Električni parametri nadzemnih vodova

Nadzemni vod je element sa raspodeljenim parametrima:

Na prethodnoj slici je:

• $r$ – podužna aktivna otpornost;
• $l$ – podužna induktivnost;
• $g$ – podužna aktivna odvodnost;
• $c$ – podužna kapacitivnost.

Sa slike se vidi da $r$ i $l$ predstavljaju redne, a $g$ i $c$ otočne parametre.

Vrednosti svih parametara date su kao podužne, dok se ukupne vrednosti dobijaju množenjem podužnih sa ukupnom dužinom voda.

Parametri $r$, $l$ i $c$ su konstruktivni parametri voda i zavise od materijala i načina konstrukcije voda. Oni su dominantni kod vodova i po pravilu se uzimaju u obzir.

Odvodnost $g$ određuje nesavršenost izolacije (male mikro struje kroz izolator), vremenske prilike, zaprljanost izolatora itd.

Podužna aktivna otpornost nadzemnih vodova

Podužna aktivna otpornost izračunava se kao:

gde su:

• $\rho$ – specifična aktivna otpornost voda, u $\left[\Omega\text{mm}^2/\text{km}\right]$;
• $s$ – poprečni presek, u $\left[\text{mm}^2\right]$;
• $\rho_{Cu}(+20\ ^\circ\text{C}) = 17{,}8\ \Omega\text{mm}^2/\text{km}$;
• $\rho_{Al}(+20\ ^\circ\text{C}) = 28{,}0\ \Omega\text{mm}^2/\text{km}$.

Otpornost provodnika koji se koriste za nadzemne vodove je veća od $r_{-}$, zbog sledećih razloga:

• •Pri proticanju naizmenične struje zbog skin efekta raspodela struje kroz poprečni presek nije ravnomerna. Povećanje otpornosti može se dati različitim formulama, a primer jedne je:

gde su:

• $\omega$ – kružna učestanost, u [1/s];
• $\mu$ – magnetna permeabilnost, u [H/m];
• $r$ – poluprečnik provodnika, u [mm].

• •Zbog efekta blizine faznih provodnika dolazi do poremećaja u raspodeli struje po poprečnom preseku.
• •Zbog konstrukcije provodnika voda u obliku užeta pojedine žice su duže od samog užeta.

Zbog svega toga, podužna otpornost se najčešće ne izračunava, već se koriste kataloški podaci proizvođača.

Podužna induktivnost nadzemnih vodova

Proračun induktivnosti je komplikovaniji od proračuna otpornosti, zbog magnetne veze faznih provodnika.

U izvođenju se polazi od jednog usamljenog provodnika:

Iz osnova elektrotehnike je poznato da je induktivnost jednog usamljenog provodnika jednaka zbiru spoljašnje i unutrašnje induktivnosti, i da je data izrazom:

pošto je poznato da je: $\mu = \mu_r\mu_0 = \mu_r \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}$. Za bakar i aluminijum (metale od kojih se grade nadzemni vodovi) je $\mu_r = 1$.

To znači da je:

ili:

gde je ekvivalentni poluprečnik za proračun induktivnosti provodnika (odstojanje površine od same sebe):

Umesto provodnika punog preseka posmatra se prsten manjeg poluprečnika sa skoncentrisanom strujom.

Podužna induktivnost višežičnih provodnika

U ovom slučaju analizira se međusobni uticaj provodnika.

Polazi se od izraza za fluks:

i posmatra sistem od $n$ provodnika:

Opšta formula za fluks je:

Prethodna formula predstavlja fluksni obuhvat oko provodnika 1 u tački $x$, usled proticanja struje kroz provodnik 1 i ostale provodnike.

Takođe, u polifaznim sistemima uvek je ispunjena formula:

Razvojem jednačine za obuhvat fluksa dobija se:

ili u razvijenom obliku:

Ako se u prethodnu jednačinu uvrsti druga jednačina (sume struje u polifaznom sistemu), odnosno $I_n = -I_1 - I_2 - \cdots - I_{n-1}$, dobija se:

odnosno:

Dakle, induktivnost nije konstantna zbog promenljivih struja i rastojanja.

