Skip to content
Učionica

Zadatak 10

Stott-ov raspregnuti postupak, jedna iteracija: rešen zadatak

Zadatak prof. dr Andrije T. Sarića. Rešenje: Miloš Sarić

Analiza elektroenergetskih sistema, TF Čačak

Zadatak

Za EES iz prethodnog zadatka primenom Stott-ovog metoda u jednoj iteraciji, odrediti napone potrošačkih čvorova V3V_3 i V4V_4.

1V1 = 1,05 r.j.θ1 = 0°3SP3 = (0,4 + j0,05) r.j.2SP2 = (0,6 + j0,2) r.j.SG2 = (1,1 + jQG2) r.j.V2 = 1,05 r.j.4SP4 = (0,6 + j0,2) r.j.YgYgYgYgYg = (1 − j10) r.j.

Poznato

  • Gg=1G^g = 1r.j.
  • −Bg=10-B^g = 10r.j.
  • V1=1,05V_1 = 1{,}05r.j.
  • V2=1,05V_2 = 1{,}05r.j.
  • PG2=1,1P_{G2} = 1{,}1r.j.
  • PP2=0,6P_{P2} = 0{,}6r.j.
  • QP2=0,2Q_{P2} = 0{,}2r.j.
  • PP3=0,4P_{P3} = 0{,}4r.j.
  • QP3=0,05Q_{P3} = 0{,}05r.j.
  • PP4=0,6P_{P4} = 0{,}6r.j.
  • QP4=0,2Q_{P4} = 0{,}2r.j.

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Mreža je ona iz zadatka 9: pet vodova iste admitanse, čvor 1 referentno-balansni, čvor 2 PV čvor, čvorovi 3 i 4 PQ čvorovi. Traže se naponi potrošačkih čvorova 3 i 4 posle jedne iteracije Stott-ovog metoda.

Stott-ov metod je raspregnuti Newton-Raphson-ov postupak: veza aktivnih snaga sa modulima napona i reaktivnih snaga sa uglovima se zanemaruje, a ostali elementi Jakobijana zamenjuju se konstantnim matricama B′\boldsymbol{B}' i B′′\boldsymbol{B}'' sastavljenim od imaginarnih delova matrice Y‾BUS\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}. Uglovi se popravljaju iz debalansa aktivnih snaga, a moduli napona iz debalansa reaktivnih snaga, svaki svojim manjim sistemom jednačina:

[ΔPV]=B′Δθ,[ΔQV]=B′′ΔV,\left[ \frac{\Delta \boldsymbol{P}}{\boldsymbol{V}} \right] = \boldsymbol{B}' \Delta \boldsymbol{\theta} , \qquad \left[ \frac{\Delta \boldsymbol{Q}}{\boldsymbol{V}} \right] = \boldsymbol{B}'' \Delta \boldsymbol{V} ,

gde je debalans razlika izračunate i specificirane snage, ΔPi=Pi(X)−Pisp\Delta P_i = P_i(\boldsymbol{X}) - P_i^{sp}. Obe popravke se ovde računaju iz istog početnog stanja, ravnog profila: θ(0)=0\theta^{(0)} = 0 i V(0)=1V^{(0)} = 1 r.j. tamo gde napon nije zadat.

Matrica admitansi i vrste čvorova

Y‾BUS=GBUS+jBBUS=[2−1−10−13−1−1−1−13−10−1−12]+j[−201010010−3010101010−301001010−20]\begin{gathered} \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} = \boldsymbol{G}_{BUS} + \mathrm{j} \boldsymbol{B}_{BUS} \\ = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \\ + \mathrm{j} \begin{bmatrix} -20 & 10 & 10 & 0 \\ 10 & -30 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & -30 & 10 \\ 0 & 10 & 10 & -20 \end{bmatrix} \end{gathered}

Specificirane snage injektiranja su razlike proizvodnje i potrošnje: u čvoru 2 P2sp=PG2−PP2=1,1−0,6=0,5P_2^{sp} = P_{G2} - P_{P2} = 1{,}1 - 0{,}6 = 0{,}5 r.j. (njegov napon V2=1,05V_2 = 1{,}05 r.j. je zadat), u čvoru 3 P3sp=−0,4P_3^{sp} = -0{,}4 r.j. i Q3sp=−0,05Q_3^{sp} = -0{,}05 r.j., a u čvoru 4 P4sp=−0,6P_4^{sp} = -0{,}6 r.j. i Q4sp=−0,2Q_4^{sp} = -0{,}2 r.j. Nepoznati su uglovi θ2\theta_2, θ3\theta_3, θ4\theta_4 i moduli V3V_3, V4V_4.

Matrice B′ i B″ i njihove inverzne

B′\boldsymbol{B}' ima redove i kolone čvorova sa nepoznatim uglom (2, 3, 4), a B′′\boldsymbol{B}'' čvorova sa nepoznatim modulom napona (3, 4); elementi su uzeti iz BBUS\boldsymbol{B}_{BUS}:

B′=[B22B23B24B32B33B34B42B43B44]=[−30101010−30101010−20]\begin{gathered} \boldsymbol{B}' = \begin{bmatrix} B_{22} & B_{23} & B_{24} \\ B_{32} & B_{33} & B_{34} \\ B_{42} & B_{43} & B_{44} \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} -30 & 10 & 10 \\ 10 & -30 & 10 \\ 10 & 10 & -20 \end{bmatrix} \end{gathered}
B′′=[B33B34B43B44]=[−301010−20]\boldsymbol{B}'' = \begin{bmatrix} B_{33} & B_{34} \\ B_{43} & B_{44} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30 & 10 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}
B′−1=[−0,0625−0,0375−0,05−0,0375−0,0625−0,05−0,05−0,05−0,1]B′′−1=[−0,04−0,02−0,02−0,06]\begin{gathered} \boldsymbol{B}'^{-1} = \begin{bmatrix} -0{,}0625 & -0{,}0375 & -0{,}05 \\ -0{,}0375 & -0{,}0625 & -0{,}05 \\ -0{,}05 & -0{,}05 & -0{,}1 \end{bmatrix} \\ \boldsymbol{B}''^{-1} = \begin{bmatrix} -0{,}04 & -0{,}02 \\ -0{,}02 & -0{,}06 \end{bmatrix} \end{gathered}

Debalansi snaga u ravnom profilu

Snage injektiranja se računaju iz jednačina injektiranja. U ravnom profilu su sve razlike uglova nula, pa je cos⁡(θi−θj)=1\cos(\theta_i - \theta_j) = 1 i sin⁡(θi−θj)=0\sin(\theta_i - \theta_j) = 0, a ostaju samo članovi sa GijG_{ij} u izrazu za PiP_i i sa BijB_{ij} u izrazu za QiQ_i:

Pi=Vi2Gii+Vi∑j∈αiVjGijQi=−Vi2Bii−Vi∑j∈αiVjBij\begin{aligned} P_i &= V_i^2 G_{ii} + V_i \sum_{j \in \alpha_i} V_j G_{ij} \\ Q_i &= -V_i^2 B_{ii} - V_i \sum_{j \in \alpha_i} V_j B_{ij} \end{aligned}
P2=1,052⋅3+1,05(−1,05−1−1)=0,105P3=3+(−1,05−1,05−1)=−0,1P4=2+(−1,05−1)=−0,05Q3=30−(10⋅1,05+10⋅1,05+10)=−1Q4=20−(10⋅1,05+10)=−0,5\begin{aligned} P_2 &= 1{,}05^2 \cdot 3 + 1{,}05 \left( -1{,}05 - 1 - 1 \right) \\ &= 0{,}105 \\ P_3 &= 3 + \left( -1{,}05 - 1{,}05 - 1 \right) = -0{,}1 \\ P_4 &= 2 + \left( -1{,}05 - 1 \right) = -0{,}05 \\ Q_3 &= 30 - \left( 10 \cdot 1{,}05 + 10 \cdot 1{,}05 + 10 \right) \\ &= -1 \\ Q_4 &= 20 - \left( 10 \cdot 1{,}05 + 10 \right) = -0{,}5 \end{aligned}

Debalansi podeljeni modulima napona, u r.j., su:

ΔP2V2=0,105−0,51,05=−0,3762ΔP3V3=−0,1+0,41=0,3ΔP4V4=−0,05+0,61=0,55ΔQ3V3=−1+0,051=−0,95ΔQ4V4=−0,5+0,21=−0,3\begin{aligned} \frac{\Delta P_2}{V_2} &= \frac{0{,}105 - 0{,}5}{1{,}05} = -0{,}3762 \\ \frac{\Delta P_3}{V_3} &= \frac{-0{,}1 + 0{,}4}{1} = 0{,}3 \\ \frac{\Delta P_4}{V_4} &= \frac{-0{,}05 + 0{,}6}{1} = 0{,}55 \\ \frac{\Delta Q_3}{V_3} &= \frac{-1 + 0{,}05}{1} = -0{,}95 \\ \frac{\Delta Q_4}{V_4} &= \frac{-0{,}5 + 0{,}2}{1} = -0{,}3 \end{aligned}

Priraštaji uglova i modula napona

[Δθ2Δθ3Δθ4]=B′−1[ΔP2/V2ΔP3/V3ΔP4/V4]=[−0,0625−0,0375−0,05−0,0375−0,0625−0,05−0,05−0,05−0,1]×[−0,37620,30,55]=[−0,01524−0,03214−0,05119] rad\begin{gathered} \begin{bmatrix} \Delta \theta_2 \\ \Delta \theta_3 \\ \Delta \theta_4 \end{bmatrix} = \boldsymbol{B}'^{-1} \begin{bmatrix} \Delta P_2 / V_2 \\ \Delta P_3 / V_3 \\ \Delta P_4 / V_4 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} -0{,}0625 & -0{,}0375 & -0{,}05 \\ -0{,}0375 & -0{,}0625 & -0{,}05 \\ -0{,}05 & -0{,}05 & -0{,}1 \end{bmatrix} \\ \times \begin{bmatrix} -0{,}3762 \\ 0{,}3 \\ 0{,}55 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0{,}01524 \\ -0{,}03214 \\ -0{,}05119 \end{bmatrix} \text{ rad} \end{gathered}
[ΔV3ΔV4]=B′′−1[ΔQ3/V3ΔQ4/V4]=[−0,04−0,02−0,02−0,06][−0,95−0,3]=[0,0440,037] r.j.\begin{gathered} \begin{bmatrix} \Delta V_3 \\ \Delta V_4 \end{bmatrix} = \boldsymbol{B}''^{-1} \begin{bmatrix} \Delta Q_3 / V_3 \\ \Delta Q_4 / V_4 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} -0{,}04 & -0{,}02 \\ -0{,}02 & -0{,}06 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0{,}95 \\ -0{,}3 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 0{,}044 \\ 0{,}037 \end{bmatrix} \ \rj \end{gathered}

Znaci su očekivani: potrošački čvorovi posle prve iteracije zaostaju po uglu za čvorom 1, a moduli njihovih napona rastu, jer bi mreža u ravnom profilu u čvorove 3 i 4 slala više reaktivne snage nego što potrošači uzimaju (izračunate snage Q3Q_3 i Q4Q_4 manje su od specificiranih, pa su debalansi reaktivnih snaga negativni).

Vrednosti posle prve iteracije

θ2(1)=−0,01524 radθ3(1)=−0,03214 rad=−1,842∘θ4(1)=−0,05119 rad=−2,933∘V3(1)=1+0,044=1,044 r.j.V4(1)=1+0,037=1,037 r.j.\begin{aligned} \theta_2^{(1)} &= -0{,}01524 \text{ rad} \\ \theta_3^{(1)} &= -0{,}03214 \text{ rad} = -1{,}842^\circ \\ \theta_4^{(1)} &= -0{,}05119 \text{ rad} = -2{,}933^\circ \\ V_3^{(1)} &= 1 + 0{,}044 = 1{,}044 \ \rj \\ V_4^{(1)} &= 1 + 0{,}037 = 1{,}037 \ \rj \end{aligned}

Rezultat

Posle jedne iteracije Stott-ovog metoda: V‾3(1)=1,044 /−1,842∘‾\ph{V}_3^{(1)} = 1{,}044\,\underline{/-1{,}842^\circ} r.j. i V‾4(1)=1,037 /−2,933∘‾\ph{V}_4^{(1)} = 1{,}037\,\underline{/-2{,}933^\circ} r.j.

Uglovi u radijanima: θ2(1)=−0,01524\theta_2^{(1)} = -0{,}01524, θ3(1)=−0,03214\theta_3^{(1)} = -0{,}03214, θ4(1)=−0,05119\theta_4^{(1)} = -0{,}05119.

Metod u predavanju

Slični zadaci

Teme

Tokovi snaga

Izvor u PDF-u, na Drive-u (otvara se u novom tabu)

Folder predmeta Analiza elektroenergetskih sistemaNa Drive-u: Predavanja · Vežbe · Zadaci