Topološki model, graf modela i osnovne jednačine mreže

Elektroenergetski sistemi su veliki sistemi, pa se primenjuju računarske metode, koje su po pravilu matrično orijentisane. Zato je ovo od izuzetnog značaja.

Topologija (ili teorija grafova) je grana matematike koja proučava svojstva geometrijskih oblika. Ona pomoću linija i tačaka predstavlja međusobne veze fizičkih objekata.

Topologija električnih mreža bavi se proučavanjem njihovih osobina, koje su u vezi sa konfiguracijom (ili geometrijskom strukturom), ne vodeći računa o fizičkim zakonima koji ih karakterišu.

Elektroenergetske mreže predstavljaju se grafovima. Čvorovima grafa zamenjene su sabirnice visokonaponskih postrojenja, a granama grafa vodovi i transformatori. U EES-ima postoje i rasklopni aparati (prekidači i rastavljači), koji uključuju-isključuju pojedine grane, u zavisnosti od radnog režima. Znači, topološka struktura EES-a je promenljiva.

Postrojenja se predstavljaju sa najmanje jednim čvorom. Ukupan broj čvorova se menja zavisno od ukupnog broja sistema sabirnica na svim naponskim nivoima.

Sama postrojenja mogu biti:

• •Čvorna (stiče se više grana, izvora i potrošača).
• •Prolazna (sadrži samo dva voda (dovod-odvod) i interkonektivne transformatore).
• •Antenska (sadrže samo jedan vod i transformator za napajanje potrošača).

Po obliku svog grafa, elektroenergetske mreže mogu biti petljaste ili radijalne. U grafu petljastih mreža mogu se formirati zatvorene putanje (konture). Radijalne mreže najčešće imaju samo jednu tačku napajanja i jedan usvojeni smer aktivne snage (sa primenom distribuiranih izvora energije koji se po pravilu priključuju na distributivnu mrežu, ovaj zaključak nije više generalan). Kod radijalnih mreža nema zatvorenih kontura.

Petljasta struktura karakteriše prenosne, a radijalna distributivne mreže.

Ako je ukupan broj čvorova mreže N, a broj grana L, onda uvek važe sledeće nejednakosti:

Stepen međusobne povezanosti (interkonekcije) mreže karakteriše se brojem:

čije su granične vrednosti:

Generalno važi da su elektroenergetske mreže složene i da imaju veliki broj čvorova i grana, ali mali stepen interkonekcije (povezanosti). Čvorovi su povezani samo sa malim brojem susednih čvorova.

Svi izvori energije (proizvodna struktura) i priključeni potrošači (potrošačka struktura) priključeni su na mrežu u odnosu na zajednički čvor nultog potencijala, koji se naziva zemlja-čvor.

Razlika između struja generatora i struja potrošača u čvoru naziva se injektiranje struje u čvoru. Isto važi i za snage. Injektiranja su pozitivna ako je veće generisanje snage od potrošnje i obratno.

Da bi se formirao graf (šema) elektroenergetske mreže, neophodno je sve komponente mreže zameniti ekvivalentnim šemama, a potom odgovarajućim grafovima. Uglavnom su svi elementi sa dva para krajeva (osim tronamotajnih i višenamotajnih transformatora).

Graf mreže pokazuje geometrijsku povezanost elemenata mreže. Ako se svakom elementu pridruži i smer, onda je to orijentisani graf.

Primer jedne male elektroenergetske mreže i način formiranja njenog grafa:

Orijentisani graf ove mreže je:

Povezani subgraf koji sadrži sve čvorove grafa, ali kada među njima nema zatvorenih petlji naziva se stablo. Elementi stabla su grane.

Broj grana potrebnih za formiranje stabla je:

gde je $n = N + 1$ ukupan broj čvorova grafa (uključujući nezavisne čvorove i zajednički nulti čvor).

Jedna varijanta stabla je:

Ako se stablu doda veza (jedna grana) on sadrži jednu petlju (konturu). Dodavanje svake sledeće veze formira jednu ili više dodatnih petlji.

Petlje koja sadrži samo jednu vezu su nezavisne i nazivaju se osnovne petlje.

Presek je skup elemenata koji kada se ukloni deli povezani graf u dva povezana subgrafa.

Primitivni elementi i mreža

Primitivni elementi su osnovni elementi EES-a, koji je sastavljen od skupa povezanih primitivnih elemenata sa dva para krajeva:

Primitivni elementi mogu biti:

1. Pasivni elementi (vodovi, transformatori, prigušnice, kondenzatori i drugi), koji se predstavljaju mrežom konstantnih impedansi ili admitansi.
2. Naponski izvor, koji se sastoji od idealnog naponskog generatora konstantne elektromotorne sile i konstantne redne impedanse (admitanse).
3. Strujni izvor, predstavljen idealnim strujnim generatorom konstantne struje i konstantne otočne admitanse (impedanse).

