \gamma_s$ $\sigma_0 = \sigma_{0'} = \underset{(mr)}{\sigma_{nd}}$.

Sada je:

Za kose raspone treba zameniti $\sigma_{nd} = \sigma_{nd}/\cos\psi$.

Jednačina promene stanja ima dva granična slučaja:

Prvi granični slučaj: $a \to 0$.

Tada je:

odnosno, to znači da je $\sigma = f(t)$ i $\sigma \ne f(\gamma)$.

Dakle, za $a < a_{kr}$ dominantan je uticaj temperature, pa je $\sigma_{nd}$ zadato na $t = -20^\circ$ C.

Drugi granični slučaj: $a \to \infty$.

Tada je:

odnosno, to znači da je $\sigma = f(\gamma)$ i $\sigma \ne f(t)$.

Dakle, za $a > a_{kr}$ dominantan je uticaj opterećenja, odnosno $\sigma_{nd}$ je na $t = -5^\circ$ C, uz dodatno opterećenje usled leda.

Ako se zahteva poznavanje naprezanja za bilo koju drugu temperaturu, potrebno je rešiti jednačinu promene stanja za date početne uslove. U opštem slučaju jednačina promene stanja može se zadati kao:

gde su:

pri čemu su početni uslovi zadati kao:

U slučaju kosog raspona koeficijenti su:

Prilikom rešavanja jednačine $\sigma^3 + A\sigma^2 = B$, potrebno je zadati temperaturu, za koju se zadaje opterećenje (za $t = -5^\circ$ C, $\gamma = \gamma_s + \gamma_d$, a za $t \ne -5^\circ$ C, $\gamma = \gamma_s$), pa zatim polovljenjem intervala rešavati $\sigma$.

Moguć je i drugi pristup u rešavanju: rešiti jednačinu promene stanja po t:

uz iste početne uslove u zavisnosti od kritičnog raspona.

Zadaje se određeno $\sigma$ i izračunava temperatura kada se ima to naprezanje. Ovo je lošiji način, jer se ne može dobiti tačno zadata temperatura t.

Kriva $\sigma = f(t)$ ima diskontinuitet u početnom uslovu:

Određivanje maksimalnog ugiba u zavisnosti od kritične temperature

Kritična temperatura je računski podatak kojim se određuje kada se ima maksimalan ugib.

To je temperatura kada je ugib jednak ugibu na $t = -5^\circ$ C sa normalnim dodatnim opterećenjem.

To znači da je:

Sada je jednačina promene stanja

za $t_0 = -5^\circ$ C; $\gamma_0 = \gamma_s + \gamma_d = \gamma_r$; $\sigma_0 = \sigma_{-5^\circ\ \text{C+led}}$; $t = t_{kr}$; $\sigma = \sigma_{tkr}$:

Zamenom $\sigma_{tkr} = \sigma_{-5^\circ\ \text{C+led}}\dfrac{\gamma_s}{\gamma_r}$ dobija se:

Sada je:

U prethodnoj jednačini je:

Zaključci u pogledu maksimalnih ugiba su:

Ugib se izračunava na već izloženi način.

U slučaju kosih raspona, umesto $\sigma$ treba koristiti $\sigma/\cos\psi$.

Prilikom proračuna ugiba jedino u slučaju:

• $a > a_{kr}$, kada je $\sigma_{-5^\circ\ \text{C+led}} = \sigma_{nd}$, i
• $t_{kr} > t_{max}$, kada je $f_{max} = f_{-5^\circ\ \text{C+led}}$,

nije potrebno rešavati jednačinu promene stanja.

U svim ostalim slučajevima treba izračunati $\sigma$ za datu temperaturu.

Mehanička sigurnost provodnika

Za svaki raspon može se definisati koeficijent mehaničke sigurnosti provodnika kao odnos izuzetne dodatne specifične težine usled leda ($\gamma_{id} = \gamma_s + m\gamma_{nd}$), pri kojoj se u tačkama dostiže izuzetno dozvoljeno naprezanje ($\sigma_{id}$) i usvojene normalne dodatne specifične težine usled leda ($\gamma_{nd} = k\gamma_{nd,min}$):

Prvi slučaj: Ako je raspon veći od kritičnog ($a > a_{kr}$) onda važe sledeće smene:

To znači da je:

Drugi slučaj: Ako je raspon manji od kritičnog ($a < a_{kr}$) onda važe sledeće smene:

To znači da je:

Po propisu, najmanja dozvoljena vrednost koeficijenta mehaničke sigurnosti je 2, odnosno $m \ge 2$.

Međutim, za pojedina ukrštanja važi:

• $m \ge 3$ – ukrštanje nadzemnog i telekomunikacionog voda;
• $m \ge 4$ – ukrštanje nadzemnog voda sa železničkom prugom.

Koeficijent mehaničke sigurnosti (m) se najlakše povećava smanjivanjem raspona. Druga mogućnost je izbor užeta sa većim $\sigma_{id}$.

Montažne krive

Zavisnosti $\sigma(t)$ i $f(t)$ nazivaju se montažnim krivim i koriste se za određivanje naprezanja i ugiba pri montaži nadzemnog voda.

Montaža se obično vrši kada je $t > 15^\circ$ C, osim pri havariji.

Ako je $a > a_{kr}$, diskontinuitet krive $\sigma(t)$ je u $t = -5^\circ$ C, pa je maksimum $\sigma_L(t) = \sigma_{nd}$.

Ako je $t_{kr} > t_{max} = 40^\circ$ C onda je maksimalni ugib $f_{max} = f_{-5^\circ\ \text{C+led}}$.

Prethodno je ilustrovano na donjoj slici (sa M su označene tačke temperature montaže).

Ako je $a < a_{kr}$, diskontinuitet krive $\sigma(t)$ je u $t = -5^\circ$ C, pa je maksimum $\sigma_{-20^\circ\ \text{C}} = \sigma_{nd} > \sigma_L(t)$.

Ako je $t_{kr} < t_{max} = 40^\circ$ C onda je maksimalni ugib $f_{max} = f_{40^\circ\ \text{C}}$.

Prethodno je ilustrovano na donjoj slici.

Idealni raspon

Sve izvedene jednačine polaze od pretpostavke fiksnih tački vešanja.

Međutim, vod se sastoji od dve vrste stubova:

• •Nosećih (dimenzionisani da podnose samo vertikalne sile i momente i sile vetra na stub i provodnike).
• •Zateznih (podnose isto što i noseći, ali i sile zatezanja provodnika).

Rastojanje između dva zatezna stuba je zatezno polje (prikazano na slici).

Maksimalna dužina zateznog polja ne prelazi 8 km, ili 30 raspona.

Na zateznim stubovima tačke vešanja provodnika su fiksne. Na nosećim stubovima tačke vešanja su fiksne, ako se koriste potporni izolatori (distributivne mreže nižih naponskih nivoa, odnosno za $U_n \le 35$ kV). Za ostale se koriste izolatorski lanci od kapastih izolatora, koji su pomični.

Pošto su rasponi različite dužine, oni se različito i izdužuju (videti gornju sliku). Zato se tačke vešanja (izolatori) slobodno pomeraju, tako da je naprezanje isto.

Idealni raspon se izračunava kao:

To znači da u zateznom polju sve proračune treba vršiti sa idealnim rasponom.

Stvarni ugibi u rasponima određuju se iz:

Ekonomski raspon

Nadzemni vod može se realizovati sa različitim rasponima. Manji rasponi zahtevaju veći broj nižih stubova, dok duži rasponi zahtevaju manji broj viših stubova.

Ukupna dužina provodnika praktično ne zavisi od raspona.

To znači da je:

• $c_p$ – cena provodnika;
• $c_i$ – cena izolatora (smanjuje se sa povećanjem raspona);
• $c_s$ – cena stuba (nelinearno zavisi od visine stuba);
• $c_v$ – cena voda.

Prethodne cene prikazane su na slici:

Sa gornje slike, dužina raspona kada se ima minimalna cena je ekonomski raspon, $a_E$.

U zavisnosti od materijala za stubove, važe sledeći odnosi za ekonomske raspone:

Za drvo ekonomski raspon je $a_E \approx 100$ m, a za čelično rešetkasti stub $a_E \approx 400$ m.