Stabilnost elektroenergetskih sistema

Stabilnost dinamičkog sistema je osobina da zadrži svoju funkciju i posle nastanka definisanih poremećaja. Stabilnost linearnih sistema ne zavisi od ulaza u sistem, što znači da će se on uvek povratiti u početnu tačku prostora stanja, nezavisno od njene vrednosti. Međutim, stabilnost nelinearnih sistema zavisi od početnog stanja ($\boldsymbol{x}_0$), tipa i veličine ulaza ($u_i$).

Može se definisati više kategorija stabilnosti:

• •Lokalna stabilnost, ili stabilnost u malom.
• •Konačna stabilnost.
• •Globalna stabilnost, ili stabilnost u velikom.

Stabilnost EES-a može se definisati kao svojstvo tog sistema da ostane u stanju pogonske ravnoteže u normalnim radnim uslovima i da posle pojave određenih poremećaja ponovo dođe u neko prihvatljivo novo ravnotežno stanje (nelinearan sistem).

Nestabilnost EES-a može se definisati na više načina. Osnovni problem je sinhronizam mašina posle poremećaja (malih i velikih).

Mali poremećaji su kontinualne promene opterećenja kojima se sistem stalno prilagođava, menjajući ravnotežno stanje.

Veliki poremećaji odnose se na ispade iz pogona velikih generatora, potrošača, prenosnih vodova, transformatora (usled atmosferskih pražnjenja, kratkih spojeva i slično).

Rešavanje stabilnosti sistema pri velikim poremećajima je složen zadatak, posebno kod sinhronih mašina.

Problemi stabilnosti vezani su za planiranje, projektovanje i eksploataciju prenosnih mreža. Distributivne mreže u ovome ne učestvuju.

Statička i tranzijentna stabilnost

Statička stabilnost odnosi se na sposobnost EES-a da očuva sinhronizam pri malim i sporim poremećajima (kao što su postepene promene opterećenja). Ovde se kao posebna kategorija posmatra dinamička stabilnost. Ona je vezana za dugotrajne male poremećaje. Pri tome se analizira uticaj automatskih uređaja za regulaciju pobude, brzine, proizvodnje i razmene snage i drugi. Dakle, dinamička stabilnost je stabilnost pri malim poremećajima.

Tranzijentna stabilnost bavi se proučavanjem efekata velikih i iznenadnih poremećaja, kao što su promene opterećenja, konfiguracije mreže, razni tipovi kvarova, ispadi iz pogona raznih elemenata, kao što su generatori, vodovi, transformatori i potrošači.

Studije tranzijentne stabilnosti su važne u fazi planiranja i eksploatacije EES-a, jer daju podatke za izbor tipa i podešavanja zaštitnih releja, kritičnog vremena isključenja prekidača, sistemske automatike i prenosnih kapaciteta međusistemskih spojnih vodova.

Prethodna podela daje i vremensku dekompoziciju:

• •tranzijentna stabilnost proučava efekte poremećaja u kratkom periodu posle njegovog nastanka;
• •statička (i dinamička) stabilnost proučavaju dugotrajne poremećaje.

Ugaona i naponsko-reaktivna stabilnost

Ugaona stabilnost predstavlja sposobnost sinhronih mašina u EES-u da održavaju sinhronizam. Neophodna je analiza mehaničkih oscilacija uglova između rotora sinhronih mašina. Osnovni cilj je da se utvrdi kako se menjaju odate (apsorbovane) snage sinhronih mašina kada njihovi rotori osciluju. Ugaona stabilnost održava se ako se uglovi rotora mašina stabilizuju na konačnoj vrednosti u dozvoljenom opsegu promena, pri čemu uglovi zauzimaju novo ravnotežno stanje, bez gubitka sinhronizma.

Naponsko-reaktivna stabilnost predstavlja sposobnost EES-a da održava prihvatljive vrednosti napona u svim čvorovima. Naponska nestabilnost javlja se ako posle nastanka poremećaja dođe do nekontrolisanih padova napona u nekim (svim) čvorovima, koji mogu dovesti do kaskadnih poremećaja i potpunog naponskog sloma (kolapsa napona).