Primena izvedenog izraza za trofazni vod sa proizvoljnim rasporedom provodnika:

Vremenska zavisnost struja u trofaznom sistemu je:

Iz prethodnih izraza se vidi da je za bilo koji vremenski trenutak ispunjeno:

Ako se posmatra neki vremenski trenutak, na primer $t = 0$, uz logičnu pretpostavku jednakosti poluprečnika provodnika: $r_1 = r_2 = r_3$, odnosno $r_{1e} = r_{2e} = r_{3e} = r_e$, obuhvat fluksa oko provodnika 1 je:

odnosno:

To znači da je podužna induktivnost provodnika 1:

Analogno se dobijaju i podužne induktivnosti ostale dve faze:

Moguće je izračunati i srednju induktivnost tri faze, odnosno nadzemnog voda:

Preplitanje (transpozicija) vodova

Iz gornjih izraza vidi se da su induktivnosti pojedinih faza različite, što bi dovelo do nesimetrije trofaznog voda. To je neprihvatljivo za eksploataciju voda.

Fazni provodnici 220 kV i 400 kV su najčešće raspoređeni u horizontalnoj ravni (portalni stubovi). Da bi se i kod njih postiglo da sve faze imaju istu induktivnost vrši se preplitanje, odnosno transpozicija faznih provodnika kao na slici:

Sa slike se vidi da se transpozicija sprovodi tako što se ukupna dužina trase voda podeli na tri deonice i izvrši prevezivanje faznih provodnika. Prevezivanje faznih provodnika poskupljuje vod, jer se može obaviti samo na specijalnim stubovima i zahteva povećan broj izolatorskih lanaca. Preplitanje voda vrši se samo ako je ispunjen uslov:

Ukupna induktivnost po jednoj fazi je:

gde je $D_{SG} = \sqrt[3]{D_{12}D_{13}D_{23}}$ srednje-geometrijsko rastojanje faznih provodnika.

Do gornjeg izraza može se doći i na drugi način (koji je dobro znati za zadatke), u kome se polazi od izraza preko struja:

Sada je isto kao i ranije:

Proračun induktivnosti provodnika u snopu

Analogno se izvodi izraz i za dve grupe provodnika ($X$ i $Y$):

U slučaju da se skup X sastoji od samo jednog provodnika, tada je $D_{SG,sopstveno} = r_e$, što se svodi na prethodne izraze.

Posmatra se slučaj dvofaznog voda sa dva provodnika po fazi (analogno se dobija i za slučaj trofaznog voda):

Sa slike se vidi da je:

• $D_S$ – rastojanje provodnika u snopu;
• $D$ – rastojanje između snopova.

Međusobno srednje-geometrijsko rastojanje za prethodni slučaj je:

pošto je $D \gg D_s$

Ako se pretpostavi generalan slučaj, odnosno da u snopu $A$ postoji $n$ provodnika, a u snopu $B$ $m$ provodnika, broj međusobnih rastojanja je $m \cdot n$, pa izraz za međusobno srednje-geometrijsko rastojanje daje:

Po analogiji, izraz za sopstveno srednje-geometrijsko rastojanje je:

Kada su provodnici svih faza isti (potpuno logična pretpostavka), onda je: $D_{11} = D_{22} = \cdots = D_{nn} = r_e$. Uz ovu pretpostavku za slučaj dva voda po fazi je:

gde je sa $r_{es}$ označen ekvivalentni poluprečnik snopa.

U opštem slučaju izraz za ekvivalentni poluprečnik snopa je:

Takođe, postoji i alternativni izraz koji se često koristi:

gde je $R$ poluprečnik kruga na kome su raspoređeni provodnici. U knjigama se mogu naći i drugi izrazi za ekvivalentni poluprečnik snopa, ali su prethodni najlakši za pamćenje.

Primena prvog izraza na nekoliko karakterističnih konfiguracija vodova u snopu daje:

$$n = 2 \Rightarrow r_{es} = \sqrt{r_eD_s}$$
$$n = 3 \Rightarrow r_{es} = \sqrt[3]{r_eD_s^2}$$
$$n = 4 \Rightarrow r_{es} = \sqrt[4]{\sqrt{2}r_eD_s^3}$$

Pogonska podužna induktivnost nadzemnog voda

Polazi se od nadzemnog voda jedinične dužine, koji je na jednom kraju kratko spojen i uzemljen, tako da provodnici sa zemljom čine strujnu petlju.

Zbog jedinične dužine jedinična podužna i ukupna induktivnost su jednake $l_s = L_s$.

Zemlja se može zameniti ekvivalentnim provodnikom sa dimenzijama faznog provodnika, na dubini $D_e$ vertikalno ispod faznih provodnika nadzemnog voda (obrazac Karsona):

gde je $\rho$ specifična otpornost zemljišta.

Dubina ekvivalentnog provodnika je puno veća od srednje-geometrijske visine provodnika:

tako da se može smatrati da su sopstvene induktivnosti petlji fazni provodnik-zemlja jednake:

Ovaj izraz važi čak i kod asimetričnog voda.

Ako je vod simetričan (transponovan), onda je:

pa je:

Ako se ima u vidu da je zbir struja u polifaznom sistemu nula, $\ph{I}_1 + \ph{I}_2 + \ph{I}_3 = 0$, onda je:

gde je $L_p = L_s - M$ ($L_p$ je pogonska induktivnost nadzemnog voda).

Međusobna induktivnost je:

Podužna induktivnost nadzemnog voda za asimetrične režime

Polazi se od već datog izraza:

Ako je, na primer, vektor napona nesimetričan, onda je celokupan režim nesimetričan.

Već je izvedena veza (u temi o simetričnim komponentama):

gde je Forteskjeova transformaciona matrica

Ako se već izvedeni izrazi primene, dobija se:

gde je:

Iz prethodnog izvođenja se vidi da dolazi do rasprezanja komponentnih sistema. To omogućava da se asimetričan režim izračunava pomoću tri monofazne zamenske šeme i simetričnih komponenti pobude.

Sada je:

ili:

Podužna kapacitivnost nadzemnih vodova

Trofazni vod približno se predstavlja kao sistem veoma dugačkih cilindričnih provodnika. Oni su elektrostatički spregnuti, te na kapacitivnost jednog provodnika utiču ostali.

Električno polje u okolini cilindričnog provodnika je radijalno, a intenzitet mu je:

U prethodnom izrazu je:

• $q$ – podužno naelektrisanje provodnika, u [C/km];
• $\varepsilon_0 = \dfrac{1}{36\pi} \cdot 10^{-9}\ \dfrac{\text{F}}{\text{m}} = \dfrac{1}{36\pi} \cdot 10^{-6}\ \dfrac{\text{F}}{\text{km}}$.

Potencijal tačke $A$ je:

To znači da je podužni kapacitet između površine provodnika i cilindrične površine koja sadrži tačku $A$:

Podužna kapacitivnost dvofaznog voda

Napon između dva provodnika je:

To znači da je dvofazni kapacitet dvofaznog voda:

Sistem od n provodnika

Opšti slučaj sistema od $n$ provodnika sa uticajem zemlje prikazan je na slici:

Potencijal tačke $M$ u sistemu od $n$ provodnika u odnosu na beskonačnost je:

U prethodnom izrazu usvojeno je da je potencijal tačke $M$ negativan u odnosu na beskonačnost. To je sasvim proizvoljno. Ovde je rađeno preko potencijala. Pošto je napon razlika potencijala, onda je u odnosu na beskonačnost to isto.

Ako se tačka $M$ preseli na površinu prvog provodnika, tada je:

odnosno:

U opštem slučaju može se napisati tzv. Prvi Maksvelov sistem jednačina:

gde su:

dok su elementi matrice $\boldsymbol{\alpha}$:

Izraz se može direktno primeniti na slučaj portalnog trofaznog voda sa dva zaštitna užeta:

Matrica potencijalnih koeficijenata $\alpha_{ij}$ je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Da bi se odredile pojedinačne kapacitivnosti faza trofaznog voda, potrebno je gornju jednačinu eksplicitno rešiti po $q_i$.

U opštem slučaju rešenje je dato Drugim Maksvelovim sistemom jednačina:

Ova inverzija, naravno, predstavlja veliku teškoću za ručni proračun. Zato se izbegava u praksi, jer malo doprinosi tačnosti proračuna. Primenjuje se sledeći uprošćeni proračun.

Posle izvršene inverzije rešenje je u opštem slučaju:

Vidi se da ostali elementi matrice $\beta$ nisu od značaja, pošto se ili množe sa nulom, ili služe za proračun kapacitivnosti zaštitnih užadi, što praktično nije od značaja.

Matrica $\beta$ u opštem slučaju ima sve elemente različite od nule, pa nije povoljna za primenu simetričnih komponenti.

Zbog toga se za trofazne vodove primenjuje jedan uprošćeni postupak sa srednjim vrednostima. Razlike u rezultatima između detaljnog i uprošćenog proračuna su reda nekoliko %, što je nivoa drugih neizvesnosti u proračunu.

Uprošćeni postupak proračuna podužne kapacitivnosti nadzemnih vodova

Jedna (prva) razvijena jednačina Drugog Maksvelovog sistema jednačina je:

ili posle pregrupisavanja članova:

Dakle, u opštem slučaju je Treći Maksvelov sistem jednačina:

Ovi izvedeni izrazi mogu se primeniti za slučaj trofaznog voda:

Ako se posmatra trenutak $t = 0$:

tako da je konačno:

Ako se u proračun uvedu srednje vrednosti, dobiće se:

odnosno:

• •Međusobni koeficijenti (van glavne dijagonale matrice):

• •Sopstveni koeficijenti (na glavnoj dijagonali matrice):

gde su:

• $D_{SG'} = \sqrt[3]{D_{12'}D_{13'}D_{23'}}$ – srednje geometrijsko rastojanje provodnika i njihovih likova;
• $D_{SG} = \sqrt[3]{D_{12}D_{13}D_{23}}$ – srednje geometrijsko rastojanje samih provodnika;
• $h_{SG} = \sqrt[3]{h_1h_2h_3}$ – srednje geometrijsko rastojanje provodnika od zemlje.

Sada se Prvi Maksvelov sistem jednačina može napisati kao:

Na ovaj način matrica $\alpha$ postaje simetrična.

Ako se reši $\beta = \alpha^{-1}$, onda se za koeficijente $C$ dobija:

Sada je:

Posle zamene koeficijenata $\alpha$ dobija se:

Često se može uzeti da je $D_{SG'} = \sqrt{4h_{SG}^2 + D_{SG}^2}$, pa je:

U prethodnom izrazu pretpostavljeno je da su provodnici izrađeni od punog preseka i jedne žice. Pošto to za visoko-naponske vodove nikada nije slučaj, potrebno je $r$ korigovati kao kod proračuna induktivnosti, ali sa potpuno drugim smislom.

Korekcija poluprečnika $r$ u slučaju korišćenja snopa provodnika daje ekvivalentni poluprečnik snopa provodnika u slučaju proračuna podužne kapacitivnosti voda:

ili:

To znači da je konačno izraz za podužnu kapacitivnost provodnika u snopu:

U slučaju da je $D_{SG}^2 \ll 4h_{SG}^2$, što je kod vodova viših naponskih nivoa ispunjeno, onda je:

Fazni provodnici zbog ugiba nisu strogo pravi i horizontalni.

Zato treba koristiti srednju visinu provodnika, kao na slici:

Na prethodnoj slici je $H_i$ visina tačke vešanja provodnika, a $f_{max}$ maksimalni ugib provodnika.

Polazeći od podužne pogonske kapacitivnosti, može se odrediti specifična otočna kapacitivna reaktansa, kao:

Ukupna kapacitivna odvodnost voda je: