Predavanje 05

Primena simetričnih komponenti u proračunu prenosnih i distributivnih mreža

Distributivne i industrijske mreže, TF Čačak

Trofazni sistemi su uglavnom uravnoteženi, odnosno impedanse, elektromotorne sile i opterećenja svih faza su jednaki.

Ako to nije slučaj, onda je sistem neuravnotežen.

Najčešći neuravnoteženi sistemi su oni koji imaju veliki udeo jednofaznih potrošača, na primer elektrolučnih peći (elektrotermija).

Poremećaji u sistemu, kao što su kratki spojevi ili prekidi provodnika, po pravilu dovode do nesimetrije u sistemu.

Kada je trofazni sistem simetričan, stanje u mreži se može odrediti posmatranjem samo jedne faze. Stanje u ostalim fazama je poznato iz podataka o toj fazi. Kod nesimetričnih sistema monofazna predstava nije moguća. Zato se primenjuje sistem simetričnih komponenti (postavio ga Forteskje, početkom 20-tog veka).

U osnovi sistema (principa) simetričnih komponenti je mogućnost da se grupa od tri neuravnotežena vektora razloži na skupove vektora jednakih po veličini, a fazno pomerenih za $120^\circ$ , odnosno $240^\circ$ . Svaki skup od tih vektora čini jednu simetričnu komponentu.

Osnovne relacije vektorske algebre

Svaki vektor može se predstaviti u Gauss-ovoj kompleksnoj ravni x–jy, gde je $\mathrm{j} = \sqrt{-1}$ imaginarna jedinica:

Vektor A u kompleksnoj ravni, sa realnom osom x i imaginarnom osom jy, pod uglom α prema osi x, i njegove projekcije a na osu x i b na osu jy; oko početka je krug poluprečnika |A|

\begin{gathered} \vec{A} = a + \mathrm{j} b \\ \left. \begin{aligned} a &= \left| \vec{A} \right| \cos\alpha \\ b &= \left| \vec{A} \right| \sin\alpha \end{aligned} \right\} \ \text{Projekcije vektora} \end{gathered}

Iz definicije imaginarne jedinice sleduju i sledeći identiteti:

\mathrm{j}^2 = -1 ; \quad \mathrm{j}^3 = -\mathrm{j}, \ \text{itd.}

Sa prethodne slike je:

\vec{A} = A \cos\alpha + \mathrm{j} A \sin\alpha ,

gde je $A = \left| \vec{A} \right| = \sqrt{a^2 + b^2}$ moduo vektora.

Vektori se često mogu predstaviti u eksponencijalnom obliku korišćenjem Euler-ove (Ojler) formule:

\boxed{\cos\alpha \pm \mathrm{j} \sin\alpha = e^{\pm \mathrm{j} \alpha}} ,

gde je $e = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = 2{,}71828$ osnova prirodnog logaritma.

Dobro je znati i Moavrovu (Abraham de Moivre) formulu:

\boxed{(\cos\alpha \pm \mathrm{j} \sin\alpha)^n = \cos(n\alpha) \pm \mathrm{j} \sin(n\alpha)} .

Uvođenje kompleksnog operatora $\ph{a}$

Ugaoni operator $\ph{a}$ je po veličini jednak 1, a sa pozitivnim smerom realne ose zaklapa ugao od $120^\circ$ u dogovorenom pozitivnom smeru (suprotno od smera kretanja kazaljke na časovniku). To znači da bilo koji vektor množenjem sa $\ph{a}$ neće promeniti svoju vrednost, već će se samo zarotirati za $120^\circ$ .

Znači kompleksni operator $\ph{a}$ definiše se kao:

\begin{aligned} \ph{a} &= 1 \cdot e^{\mathrm{j} 120^\circ} = -\frac{1}{2} + \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2} ; \\ \ph{a}^2 &= 1 \cdot e^{\mathrm{j} 240^\circ} = -\frac{1}{2} - \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2} . \end{aligned}

Iz ovog elementarnog definisanja kompleksnog operatora izvodi se više identiteta. Neki od njih su:

\begin{aligned} \ph{a}^3 &= 1 \cdot e^{\mathrm{j} 360^\circ} = 1 \cdot e^{\mathrm{j} 0^\circ} = 1 ; \\ \ph{a}^4 &= \ph{a} = 1 \cdot e^{\mathrm{j} 120^\circ} . \end{aligned}

Iz prethodnog sleduje vrlo važan identitet:

\boxed{1 + \ph{a} + \ph{a}^2 = 0} .

Isto tako važe (lako se mogu izvesti) i sledeći identiteti:

\begin{aligned} \ph{a} + \ph{a}^2 &= -1 = 1 \cdot e^{\mathrm{j} 180^\circ} ; \\ 1 + \ph{a} &= -\ph{a}^2 = 1 \cdot e^{\mathrm{j} 60^\circ} ; \\ \ph{a} - \ph{a}^2 &= 0 + \mathrm{j} \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot e^{\mathrm{j} 90^\circ} ; \\ 1 - \ph{a} &= \frac{3}{2} - \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot e^{\mathrm{j} 330^\circ} ; \\ \ph{a}^2 - 1 &= -\frac{3}{2} - \mathrm{j} \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot e^{\mathrm{j} 210^\circ} . \end{aligned}

Za domaći izvesti i sledeće identitete:

\begin{aligned} &\frac{1 + \ph{a}}{1 + \ph{a}^2} = \,? & &\text{(rezultat } \ph{a} \text{);} \\[1ex] &\frac{1 - \ph{a}}{1 - \ph{a}^2} = \,? & &\text{(rezultat } -\ph{a} \text{);} \\[1ex] &(1 + \ph{a})^2 = \,? & &\text{(rezultat } \ph{a} \text{);} \\[1ex] &(1 + \ph{a}^2)^2 = \,? & &\text{(rezultat } \ph{a}^2 \text{).} \end{aligned}

Grafička interpretacija nekih od napred datih identiteta je:

Jedinični vektori 1 (= a³), a, a², −1 (= −a³), −a i −a² na krugu poluprečnika 1, međusobno pomereni za 60°, sa uglovima od 120° između 1, a i a²; na krugu poluprečnika √3 vektori a − a² (gore), a² − a (dole), a − 1 i a² − 1 (levo), 1 − a² i 1 − a (desno), dobijeni kao razlike jediničnih vektora, koje isprekidane linije spajaju u šestokraku zvezdu

Primena simetričnih komponenata u elektrotehnici

Daće se predstava razlaganja tri neuravnotežena vektora na tri simetrične grupe vektora. Biće dat primer za struje, mada se to isto može uraditi i za napone ili impedanse (donjim indeksima označene su faze R, S i T, dok su gornjim indeksima d, i i 0 označene simetrične komponente):

Tri nesimetrične struje I_R, I_S i I_T, svaka dobijena kao zbir svoje direktne komponente (I_R^d, I_S^d, I_T^d), inverzne komponente (I_R^i, I_S^i, I_T^i) i iste nulte komponente I^0, nadovezanih jedna na drugu

Sa ukupne slike mogu se izdvojiti određene skupine vektora:

Direktni redosled: tri vektora jednake veličine I_R^d, I_T^d i I_S^d, međusobno pomerena za 120° — **Direktni redosled**

Inverzni redosled: tri vektora jednake veličine I_R^i, I_S^i i I_T^i, međusobno pomerena za 120°, u obrnutom redosledu faza — **Inverzni redosled**

Nulti redosled: tri jednaka vektora I^0 istog pravca i smera — **Nulti redosled**

Iz prethodnih slika vidi se da se dobija skup simetričnih skupina vektora. Ovo se za bilo koji skup vektora može demonstrirati primenom nekog od softverskih paketa.