Naponsko-reaktivna stabilnost je lokalnog karaktera. Vezana je za zadovoljenje potreba u reaktivnim snagama. Sistem je stabilan ako je koeficijent U-Q osetljivosti pozitivan za sve čvorove.

Tipični vremenski opsezi pojedinih tipova stabilnosti:

• •Kratkotrajna ili tranzijentna stabilnost: 0 do 10 s.
• •Dugotrajna stabilnost: 10 s do nekoliko minuta.
• •Stabilnost vrlo dugih dinamičkih pojava: nekoliko minuta do nekoliko desetina minuta.

Jednačina kretanja rotora sinhrone mašine

U normalnim radnim režimima položaj ose rotora i ose rezultantnog magnetnog polja sinhrone mašine je fiksan. Ugao između te dve ose ($\theta$) naziva se mehanički ugao snage (ugao momenta).

Tokom poremećaja rotor mašine se ubrzava ili usporava, čime se javlja relativno kretanje magnetno-pobudne sile. Jednačina tog kretanja naziva se jednačina njihanja. Ako se posle prelaznog perioda rotor ustali na sinhronoj brzini, onda mašina zadržava svoju stabilnost. Pri tome se menja i odata snaga mašine.

Jednačina kretanja rotora sinhronog generatora je:

• $\theta_m$ – ugao između faze 'a' statora i q-ose;
• $J$ – aksijalni moment inercije svih obrtnih masa na zajedničkoj osovini (rotori generatora i turbine, obrtna pobudnica i druge);
• $M_m$ – mehanički (motorni) momenat (momenat primarnog motora koji pokreće sinhroni generator);
• $M_e$ – električni (otporni) momenat generatora;
• $M_a = M_m - M_e$ – momenat ubrzanja.

Posle određenih transformacija, prethodna jednačina se svodi na:

• $H$ – vremenska konstanta inercije u MWs/MVA;
• $\omega_s$ – sinhrona brzina obrtanja;
• $\delta$ – električni ugao snage (ugao između napona na krajevima sinhrone mašine i indukovane elektromotorne sile u q-osi).

Kriva snaga-ugao sinhrone mašine sa cilindričnim rotorom (turbogenerator)

Thevenin-ov ekvivalent je:

Fazorski dijagram napona i struja u ustaljenom i tranzijentnom stanju (zbog vrlo kratkog trajanja, subtranzijentni period nije od interesa za tranzijentnu analizu – što joj i samo ime sugeriše) je:

Sa prethodne slike, kompleksna struja generatora je ($\ph{E}_f$ i $\ph{V}$ predstavljaju fazne, a $\ph{E}$ i $\ph{U}$ linijske vrednosti):

Kompleksna snaga na izlazu iz generatora:

pa je:

• •aktivna snaga:

• •reaktivna snaga:

Kod sinhronih mašina važi sledeći realan odnos parametara:

Uvažavajući prethodne realne vrednosti parametara generatora, izrazi za snage postaju:

• •aktivna snaga:

• •reaktivna snaga:

Dijagrami $P(\delta)$ i $Q(\delta)$ nazivaju se krive snaga-ugao, a sama kriva $P(\delta)$ naziva se kriva njihanja. Ona za generator sa cilindričnim rotorom ima sledeći izgled:

Kriva snaga-ugao sinhrone mašine sa istaknutim polovima (hidrogenerator)

Fazorski dijagram napona i struja u ustaljenom i tranzijentnom stanju je:

Sa prethodnog fazorskog dijagrama očitavaju se sledeći izrazi:

Uprošćeni izraz za kompleksnu snagu je:

Iz prethodnog izraza izvode se sledeća dva izraza za snage:

• •aktivna snaga:

• •reaktivna snaga:

Iz prethodnih izraza tipična kriva snaga-ugao ima sledeći izgled (izračunata za jedan konkretan skup parametara $E_q = 2{,}5U$; $X_d = 1{,}2X_q$)

Stabilnost jednomašinskog sistema

Posmatra se jednostavan jednomašinski sistem u kome je sam generator puno manje snage od ostatka sistema:

Ako se svi elementi na prethodnoj šemi zamene svojim ekvivalentima, dobija se sledeća ekvivalentna zamenska šema:

Sa prethodne šeme za linijske napone važe jednačine:

gde je:

Snage koje se isporučuju mreži su:

gde je $P_M = \dfrac{EU_\infty}{X^{eq}}$ maksimalna prenosna aktivna snaga.

Koeficijent sinhronizacione snage određuje granicu stabilnosti, a on se definiše kao:

Drugim rečima, granica statičke stabilnosti turbogeneratora vezanog na krutu mrežu ima se za vrednost ugla $\delta = \pi/2 = 90^{\circ}$:

što znači da je granična prenosna snaga jednaka maksimalnoj snazi.

Slično, u slučaju mašine sa istaknutim polovima je:

gde je: $X_d^{eq} = X_d + X_{BT} + X_{SV}$ i $X_q^{eq} = X_q + X_{BT} + X_{SV}$.

Iz prethodnog izraza dobija se sledeći izraz za sinhronizacionu snagu:

iz koga se dobija granični ugao stabilnosti, koji se ima za $P_s = 0$, odnosno:

Rešenje prethodne jednačine je (uz uvažavanje trigonometrijskog izraza $\cos 2\delta^{gr} = \cos^2\delta^{gr} - \sin^2\delta^{gr} = 2\cos^2\delta^{gr} - 1$):

gde je: $a = U_\infty\dfrac{X_d^{eq} - X_q^{eq}}{X_q^{eq}}$.

Iz prethodne kvadratne jednačine granični ugao je:

jer mora biti zadovoljen uslov: $-1 \le \cos\delta^{gr} \le +1$.

Iz dobijenog izraza se vidi da je u ovom slučaju (mašine sa istaknutim polovima):

Statička stabilnost jednomašinskog sistema pri malim prolaznim poremećajima

Polazi se od jednačine kretanja rotora:

koja je nelinearna po uglu rotora ($\delta$).

Ako se izvrši linearizacija u okolini radne tačke, odnosno izvrši smena sledećih veličina u prethodnu jednačinu:

dobija se jednačina:

U početnom stanju je:

dok je jednačina priraštaja:

Ako se u nju zameni izraz za sinhronizacionu snagu $P_s = \left.\dfrac{\partial P}{\partial\delta}\right|_{\delta = \delta_0} = P_M\cos\delta_0$ dobija se:

U ovoj jednačini zanemaren je efekat prigušenja. Ako se pre njenog rešavanja pretpostavi da je efekat prigušenja srazmeran promeni brzine, sa koeficijentom prigušenja $k_D$, snaga prigušenja je:

pa je ukupna jednačina kretanja rotora:

odnosno posle preuređenja:

Ova jednačina svodi se na standardnu formu linearne diferencijalne jednačine (kanonički oblik):

gde su:

• $\zeta = \dfrac{k_D}{2\sqrt{2P_sH\omega_s}}$ – bezdimenzioni relativni koeficijent prigušenja;
• $\omega_n = \sqrt{\dfrac{P_s\omega_s}{2H}}$ – neprigušena prirodna učestanost u $[\mathrm{s}^{-1}]$.

Prethodna jednačina u Laplace-ovom domenu je:

čije je rešenje (pod pretpostavkom $\zeta \le 1$):

U prethodnom izrazu $\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}$ naziva se kružna učestanost prigušenih oscilacija.

Rešenje prethodne diferencijalne jednačine je ($\theta = \arccos\zeta$):

Promena kružne učestanosti dobija se diferenciranjem prethodne jednačine:

Iz prethodnih jednačina za priraštaje dobijaju se i jednačine koje opisuju kretanje rotora:

Vremenska konstanta odziva sistema je:

dok je vreme smirenja približno jednako četvorostrukoj vremenskoj konstanti odziva:

Statička stabilnost jednomašinskog sistema pri odskočnom poremećaju

Prethodni poremećaj je bio prolaznog karaktera. Ako se ima mali trajni poremećaj, onda je diferencijalna jednačina kretanja rotora:

ili u standardnoj formi diferencijalne jednačine:

Rešenje prethodne jednačine je:

Promena kružne učestanosti dobija se diferenciranjem prethodne jednačine:

Iz prethodnih jednačina za priraštaje dobijaju se i jednačine koje opisuju kretanje rotora:

Tranzijentna stabilnost jednomašinskog sistema

Cilj je da se utvrdi da li mašina može da održi sinhronizam posle velikih poremećaja (nagla promena opterećenja, ispad generatorske snage, kratak spoj i sl.).

Najčešće se koristi metod jednakih površina. On se bazira na grafičkoj interpretaciji kinetičke energije akumulirane u obrtnim masama.

Ponovo se polazi od jednačine kretanja rotora sa zanemarenim prigušenjem:

ili:

Ako se prethodna jednačina pomnoži sa $2\dfrac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}$ dobija se:

Posle integraljenja ove jednačine u granicama od početnog ($\delta_0$) do tekućeg ugla ($\delta$) dobija se:

ili:

Ova jednačina daje relativnu brzinu mašine u odnosu na sinhronu.

Uslov za stabilnost je da se posle pojave poremećaja mora očuvati sinhronizam, a to znači da promena brzine posle nekog vremena od poremećaja mora biti nula. To se prevodi u sledeći uslov stabilnosti:

Geometrijska interpretacija prethodnog izraza data je na donjoj slici, koja daje dijagram električne snage, pod pretpostavkom da je mehanička snaga konstantna.

Početno ravnotežno stanje određeno je presekom karakteristike $P_m(\delta)$ i $P_e(\delta)$, kada je $P_{m0} = P_{e0}$ (tačka a.).

Posle odskočne promene mehaničke snage od $P_{m0}$ na $P_{m1}$ prava mehaničke snage pomera se za $\Delta P_m = P_{m1} - P_{m0}$. Ugao preseka karakteristika raste sa $\delta_0$ na $\delta_1$ (tačka b.). U rotoru dolazi do povećanja akumulisane kinetičke energije tokom ubrzanja. To povećanje je:

Fizički, sa porastom ugla snage sa $\delta_0$ na $\delta_1 > \delta_0$, električna snaga $P_e$ se prilagođava promenjenoj mehaničkoj snazi $P_{m1}$. U novoj ravnotežnoj tački određenoj uglom $\delta_1$, kada je ponovo $P_a(\delta_1) = P_{m1} - P_e(\delta_1) = 0$. Tada se rotor obrće brzinom iznad sinhrone, pa ugao $\delta$ i električna snaga $P_e$ nastavljaju da rastu.

U drugom prelaznom periodu je $\delta > \delta_1$, a $P_{m1} < P_e(\delta)$, što prouzrokuje usporavanje rotora koje se zaustavlja pri vrednostima ugla $\delta = \delta_{max}$.

Dakle, rotor će oscilovati sve dok postoji višak kinetičke energije.

Veličina energije koju rotor troši na usporenje određena je integralom:

Drugim rečima, rotor osciluje i vraća se u novu ravnotežnu tačku b., iz položaja određenog sa $\delta_{max}$.

Dakle, uslov za stabilnost je:

Primena kriterijuma jednakih površina na naglu promenu opterećenja (mehaničke snage na osovini rotora)

Kriterijum jednakih površina može se iskoristiti za određivanje graničnog uslova stabilnosti pri nagloj promeni mehaničke snage na osovini generatora. Stabilnost je obezbeđena sve dok je površina ispod prave mehaničke snage $P_m = P_{m1} = Const.$, a iznad sinusoide krive njihanja $P_e(\delta)$ u opsegu između uglova $\delta_0$ i $\delta_1$ (obeležena sa $A_1$ na slici) manja ili najviše jednaka površini $A_2$ iznad prave $P_{m1}$, a ispod krive njihanja $P_e(\delta)$ u opsegu između uglova $\delta_1$ i $\delta_{max}^{gr}$ na istoj slici. Očigledno je da je granična promena ugla generatora $\delta_{max}^{gr} = \pi - \delta_1$, koja određuje jednakost površina $A_1$ i $A_2$.

Kriterijum jednakih površina za prethodnu sliku daje:

odakle se dobija jednakost:

Zamena $P_{m1} = P_M\sin\delta_{max}^{gr}$ daje nelinearnu (transcendentnu) jednačinu:

Iterativno (ili pogađanjem) rešavanje prethodne jednačine daje $\delta_{max}^{gr}$, a zatim ugao $\delta_1 = \pi - \delta_{max}^{gr}$. Onda se granična snaga dobija iz:

Način numeričkog rešavanja prethodne transcendentne jednačine neće se posebno obrađivati (za ovaj nivo primene, najlakše pogađanjem i bisekcijom intervala).

Primena kriterijuma jednakih površina na trofazni kratak spoj (proračun kritičnog ugla i vremena isključenja kvara)

Kratki spojevi su po pravilu praćeni isključenjem elementa u kvaru.

Prikaz jednomašinskog sistema sa lokalnim opterećenjem:

Postoje tri karakteristične krive snaga-ugao:

• A – $P_e(\delta)$ u normalnom pogonu pre kvara;
• B – $P_e^k(\delta)$ za vreme trajanja kvara, pre njegove eliminacije;
• C – $P_e^{pk}(\delta)$ posle isključenja voda u kvaru.

Prethodne tri karakteristične krive snaga-ugao određene su izrazima:

• A – $P_e(\delta) = P_M\sin\delta$
• B – $P_e^k = r_1P_M\sin\delta$ ($r_1 = P_M^k / P_M$ - odnos max snage za vreme i pre kvara)
• C – $P_e^{pk} = r_2P_M\sin\delta$ ($r_2 = P_M^{pk} / P_M$ - odnos max snage posle i pre kvara)

Kriterijum jednakih površina daje:

odnosno jednačinu:

Prethodni slučaj se svodi na:

• $\delta_1 = \delta_c$ – kritični ugao isključenja kvara;
• $\delta_{max}^{gr} = \arcsin\dfrac{\sin\delta_0}{r_2}; \quad \dfrac{\pi}{2} \le \delta_{max}^{gr} \le \pi$.

Rešavanjem prethodne jednačine dobija se kritični ugao isključenja kvara:

Ako se kvar dogodio na najkritičnijem mestu (sabirnice na početku vodova), važi:

• $\alpha L_v = 0$
• $P_e^k = 0$ (ne može se prenositi snaga)
• $r_1 = 0$
• $r_2 = 1$

pa se prethodna jednačina svodi na:

Pošto je tada $P_e^k = 0$, jednačina obrtnih masa postaje:

odakle se posle integraljenja dobija (uz početni uslov $\left.\dfrac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} = \omega - \omega_s = 0$):

Posle novog integraljenja, za početni uslov $\delta\big|_{t=t_0} = \delta_0$ i krajnji ugao $\delta\big|_{t=t_c} = \delta_c$:

odakle je kritično vreme isključenja kvara:

Tranzijentna stabilnost višemašinskih sistema

Principijelno, postupak je sličan kao kod jednomašinskog sistema.

Da bi se umanjila složenost te analize, uvode se sledeće pretpostavke:

• •Mehanička snaga svih generatora je konstantna (zanemaruje se primarna regulacija učestanosti).
• •Sinhrone mašine električno se predstavljaju modelom konstantnog napona iza podužne tranzijentne reaktanse (zanemaruje se magnetna nesimetrija mašine sa istaknutim polovima).
• •Zanemaruje se asinhrono prigušenje mašina.
• •Svi potrošači predstavljaju se modelima sa konstantnim impedansama (proračunatim za stanje pre kvara).
• •Sve mašine u jednom čvoru kreću se unisono, odnosno čine koherentnu grupu i predstavljaju se ekvivalentnom mašinom u čvoru.

Šema višemašinskog sistema je:

Pri proračunu stabilnosti moraju se sprovesti određeni preliminarni proračuni:

1. Relativiziranje svih podataka na jedinstvenu baznu snagu (obično $S_B = 100$ MVA).

2. Podaci o potrošačima na bazi proračuna tokova snaga pre kvara, svode se na ekvivalentne admitanse:

$i = 1, 2, \cdots, n$, gde je n ukupan broj čvorova.

3. Početne (fazne) unutrašnje elektromotorne sile generatora u tranzijentnom periodu $\ph{E}'_{fi} = E'_{fi} \underline{/\delta_i^0}$ proračunavaju se iz vrednosti napona u generatorskim čvorovima pre poremećaja ($\ph{V}_i = V_i \underline{/\theta_i} = V_i$)

gde je: $\ph{I}_i = \dfrac{\cj{\ph{S}}_{Gi}}{\cj{\ph{V}}_i} = \dfrac{P_{Gi} - \mathrm{j}Q_{Gi}}{V_i}$.

4. Proračun matrice admitansi nezavisnih čvorova $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ za stanje sistema pre kvara, za vreme kvara i posle eliminacije kvara. Da bi se ovo uradilo, sprovode se sledeći koraci:

• •Ekvivalentne admitanse potrošača iz Koraka 2 povezuju se između potrošačkih čvorova i referentnog zemlja-čvora. Pri tome se rezervišu dodatni brojevi za generatorske čvorove $i = 1, 2, \cdots, m$. Tako se povećava matrica admitansi sistema pre kvara $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{pre}$.
• •Proračun matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{k}$, koja odgovara stanju sistema tokom kvara (za razne vrste kvarova) i sa novouvedenim čvorovima iza tranzijentnih reaktansi generatora. Matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{k}$ za pretpostavljenu lokaciju trofaznog kvara, dobija se dalje preuređenjem vrsta i kolona matrice pre kvara $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{pre}$, koje odgovaraju čvoru na kojem se dogodio kvar, povezujući ga direktno sa zemljom.
• •Proširena matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{pk}$ posle eliminacije kvara dobija se odstranjivanjem voda u kvaru.
• •U poslednjem koraku, primenom Kronove formule za redukciju sistema eliminišu se svi čvorovi proširene matrice admitansi $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{pre}$ (odnosno $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{k}$, $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{pk}$), sem čvorova iza tranzijentnih reaktansi generatora (praktično m generatorskih čvorova).

5. Formira se $(n + m)$ dimenziona jednačina injektiranja pre kvara:

gde su:

Submatrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{nn}$ je slična, ali ne i ista, kao matrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$ korišćena u proračunima tokova snaga. Ona u sebe uključuje i matrice potrošača i recipročne vrednosti tranzijentnih impedansi generatora u čvorovima $i = 1, 2, \cdots, m$. Njeni elementi se određuju tako isto kao kod tokova snaga, s tim što se dijagonalnim elementima dodaju admitanse potrošača i generatora u čvorovima u kojima su priključeni.

Submatrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{nm}$ preslikava efekat novouvedenih čvorova $i = 1, 2, \cdots, m$ na originalne čvorove $i = 1, 2, \cdots, n$, čija je matrica admitansi bila $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}$. U njoj se pojavljuju admitanse generatorskih grana $-1/\mathrm{j}X'_{di}$ svih m novouvedenih generatorskih čvorova, shodno vezi sa originalnim čvorovima.

Submatrica $\ph{\boldsymbol{Y}}_{mm}$ je dijagonalna submatrica generatorskih admitansi u dodatim čvorovima:

To znači da je prethodni matrični sistem jednačina sada:

Iz uvedene pretpostavke da je $\ph{\boldsymbol{E}}'_{fm}$ pre kvara poznata i konstantna tokom kvara, onda se nepoznati naponi izračunavaju iz izraza:

pa su struje injektiranja u novouvedenim čvorovima:

gde je $\ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS}^{red}$ ($m \times m$)-dimenziona redukovana matrica sistema.

Ovako se dobijaju struje injektiranja svih generatora. Naravno, ovo se može sprovesti samo računarski, čak i za male sisteme.

Sa izračunatim strujama $\ph{I}_1, \ph{I}_2, \cdots, \ph{I}_m$ izračunavaju se odate (električne) generatorske snage iz izraza:

gde je $\ph{I}_i$ struja ekvivalentnog generatora u i-tom čvoru.

U skladu sa notacijom u polarnim koordinatama (tokova snaga), važi izraz:

Kada se zanemari prigušenje, jednačina obrtnih masa generatora je:

odnosno, diferencijalne jednačine obrtnih masa drugog reda, za $P_{mi} = P_{mi}^0$, postaju: