DC model i linearizovani tokovi snaga na 400 kV: rešen zadatak

Zadatak

Za dati trofazni jednopolno prikazani EES sastavljen od homogenih vodova, naponskog nivoa 400 kV, izračunati:

1. Nepoznate $\theta_2$ i $\theta_3$ prethodno linearizujući odgovarajuće izraze za snage približnom zamenom sin funkcija njihovim argumentima.
2. Tokove aktivnih snaga po granama mreže.
3. Koliki je stepen korisnosti sistema.
4. Nepoznate $\theta_2$, $\theta_3$ i $P_1$ primenom DC modela.

Poznato

• $U_1 = 400$kV
• $U_2 = 420$kV
• $U_3 = 415$kV
• $L_{12} = L_{13} = L_{23} = 200$km
• $r_v = 0{,}0295$Ω/km
• $x_v = 0{,}327$Ω/km
• $b_v = 3{,}5$·10⁻⁶ S/km
• $P_{P1} = 1800$MW
• $Q_{P1} = 600$MVAr
• $P_{G2} = 1000$MW
• $P_{P2} = 500$MW
• $Q_{P2} = 200$MVAr
• $P_{G3} = 800$MW
• $P_{P3} = 400$MW
• $Q_{P3} = 200$MVAr

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Čvor 1 je referentno-balansni (zadati su $U_1$ i $\theta_1 = 0$), a čvorovi 2 i 3 su PV čvorovi: zadati su im moduli napona i aktivne snage injektiranja. Svi moduli napona su dakle poznati, a nepoznati su samo uglovi $\theta_2$ i $\theta_3$, pa su za njih dovoljne jednačine aktivnih injektiranja čvorova 2 i 3. Zadatak traži da se one linearizuju ($\sin x \approx x$, $\cos x \approx 1$), čime postaju sistem dve linearne jednačine. Iz dobijenih uglova računaju se tokovi snaga, gubici i stepen korisnosti, a na kraju se isti uglovi i snaga čvora 1 računaju i DC modelom.

Računa se sa trofaznim snagama u MW i MVAr, linijskim naponima u kV i admitansama u S, pa su snage injektiranja $S = U \cdot (Y U)^*$ direktno u MVA.

Parametri voda

Sva tri voda su ista, pa je $\ph{Y}_{12}^g = \ph{Y}_{13}^g = \ph{Y}_{23}^g = \ph{Y}^g$, sa $G^g = 0{,}001368$ S i $B^g = -0{,}01517$ S.

Matrica admitansi

Svaki čvor je vezan sa dva voda, pa su svi dijagonalni elementi isti, kao i svi vandijagonalni:

Snage injektiranja i vrste čvorova

a) Linearizovane jednačine i uglovi

Jednačina aktivnog injektiranja čvora $i$ je

Sa $\cos(\theta_i - \theta_j) \approx 1$ i $\sin(\theta_i - \theta_j) \approx \theta_i - \theta_j$ ona postaje linearna po uglovima, a sve što ne zavisi od uglova prelazi na desnu stranu:

Za čvorove 2 i 3, sa $\theta_1 = 0$, to su dve jednačine sa dve nepoznate. Na primer, desna strana jednačine čvora 2 je $500 - 420^2 \cdot 0{,}002737 + 420 \cdot (400 + 415) \cdot 0{,}001368 = 485{,}6$ MW, a koeficijent uz $\theta_2$ je $420 \cdot 400 \cdot 0{,}01517 + 420 \cdot 415 \cdot 0{,}01517 = 5192$ MW/rad:

Snaga čvora 1 i gubici

Sa dobijenim uglovima, iz tačne jednačine injektiranja čvora 1 (bez linearizacije):

Generator u čvoru 1 daje $P_{G1} = P_1 + P_{P1} = 912{,}2$ MW. Gubici aktivne snage u mreži su zbir snaga injektiranja:

Linearizacija je približna: tačne jednačine čvorova 2 i 3 sa ovim uglovima daju $P_2 = 501{,}3$ MW i $P_3 = 401{,}2$ MW umesto zadatih 500 i 400 MW. Tačno rešenje (Newton-Raphson) je $\theta_2 = 10{,}24^\circ$ i $\theta_3 = 9{,}607^\circ$, sa $P_1 = -885{,}4$ MW i gubicima od 14,61 MW, pa je linearizovani model dovoljno tačan za ovakvu procenu.

c) Stepen korisnosti

Mreža prima $P_2 + P_3 = 900$ MW iz čvorova 2 i 3, a u čvoru 1 predaje $-P_1 = 887{,}8$ MW, pa je stepen korisnosti:

Reaktivne snage injektiranja

Generatori daju $Q_{Gi} = Q_i + Q_{Pi}$: $Q_{G1} = 431$ MVAr, $Q_{G2} = 233{,}1$ MVAr i $Q_{G3} = 142{,}7$ MVAr. Zbir $Q_1 + Q_2 + Q_3 = -193{,}2$ MVAr je negativan: kapacitivnosti vodova na 400 kV proizvode više reaktivne snage nego što se troši na njihovim reaktansama.

b) Tokovi snaga po granama

Tok snage od čvora $i$ ka čvoru $j$, na početku grane $ij$, je

sa $\theta_{ij} = \theta_i - \theta_j$. Na oba kraja svake grane:

Aktivna snaga teče iz čvorova 2 i 3 ka čvoru 1, a razlika snaga na dva kraja grane su gubici u njoj.

d) DC model

DC model zanemaruje otpornosti i otočne grane, uzima sve module napona jednake 1 r.j. i $\sin \theta \approx \theta$, pa ostaju samo reaktanse grana. Za bazne veličine uzimamo $S_B = 100$ MVA i $U_B = 400$ kV:

Matrica DC modela bez referentnog čvora i snage injektiranja u r.j. ($P_2 = 5$, $P_3 = 4$):

Gubitaka u DC modelu nema, pa čvor 1 prima svu snagu: $P_1 = -(P_2 + P_3) = -900$ MW. Tokovi su $P_{ij} = (\theta_i - \theta_j)/x$:

DC model daje nešto veće uglove ($\theta_2 = 10{,}93^\circ$ prema 10,27° u linearizovanom modelu) i tokove ka čvoru 1 bez gubitaka, a raspodelu snage po granama gotovo istu kao linearizovani model.