Sa ukupne slike tri nesimetrična vektora mogu se postaviti sledeće veze:

\begin{aligned} \ph{I}_R^d &= \ph{a} \ph{I}_S^d = \ph{a}^2 \ph{I}_T^d ; \\ \ph{I}_S^d &= \ph{a} \ph{I}_T^d = \ph{a}^2 \ph{I}_R^d ; \\ \ph{I}_T^d &= \ph{a} \ph{I}_R^d = \ph{a}^2 \ph{I}_S^d , \end{aligned}

odakle je:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}_R^d + \ph{I}_S^d + \ph{I}_T^d &= \ph{I}_R^d + \ph{a}^2 \ph{I}_R^d + \ph{a} \ph{I}_R^d \\ &= (1 + \ph{a}^2 + \ph{a}) \ph{I}_R^d = 0 \end{aligned}} .

Dakle, zbir direktnih komponenti je nula, što se na osnovu slike moglo i očekivati.

Slično se dobija i za inverzni sistem:

\begin{aligned} \ph{I}_R^i &= \ph{a}^2 \ph{I}_S^i = \ph{a} \ph{I}_T^i ; \\ \ph{I}_S^i &= \ph{a}^2 \ph{I}_T^i = \ph{a} \ph{I}_R^i ; \\ \ph{I}_T^i &= \ph{a}^2 \ph{I}_R^i = \ph{a} \ph{I}_S^i , \end{aligned}

odakle je:

\boxed{\begin{aligned} \ph{I}_R^i + \ph{I}_S^i + \ph{I}_T^i &= \ph{I}_R^i + \ph{a} \ph{I}_R^i + \ph{a}^2 \ph{I}_R^i \\ &= (1 + \ph{a} + \ph{a}^2) \ph{I}_R^i = 0 \end{aligned}} .

Za nulti sistem je:

\boxed{\ph{I}_R^0 = \ph{I}_S^0 = \ph{I}_T^0} .

Konačno se gornji izrazi mogu pisati u kompaktnom obliku:

\begin{gathered} \begin{aligned} \ph{I}_R &= \ph{I}_R^0 + \ph{I}_R^d + \ph{I}_R^i \\ \ph{I}_S &= \ph{I}_S^0 + \ph{I}_S^d + \ph{I}_S^i \\ \ph{I}_T &= \ph{I}_T^0 + \ph{I}_T^d + \ph{I}_T^i \end{aligned} \\ \text{(svođenjem na jedan vektor)} \Rightarrow \\ \begin{aligned} \ph{I}_R &= \ph{I}_R^0 + \ph{I}_R^d + \ph{I}_R^i \\ \ph{I}_S &= \ph{I}_R^0 + \ph{a}^2 \ph{I}_R^d + \ph{a} \ph{I}_R^i \\ \ph{I}_T &= \ph{I}_R^0 + \ph{a} \ph{I}_R^d + \ph{a}^2 \ph{I}_R^i \end{aligned} . \end{gathered}

Pošto su u prethodnom izrazu sve veličine date za fazu R, tako da se mogu izostaviti indeksi koji označavaju fazu u simetričnim komponentama, pošto bi se isti rezultat dobio ako bi se svodilo i na druge faze.

To znači da je:

\begin{gathered} \begin{aligned} \ph{I}_R &= \ph{I}^0 + \ph{I}^d + \ph{I}^i \\ \ph{I}_S &= \ph{I}^0 + \ph{a}^2 \ph{I}^d + \ph{a} \ph{I}^i \\ \ph{I}_T &= \ph{I}^0 + \ph{a} \ph{I}^d + \ph{a}^2 \ph{I}^i \end{aligned} \\ \text{(ili u matričnoj notaciji)} \Rightarrow \\ \boxed{\begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ph{a}^2 & \ph{a} \\ 1 & \ph{a} & \ph{a}^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}^0 \\ \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \end{bmatrix}} . \end{gathered}

Prethodna transformacija naziva se Forteskjeova, i praktično je određena matricom:

\boxed{\ph{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ph{a}^2 & \ph{a} \\ 1 & \ph{a} & \ph{a}^2 \end{bmatrix}} .

Sabiranjem gornjih jednačina dobija se:

\ph{I}^0 = \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{I}_S + \ph{I}_T \right) .

Množenjem prve jednačine sa 1, druge sa $\ph{a}$ i treće sa $\ph{a}^2$ , posle čega se njihovim sabiranjem dobija:

\ph{I}^d = \frac{1}{3} \left( \ph{I}_R + \ph{a} \ph{I}_S + \ph{a}^2 \ph{I}_T \right) .

U kompaktnoj matričnoj formi je:

\boxed{\begin{bmatrix} \ph{I}^0 \\ \ph{I}^d \\ \ph{I}^i \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ph{a} & \ph{a}^2 \\ 1 & \ph{a}^2 & \ph{a} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix}} .

Ako se prva matrična jednačina predstavi u formi:

\ph{\boldsymbol{I}}_f = \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_s ,

onda se donja jednačina može dobiti inverzijom:

\ph{\boldsymbol{I}}_s = \ph{\boldsymbol{A}}^{-1} \ph{\boldsymbol{I}}_f .

Na isti način kako su predstavljene struje, tako se mogu predstaviti i naponi, elektromotorne sile ili impedanse.

Veze između simetričnih komponenti faznih i linijskih struja kod veze u trougao

Kod veze u zvezdu linijske i fazne struje su iste.

Potrošač vezan u trougao: linijske struje I_R, I_S i I_T ulaze u temena R, S i T trougla, a kroz njegove grane teku fazne struje I_RS (od R ka S), I_ST (od S ka T) i I_TR (od T ka R)

Veza simetričnih komponenti faznih i linijskih struja biće određena korišćenjem matričnog modela:

\begin{gathered} \begin{aligned} \ph{I}_R &= \ph{I}_{RS} - \ph{I}_{TR} \\ \ph{I}_S &= \ph{I}_{ST} - \ph{I}_{RS} \\ \ph{I}_T &= \ph{I}_{TR} - \ph{I}_{ST} \end{aligned} \\ \text{(ili u matričnoj notaciji)} \Rightarrow \\ \begin{bmatrix} \ph{I}_R \\ \ph{I}_S \\ \ph{I}_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}_{RS} \\ \ph{I}_{ST} \\ \ph{I}_{TR} \end{bmatrix} , \end{gathered}

ili u opštem obliku:

\ph{\boldsymbol{I}}_\ell = \boldsymbol{N} \ph{\boldsymbol{I}}_f .

Već su izvedeni izrazi:

\begin{aligned} \ph{\boldsymbol{I}}_\ell &= \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_{\ell s} ; \\ \ph{\boldsymbol{I}}_f &= \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_{fs} . \end{aligned}

To znači da je:

\begin{aligned} \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_{\ell s} &= \boldsymbol{N} \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_{fs} ; \\ \ph{\boldsymbol{I}}_{\ell s} &= \ph{\boldsymbol{A}}^{-1} \boldsymbol{N} \ph{\boldsymbol{A}} \ph{\boldsymbol{I}}_{fs} . \end{aligned}

Posle datog matričnog množenja (proveriti za domaći):

\begin{gathered} \begin{bmatrix} \ph{I}_\ell^0 \\ \ph{I}_\ell^d \\ \ph{I}_\ell^i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \ph{a} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \ph{a}^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}_f^0 \\ \ph{I}_f^d \\ \ph{I}_f^i \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 0 \\ (1 - \ph{a}) \ph{I}_f^d \\ (1 - \ph{a}^2) \ph{I}_f^i \end{bmatrix} , \end{gathered}

ili u razvijenom obliku:

\begin{aligned} \ph{I}_\ell^0 &= 0 ; \\ \ph{I}_\ell^d &= (1 - \ph{a}) \ph{I}_f^d = \sqrt{3} \ph{I}_f^d \cdot e^{-\mathrm{j} 30^\circ} ; \\ \ph{I}_\ell^i &= (1 - \ph{a}^2) \ph{I}_f^i = \sqrt{3} \ph{I}_f^i \cdot e^{\mathrm{j} 30^\circ} . \end{aligned}

Prethodni dobijeni rezultat za nultu simetričnu komponentu je logičan i očekivan, jer sve nulte struje ulaze u trougao, a ni jedna ne izlazi (sve se zatvaraju u trouglu).

Teme

Simetrične komponente

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Distributivne i industrijske mrežeNa Drive-u: Predavanja