Naponski izvor u impedantnoj formi je (po analogiji se može dati admitantna forma sa strujnim izvorom):

Sa slike je:

U slučaju pasivnih elemenata je: $\ph{E}_{pq}^g = 0$.

Primena orijentisanog grafa za formiranje modela mreže

Posmatra se ranije analizirani sistem:

Sistem ima tri generatora, jedan potrošač, jedan transformator i četiri grane.

Primitivna matrica impedansi grana je:

ili primitivna matrica admitansi grana:

Primitivna jednačina mreže u admitantnoj formi je:

gde su vektor napona grana i struja u njima:

Matrica incidencije čvorova i grana

Ponovo se posmatra prethodni sistem sa četiri čvora i četiri grane.

Elementi incidentni nekom čvoru čine incidentni skup.

Za graf sa slike to su skupovi grana (4), (1, 2, 4), (2, 3) i (1, 3), koji su incidentni čvorovima 1, 2, 3 i 4, respektivno.

Za svaki čvor može se primeniti I Kirchhoffov zakon, koji daje međusobnu vezu struja incidentnog skupa grana (uključujući i struje injektiranja). Za referentni pozitivni smer usvaja se orijentacija elemenata kao i u slučaju osnovnih petlji i preseka, dok je struja generatora u čvoru pozitivnog, a potrošača negativnog predznaka. Takođe, znak '+' pripisaće se strujama koje napuštaju čvor, a znak '–' strujama koje ulaze u čvor. Po I Kirchhoffovom zakonu je:

Onda se prethodni sistem jednačina može napisati u kompaktnoj formi kao:

gde je:

• $\ph{\boldsymbol{I}} = \begin{bmatrix} \ph{I}_1 & \ph{I}_2 & \ph{I}_3 & \ph{I}_4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ – vektor struja injektiranja u čvorovima ($N \times 1$);
• $\ph{\boldsymbol{I}}^g = \begin{bmatrix} \ph{I}_1^g & \ph{I}_2^g & \ph{I}_3^g & \ph{I}_4^g \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$ – vektor struja koje teku po granama mreže ($L \times 1$);

• $\boldsymbol{A}$ – matrica incidencije čvorova i grana ($N \times L$);

Elementi matrice incidencije $\boldsymbol{A} = \{A_{ij}\}$ u opštem slučaju su:

• $A_{ij} = +1$ – ako je j-ta grana incidentna i-tom čvoru i orijentisana od čvora;
• $A_{ij} = -1$ – ako je j-ta grana incidentna i-tom čvoru i orijentisana ka čvoru;
• $A_{ij} = 0$ – ako j-ta grana nije incidentna i-tom čvoru.

Matrica incidencije čvorova i grana A takođe definiše vezu između napona čvorova i grana, preko jednačine:

Najvažnije osobine matrice incidencije A su:

• •Svaka kolona matrice A sadrži jednu pozitivnu i jednu negativnu jedinicu (to je zato što se svaka orijentisana grana završava u dva čvora, pa joj se sa jedne strane pripisuje element +1, a sa druge −1). Onda je:

Zato su vrste matrice A linearno zavisne, pa je:

• •Svaka vrsta matrice A mora imati makar jedan element različit od nule.

Matrica interkonekcije

Matrica interkonekcije (matrica susedstva) $\boldsymbol{E} = \{E_{ij}\}$ je kvadratna simetrična matrica, za mrežu sa N nezavisnih čvorova dimenzija $(N \times N)$. Njeni elementi su:

• $E_{ij} = E_{ji} = 1$ – ako su čvorovi i i j direktno povezani granom;
• $E_{ij} = E_{ji} = 0$ – ako čvorovi i i j nisu direktno povezani granom.

Za graf sa prethodne slike matrica interkonekcije je:

Između matrice incidencije čvorova i grana A i matrice interkonekcije E postoji veza:

gde je $L_i$ broj grana incidentnih čvoru $i = 1, 2, \cdots, N$, tako da je:

Matrica admitansi nezavisnih čvorova

Najčešća predstava parametara EES-a pri analizi vrši se preko:

• •Matrice admitansi nezavisnih čvorova: $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$.
• •Matrice impedansi nezavisnih čvorova: $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$.

Matrica admitansi nezavisnih čvorova povezuje struje injektiranja i napone čvorova ($\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}\ph{\boldsymbol{V}}$). Ona se izračunava preko parametara primitivnih elemenata.

Matricu $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ karakterišu velike dimenzije i veliki broj nultih elemenata (posledica slabe interkonekcije čvorova – povezani samo sa susedima). Ova osobina se zove slaba popunjenost. Ovo je izazvalo dominantno korišćenje matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ (umesto $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$) u većini proračuna analize EES-a (osim kratkih spojeva). To dalje izaziva razvoj računarskih metoda koje koriste tehniku retkih matrica (koristi se puno i u drugim oblastima).

Dakle, međusobna veza struja injektiranja i napona čvorova je:

• $\ph{\boldsymbol{I}}$ – N-dimenzioni kompleksni vektor struja injektiranja nezavisnih čvorova;
• $\ph{\boldsymbol{V}}$ – N-dimenzioni kompleksni vektor fazora napona nezavisnih čvorova,
• $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ – ($N \times N$)-dimenziona simetrična kompleksna matrica admitansi nezavisnih čvorova.

Matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ najlakše se formira uvidom u jednopolnu šemu i primenom sledećih osobina (pravila):

1. Matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ je simetrična ($\ph{Y}_{ij} = \ph{Y}_{ji}$), pod uslovom da nema induktivnih i kapacitivnih sprega između grana, kao i faznih transformatora.
2. Dijagonalni elementi te matrice ($\ph{Y}_{ii}$) dobijaju se kao zbir admitansi svih grana incidentnih čvoru $i = 1, 2, \cdots, N$, uključujući i otočne grane između nezavisnih čvorova i zemlja-čvora (posledica izostavljanja zemlja-čvora iz proračuna).
3. Vandijagonalni elementi ($\ph{Y}_{ij}$) su jednaki negativnoj admitansi grane koja direktno povezuje čvorove i i j. Ako su čvorovi povezani sa više grana, element $\ph{Y}_{ij}$ je negativni ekvivalent svih paralelnih grana.

Prethodna pravila za elemente matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ daju izraz:

gde $\alpha_i$ predstavlja skup grana incidentnih i-tom čvoru, dok je $\ph{Y}_i^0$ ukupna admitansa otočnih elemenata priključenih u i-ti čvor.

Prethodni postupak je jednostavan za primenu i računarsku implementaciju.

Matrica admitansi nezavisnih čvorova može se dobiti i preko matrice admitansi primitivnih elemenata $\ph{\boldsymbol{Y}}^g$ i matrice incidencije nezavisnih čvorova A (svi korišćeni izrazi izvedeni napred):

odakle je:

Rezultati dobijeni primenom oba metoda su isti.

Matrica impedansi nezavisnih čvorova definiše se iz:

odnosno:

Međutim, matrica $\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}$ je puna matrica, tako da prethodni postupak inverzije nije lak za sprovođenje, tako da se najčešće izbegava.

Proračun tokova snaga i gubitaka u mreži

Stanje u mreži je potpuno određeno ako su poznati fazori kompleksnih napona u svim čvorovima.

Ako je to ispunjeno, onda se može pristupiti proračunu tokova snaga po granama i gubitaka u mreži.

Ovi izrazi se mogu izvesti za slučaj nesimetrične $\pi$-šeme sa slike:

Struja koja teče kroz rednu impedansu elementa je:

a struje kroz otočne grane su:

Kompleksna snaga koja teče od i-tog čvora u granu je:

gde je $\theta_{ij} = \theta_i - \theta_j$ fazni ugao između fazora napona $\ph{V}_i$ i $\ph{V}_j$, dok su efektivne vrednosti linijskih napona čvorova $U_i = \sqrt{3}V_i$ i $U_j = \sqrt{3}V_j$.

Impedansa grane je veličina koja se prirodno zadaje, pa je pogodno prethodne izraze dati u zavisnosti od impedansi grana ($\ph{Z}_{ij}^g = R_{ij}^g + \mathrm{j}X_{ij}^g = Z_{ij}^g \underline{/\beta_{ij}^g}$):

gde je:

$\psi_{ij}^g = \dfrac{\pi}{2} - \beta_{ij}^g$ (ugao komplementaran uglu impedanse grane $\beta_{ij}^g$).

Uvažavajući prethodno izvedene izraze, mogu se izvesti sledeći izrazi za aktivnu i reaktivnu snagu koja iz i-tog čvora teče u granu:

jer je $\theta_{ij} + \beta_{ij}^g = \theta_{ij} + \pi/2 - \psi_{ij}^g$.

Ako je grana vod, sa zanemarivanjem otočne konduktanse je: $\ph{Y}_i^0 = \mathrm{j}B_i^0 = \mathrm{j}\dfrac{B_{ij}^0}{2}$ i $\ph{Y}_i^{0*} = -\mathrm{j}\dfrac{B_{ij}^0}{2}$, tako da je $\beta_i^0 = \pi/2$, a $\psi_i^0 = 0$, pa izrazi za snage postaju:

Posle zanemarivanja podužne otpornosti grane ($R_{ij}^g \approx 0$), kada je $\psi_{ij}^g = 0$, gornji izrazi dalje se uprošćavaju i postaju:

Gubici aktivne i reaktivne snage u rednim elementima grane izračunavaju se iz izraza:

Gubici u otočnim elementima su:

Ukupni gubici sistema mogu se izračunati i sumiranjem tokova snaga po svim granama (L), kao: