Skip to content
Učionica

Predavanje 05

Zamenska šema voda sa skoncentrisanim parametrima

Predavanje prof. dr Andrije T. Sarića

Elementi i modeli elektroenergetskih sistema, TF Čačak

Da bi se proračun prenosnih i distributivnih mreža pojednostavio, vodovi se predstavljaju simetričnim π ili T šemama.

Češće se koristi π šema, jer T šema uvodi jedan novi čvor.

Kod šeme sa skoncentrisanim parametrima moguće je samo odrediti stanje na početku i na kraju voda, ali ne i stanje duž voda.

Zamenska šema sa skoncentrisanim parametrima je:

Simetrična π-šema voda: redna impedansa Z′ između dve otočne admitanse Y′/2, napon V1 i struja I1 na početku, napon V2 i struja I2 na kraju.

Veza između napona i struja na početku i kraju voda za ovu šemu je:

V‾1=V‾2(1+Z‾′Y‾′2)+Z‾′I‾2;I‾1=V‾2(Y‾′+Z‾′Y‾′24)+(1+Z‾′Y‾′2)I‾2.\begin{gathered} \ph{V}_1 = \ph{V}_2\left(1 + \frac{\ph{Z}'\ph{Y}'}{2}\right) + \ph{Z}'\ph{I}_2; \\ \ph{I}_1 = \ph{V}_2\left(\ph{Y}' + \frac{\ph{Z}'\ph{Y}'^2}{4}\right) + \left(1 + \frac{\ph{Z}'\ph{Y}'}{2}\right)\ph{I}_2. \end{gathered}

Ako se ovo uporedi sa napred izvedenim jednačinama telegrafičara:

V‾1=ch k‾L⋅V‾2+Z‾csh k‾L⋅I‾2;I‾1=sh k‾LZ‾c⋅V‾2+ch k‾L⋅I‾2,\begin{gathered} \ph{V}_1 = \mathrm{ch}\,\ph{k}L \cdot \ph{V}_2 + \ph{Z}_c\mathrm{sh}\,\ph{k}L \cdot \ph{I}_2; \\ \ph{I}_1 = \frac{\mathrm{sh}\,\ph{k}L}{\ph{Z}_c} \cdot \ph{V}_2 + \mathrm{ch}\,\ph{k}L \cdot \ph{I}_2, \end{gathered}

dobija se:

Z‾′=Z‾csh k‾L;\boxed{\ph{Z}' = \ph{Z}_c\mathrm{sh}\,\ph{k}L};
Y‾′2=ch k‾L−1Z‾csh k‾L.\boxed{\frac{\ph{Y}'}{2} = \frac{\mathrm{ch}\,\ph{k}L - 1}{\ph{Z}_c\mathrm{sh}\,\ph{k}L}}.

Sačinioci popravke vodova

Ako se uvede da je:

Z‾c=z‾Ly‾L=Z‾Y‾;k‾L=Lz‾ y‾=Z‾ Y‾.\begin{gathered} \ph{Z}_c = \sqrt{\frac{\ph{z}L}{\ph{y}L}} = \sqrt{\frac{\ph{Z}}{\ph{Y}}}; \\ \ph{k}L = L\sqrt{\ph{z}\,\ph{y}} = \sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}. \end{gathered}

Onda se dobija:

Z‾′=Z‾Y‾shZ‾ Y‾=Z‾shZ‾ Y‾Z‾ Y‾.\ph{Z}' = \sqrt{\frac{\ph{Z}}{\ph{Y}}}\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}} = \ph{Z}\frac{\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}.

To znači da važi sledeća jednakost:

Z‾′=Z‾shZ‾ Y‾Z‾ Y‾=k‾2Z‾.\boxed{\ph{Z}' = \ph{Z}\frac{\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}} = \ph{k}_2\ph{Z}}.

Iz jednačine za admitanse je:

Y‾′=2(ch k‾L−1)Z‾shZ‾ Y‾Z‾ Y‾=Y‾2(ch k‾L−1)Z‾ Y‾ shZ‾ Y‾=k‾1Y‾.\boxed{\ph{Y}' = \frac{2\left(\mathrm{ch}\,\ph{k}L - 1\right)}{\ph{Z}\dfrac{\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}} = \ph{Y}\frac{2\left(\mathrm{ch}\,\ph{k}L - 1\right)}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}\,\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}} = \ph{k}_1\ph{Y}}.

Kompleksni koeficijenti k‾1\ph{k}_1 i k‾2\ph{k}_2 nazivaju se Kennelly-jevi koeficijenti.

Kod vodova dužine do L=200 kmL = 200\ \text{km} prethodni koeficijenti se malo razlikuju od jedinice.

Ako se koeficijent k‾2\ph{k}_2 razvije u red dobija se:

k‾2=shZ‾ Y‾Z‾ Y‾≈1+Z‾ Y‾6.\boxed{\ph{k}_2 = \frac{\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}} \approx 1 + \frac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{6}}.

Takođe, posle razvoja koeficijenta k‾1\ph{k}_1 dobija se:

k‾1=2(ch k‾L−1)Z‾ Y‾ shZ‾ Y‾≈2(1+(Z‾ Y‾)22!+⋯−1)Z‾ Y‾(Z‾ Y‾+(Z‾ Y‾)33!+⋯ ),\ph{k}_1 = \frac{2\left(\mathrm{ch}\,\ph{k}L - 1\right)}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}\,\mathrm{sh}\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}} \approx \frac{2\left(1 + \dfrac{\left(\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}\right)^2}{2!} + \cdots - 1\right)}{\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}\left(\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}} + \dfrac{\left(\sqrt{\ph{Z}\,\ph{Y}}\right)^3}{3!} + \cdots\right)},

pa je:

k‾1=1+Z‾ Y‾121+Z‾ Y‾6=1+Z‾ Y‾12k‾2.\boxed{\ph{k}_1 = \frac{1 + \dfrac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{12}}{1 + \dfrac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{6}} = \frac{1 + \dfrac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{12}}{\ph{k}_2}}.

Dakle, može se zaključiti da su uprošćene vrednosti Kennelly-jevih koeficijenata:

k‾1=1+Z‾ Y‾12k‾2k‾2=1+Z‾ Y‾6.\boxed{\ph{k}_1 = \frac{1 + \dfrac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{12}}{\ph{k}_2}} \quad \boxed{\ph{k}_2 = 1 + \frac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{6}}.

Umesto Kennelly-jevih kompleksnih koeficijenata uvode se skalarni Rüdenberg-ovi koeficijenti popravke:

Z‾′=R′+jX′=Z‾(1+Z‾ Y‾6)=(R+jX)[1+(R+jX)(0+jB)6]Z‾′=R+jX+16(R2+j2RX−X2)jBZ‾′=R(1−13XB)⏟kR+jX(1−XB6(1−R2X2))⏟kX.\begin{gathered} \ph{Z}' = R' + \mathrm{j}X' = \ph{Z}\left(1 + \frac{\ph{Z}\,\ph{Y}}{6}\right) = \left(R + \mathrm{j}X\right)\left[1 + \frac{\left(R + \mathrm{j}X\right)\left(0 + \mathrm{j}B\right)}{6}\right] \\ \ph{Z}' = R + \mathrm{j}X + \frac{1}{6}\left(R^2 + \mathrm{j}2RX - X^2\right)\mathrm{j}B \\ \ph{Z}' = \underbrace{R\left(1 - \frac{1}{3}XB\right)}_{k_R} + \mathrm{j}\underbrace{X\left(1 - \frac{XB}{6}\left(1 - \frac{R^2}{X^2}\right)\right)}_{k_X}. \end{gathered}

Isto tako važi:

Y‾′=jB′=jBkB,\ph{Y}' = \mathrm{j}B' = \mathrm{j}Bk_B,

gde je kB=1+XB12k_B = 1 + \dfrac{XB}{12}.

Dakle, skalarni Rüdenberg-ovi koeficijenti popravke su:

kR=1−13XB;kX=1−XB6(1−R2X2);kB=1+XB12.\boxed{k_R = 1 - \frac{1}{3}XB}; \quad \boxed{k_X = 1 - \frac{XB}{6}\left(1 - \frac{R^2}{X^2}\right)}; \quad \boxed{k_B = 1 + \frac{XB}{12}}.

Na primer, poslednji koeficijent može se napisati i kao:

kB=1+XB12=1+xbL212=1+β2L212=1+λ212,k_B = 1 + \frac{XB}{12} = 1 + \frac{xbL^2}{12} = 1 + \frac{\beta^2L^2}{12} = 1 + \frac{\lambda^2}{12},

pa se skalarni Rüdenberg-ovi koeficijenti popravke mogu napisati i u obliku:

kR=1−λ23;kX=1−λ26(1−r2x2);kB=1+λ212.\boxed{k_R = 1 - \frac{\lambda^2}{3}}; \quad \boxed{k_X = 1 - \frac{\lambda^2}{6}\left(1 - \frac{r^2}{x^2}\right)}; \quad \boxed{k_B = 1 + \frac{\lambda^2}{12}}.

Ovi koeficijenti važe ako je vod kraći od reda 600 km (za duže vodove ne može se koristiti uprošćeni proračun).

Za vodove dužine od reda 150 do 200 km ove koeficijente nije neophodno ni uzimati u proračun.

Red veličina ovih koeficijenata dat je na slici:

Koeficijenti k_R, k_X i k_B u zavisnosti od dužine voda L u km: do 150 km sva tri su skoro jednaka 1; prema 600 km k_B raste iznad 1, a k_X i k_R padaju ispod 1, k_R najviše, oko 0,96.

Proračun voda sa π-šemom

Ponovo se polazi od prethodne šeme voda sa skoncentrisanim parametrima:

Ista π-šema voda: redna impedansa Z′ kroz koju teče struja I′2, otočne admitanse Y′/2, napon V1 i struja I1 na početku, napon V2 i struja I2 na kraju.

Modifikovani parametri voda na prethodnoj šemi uvažavajući skalarne Rüdenberg-ove koeficijente popravke:

Z‾′=kRR+jkXX=(kRr+jkXx)L;Y‾′=jωckBL.\begin{gathered} \ph{Z}' = k_RR + \mathrm{j}k_XX = \left(k_Rr + \mathrm{j}k_Xx\right)L; \\ \ph{Y}' = \mathrm{j}\omega ck_BL. \end{gathered}

Za prethodnu šemu je:

V‾1=V‾2+Z‾′I‾2′;I‾1=I‾2′+Y‾′2V‾1.\begin{gathered} \ph{V}_1 = \ph{V}_2 + \ph{Z}'\ph{I}_2'; \\ \ph{I}_1 = \ph{I}_2' + \frac{\ph{Y}'}{2}\ph{V}_1. \end{gathered}

Može se usvojiti da je napon V‾2\ph{V}_2 u referentnoj osi, odnosno V‾2=V2/0∘‾\ph{V}_2 = V_2\underline{/0^\circ}. Tada je vektorski dijagram napona:

Vektorski dijagram napona: V2 po realnoj osi, struja I′2 ispod nje sa aktivnom komponentom I′2a i reaktivnom I′2r, na vrh V2 nadovezan pad napona RI′2 paralelan struji i jX′I′2 upravan na nju, zajedno Z′I′2, do vrha napona V1, koji sa V2 zaklapa ugao θ1.

Sa prethodnog vektorskog dijagrama je:

Z‾′I‾2′=(R′+jX′)I‾2′=(R′+jX′)(I2a′−jI2r′);\ph{Z}'\ph{I}_2' = \left(R' + \mathrm{j}X'\right)\ph{I}_2' = \left(R' + \mathrm{j}X'\right)\left(I_{2a}' - \mathrm{j}I_{2r}'\right);
Z‾′I‾2′=R′I2a′+X′I2r′⏟ΔV2+jX′I2a′−R′I2r′⏟δV2,\ph{Z}'\ph{I}_2' = \underbrace{R'I_{2a}' + X'I_{2r}'}_{\Delta V_2} + \mathrm{j}\underbrace{X'I_{2a}' - R'I_{2r}'}_{\delta V_2},

gde su:

  • ΔV2\Delta V_2 – podužna komponenta pada napona;
  • δV2\delta V_2 – poprečna komponenta pada napona.

Sada je:

V‾1=V2+ΔV2+jδV2,\ph{V}_1 = V_2 + \Delta V_2 + \mathrm{j}\delta V_2,

odnosno:

V1=(V2+ΔV2)2+(δV2)2.\boxed{V_1 = \sqrt{\left(V_2 + \Delta V_2\right)^2 + \left(\delta V_2\right)^2}}.

Međutim, ovakav izraz dat preko struje nije povoljan za praktičnu primenu, pošto su uglavnom poznata merenja snage. Bolje ga je za analitička izračunavanja dati preko snaga:

V‾1=V2+Z‾′I‾2′=V2+(R′+jX′)S‾2′∗V2=V2+(R′+jX′)P2′−jQ2′V2,\ph{V}_1 = V_2 + \ph{Z}'\ph{I}_2' = V_2 + \left(R' + \mathrm{j}X'\right)\frac{\ph{S}_2'^*}{V_2} = V_2 + \left(R' + \mathrm{j}X'\right)\frac{P_2' - \mathrm{j}Q_2'}{V_2},

odnosno:

V‾1=V2+P2′R′+Q2′X′V2+jP2′X′−Q2′R′V2.\boxed{\ph{V}_1 = V_2 + \frac{P_2'R' + Q_2'X'}{V_2} + \mathrm{j}\frac{P_2'X' - Q_2'R'}{V_2}}.

Dakle, ovo je praktično izraz za pad napona na rednom elementu, dat preko toka snage kroz element:

Redni element impedanse Z′ = R′ + jX′ između napona V1 i V2, kroz koji ka kraju teče snaga P′2 + jQ′2.

Iz prethodnog važno je zapamtiti da je u opštem slučaju:

ΔV=PR+QXV;δV=PX−QRV.\boxed{\Delta V = \frac{PR + QX}{V}}; \quad \boxed{\delta V = \frac{PX - QR}{V}}.

Gornji izrazi važe za fazne veličine, odnosno monofazni ekvivalent. Ako bi se svi članovi pomnožili sa 3\sqrt{3}, odnosno 3/33/\sqrt{3}, dobija se:

3V‾1=3V2+3P2′R′+3Q2′X′3V2+j3P2′X′−3Q2′R′3V2.\sqrt{3}\ph{V}_1 = \sqrt{3}V_2 + \frac{3P_2'R' + 3Q_2'X'}{\sqrt{3}V_2} + \mathrm{j}\frac{3P_2'X' - 3Q_2'R'}{\sqrt{3}V_2}.

Za spregu u zvezdu je U‾1=3V‾1\ph{U}_1 = \sqrt{3}\ph{V}_1 (zadržava se isti fazni stav za linijske i fazne veličine, dok se samo linijski moduo napona dobija množenjem faznog modula napona sa 3\sqrt{3}), pa je gornji izraz dat preko linijskih napona i trofaznih snaga:

U‾1=U2+P2,3f′R′+Q2,3f′X′U2+jP2,3f′X′−Q2,3f′R′U2.\boxed{\ph{U}_1 = U_2 + \frac{P_{2,3\text{f}}'R' + Q_{2,3\text{f}}'X'}{U_2} + \mathrm{j}\frac{P_{2,3\text{f}}'X' - Q_{2,3\text{f}}'R'}{U_2}}.

Dakle, vrlo važno je zapamtiti da se u izrazu za pad napona na rednom elementu, ako se radi u sistemu stvarnih jedinica, trebaju uvrstiti:

  • Linijski naponi.
  • Trofazne snage.
  • Fazne impedanse.

Ovde će biti izvedena jedna složenija kombinacija: pretpostaviće se da je vod modelovan samo rednom impedansom bez sačinioca popravke, za koji je poznato V‾1=V1\ph{V}_1 = V_1, S‾2=P2+jQ2\ph{S}_2 = P_2 + \mathrm{j}Q_2, a traži se V‾2\ph{V}_2, što je ilustrovano na donjoj slici. Sa stanovišta prakse merenja kojima se raspolaže u distributivnoj mreži, ovo je vrlo realan slučaj.

Redni element impedanse Z = R + jX, poznat napon V1 na početku i snaga P2 + jQ2 na kraju, a traži se napon V2.

Sada je:

V1=V‾2+Z‾ I‾2.V_1 = \ph{V}_2 + \ph{Z}\,\ph{I}_2.

Ako se usvoji da je V‾2=a2+jb2\ph{V}_2 = a_2 + \mathrm{j}b_2, onda je:

V1−a2−jb2=Z‾S‾2∗V‾2∗=(R+jX)P2−jQ2a2−jb2.V_1 - a_2 - \mathrm{j}b_2 = \ph{Z}\frac{\ph{S}_2^*}{\ph{V}_2^*} = (R + \mathrm{j}X)\frac{P_2 - \mathrm{j}Q_2}{a_2 - \mathrm{j}b_2}.

Razdvajanjem imaginarnog i realnog dela prethodnog izraza dobija se:

b2=RQ2−XP2V1;V1a2−a22−b22−RP2−XQ2=0.\begin{gathered} b_2 = \frac{RQ_2 - XP_2}{V_1}; \\ V_1a_2 - a_2^2 - b_2^2 - RP_2 - XQ_2 = 0. \end{gathered}

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobija se izraz za napon na kraju elementa:

V‾2=a2+jb2=[V12±(V12)2−(RQ2−XP2V1)2−RP2−XQ2]+jRQ2−XP2V1.\boxed{\ph{V}_2 = a_2 + \mathrm{j}b_2 = \left[\frac{V_1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{V_1}{2}\right)^2 - \left(\frac{RQ_2 - XP_2}{V_1}\right)^2 - RP_2 - XQ_2}\right] + \mathrm{j}\frac{RQ_2 - XP_2}{V_1}}.

Dakle, ovo je izraz za napon na kraju elementa (voda), kada je poznat napon na početku elementa (voda) i opterećenje na kraju elementa (voda). Fizički prihvatljivo rešenje u prethodnom dvoznačnom izrazu je sa znakom +.

Gornji izraz je interesantan za analizu, pošto se vidi da sa porastom snage P2P_2 ili Q2Q_2 dolazi do situacije da je  <0\sqrt{\ } < 0, što znači fizički neprihvatljivo rešenje, jer je to realna komponenta pada napona.

Ovde postoje dva karakteristična slučaja:

1. Q2=0Q_2 = 0 (prenos čisto aktivne snage).

Iz uslova  =0\sqrt{\ } = 0, dobija se maksimalna aktivna snaga koja se može preneti vodom, ako se vodom ne prenosi reaktivna snaga:

P2max=V122(R+R2+X2).\boxed{P_{2max} = \frac{V_1^2}{2\left(R + \sqrt{R^2 + X^2}\right)}}.

2. P2=0P_2 = 0 (prenos čisto reaktivne snage).

Iz uslova  =0\sqrt{\ } = 0, dobija se maksimalna reaktivna snaga koja se može preneti vodom, ako se vodom ne prenosi aktivna snaga:

Q2max=V122(X+R2+X2).\boxed{Q_{2max} = \frac{V_1^2}{2\left(X + \sqrt{R^2 + X^2}\right)}}.

Domaći:

1. Poznati su napon V‾2=V2\ph{V}_2 = V_2 i snage P1+jQ1P_1 + \mathrm{j}Q_1, a treba odrediti V‾1\ph{V}_1.

Resˇenje: V‾1=[V22±(V22)2−(XP1−RQ1V2)2+RP1+XQ1]+jXP1−RQ1V2.\text{Rešenje: } \ph{V}_1 = \left[\frac{V_2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{V_2}{2}\right)^2 - \left(\frac{XP_1 - RQ_1}{V_2}\right)^2 + RP_1 + XQ_1}\right] + \mathrm{j}\frac{XP_1 - RQ_1}{V_2}.

2. Za idealizovani vod dat preko raspodeljenih parametara poznat je napon na početku voda V‾1=V1\ph{V}_1 = V_1 i snage na kraju voda P2+jQ2P_2 + \mathrm{j}Q_2, a treba odrediti V‾2\ph{V}_2.

Resˇenje: V‾2=[V12cos⁡λ±(V12cos⁡λ)2−(P2Zcsin⁡λV1)2−Q2Zc tgλ]−jP2Zcsin⁡λV1.\text{Rešenje: } \ph{V}_2 = \left[\frac{V_1}{2\cos\lambda} \pm \sqrt{\left(\frac{V_1}{2\cos\lambda}\right)^2 - \left(\frac{P_2Z_c\sin\lambda}{V_1}\right)^2 - Q_2Z_c\,\mathrm{tg}\lambda}\right] - \mathrm{j}\frac{P_2Z_c\sin\lambda}{V_1}.

3. Za idealizovani vod dat preko raspodeljenih parametara poznat je napon na kraju voda V‾2=V2\ph{V}_2 = V_2 i snage na početku voda P1+jQ1P_1 + \mathrm{j}Q_1, a treba odrediti V‾1\ph{V}_1.

Resˇenje: V‾1=[V22cos⁡λ±(V22cos⁡λ)2−(P1Zcsin⁡λV2)2−Q1Zc tgλ]+jP1Zcsin⁡λV2.\text{Rešenje: } \ph{V}_1 = \left[\frac{V_2}{2\cos\lambda} \pm \sqrt{\left(\frac{V_2}{2\cos\lambda}\right)^2 - \left(\frac{P_1Z_c\sin\lambda}{V_2}\right)^2 - Q_1Z_c\,\mathrm{tg}\lambda}\right] + \mathrm{j}\frac{P_1Z_c\sin\lambda}{V_2}.

4. Izračunati uslove za prenos maksimalne aktivne i reaktivne snage za slučajeve 1–3.

Svođenje struja, napona i impedansi na jedan naponski nivo

Prvo će biti pokazan način svođenja napona, struja i impedansi sa jednog na drugi naponski nivo primenom prenosnog odnosa transformatora.

Na slici je data jednostavna mreža sa dva voda i dva transformatora:

Jednostavna mreža: tačka A na 21 kV sa naponom V_A i strujom I_A, vod V1 do transformatora T1 (prenosni odnos m_n^T1, nominalni naponi V_sn^T1 i V_pn^T1), tačka C na 110 kV, vod V2 do transformatora T2 (m_n^T2, V_pn^T2 i V_sn^T2) i tačka B na 36,75 kV sa naponom V_B.

Neka su prenosni odnosi transformacije definisani tako da budu veći od 1, odnosno:

mnT1=VpnT1VsnT1;mnT2=VpnT2VsnT2.m_n^{T1} = \frac{V_{pn}^{T1}}{V_{sn}^{T1}}; \quad m_n^{T2} = \frac{V_{pn}^{T2}}{V_{sn}^{T2}}.

Zamenska šema prethodnog sistema je:

Zamenska šema: od tačke A π-šema prvog voda (Z1, dve otočne Y1/2), idealni transformator 1 : m^T1 i impedansa Z^T1 do tačke C, π-šema drugog voda (Z2, Y2/2), impedansa Z^T2 i idealni transformator m^T2 : 1 do tačke B sa strujom I_B i naponom V_B.

Parametri transformatora svedeni na primarnu stranu, u slučaju prethodne šeme su:

XT1=xT1(%)100⋅(VpnT1)2SnT1;RT1=PCunT1⋅(VpnT1)2(SnT1)2.XT2=xT2(%)100⋅(VpnT2)2SnT2;RT2=PCunT2⋅(VpnT2)2(SnT2)2.\begin{gathered} X^{T1} = \frac{x^{T1}(\%)}{100} \cdot \frac{\left(V_{pn}^{T1}\right)^2}{S_n^{T1}}; \quad R^{T1} = P_{Cun}^{T1} \cdot \frac{\left(V_{pn}^{T1}\right)^2}{\left(S_n^{T1}\right)^2}. \\ X^{T2} = \frac{x^{T2}(\%)}{100} \cdot \frac{\left(V_{pn}^{T2}\right)^2}{S_n^{T2}}; \quad R^{T2} = P_{Cun}^{T2} \cdot \frac{\left(V_{pn}^{T2}\right)^2}{\left(S_n^{T2}\right)^2}. \end{gathered}

Sve veličine mogu se svesti na jedan naponski nivo, eliminisanjem idealnih naponskih transformatora.

Zamenska šema posle svođenja na naponski nivo tačke BB je:

Zamenska šema svedena na naponski nivo tačke B: bez idealnih transformatora, sa veličinama Z1^B, Y1^B/2, Z^T1,B, Z2^B, Y2^B/2 i Z^T2,B, naponom V_A^B i strujom I_A^B na početku i V_B^B = V_B na kraju.

Odnos napona i struja sa sekundarne i primarne strane transformatora T1T1 je:

V‾AV‾AC=1mT1;I‾AI‾AC=mT11.\frac{\ph{V}_A}{\ph{V}_A^C} = \frac{1}{m^{T1}}; \quad \frac{\ph{I}_A}{\ph{I}_A^C} = \frac{m^{T1}}{1}.

Odnos napona i struja sa sekundarne i primarne strane transformatora T2T2 je:

V‾ACV‾AB=mT21;I‾ACI‾AB=1mT2.\frac{\ph{V}_A^C}{\ph{V}_A^B} = \frac{m^{T2}}{1}; \quad \frac{\ph{I}_A^C}{\ph{I}_A^B} = \frac{1}{m^{T2}}.

Sada je odnos:

V‾ABV‾A=mT11⋅1mT2, odnosno V‾AB=V‾AmT1mT2.\frac{\ph{V}_A^B}{\ph{V}_A} = \frac{m^{T1}}{1} \cdot \frac{1}{m^{T2}}, \text{ odnosno } \boxed{\ph{V}_A^B = \ph{V}_A\frac{m^{T1}}{m^{T2}}}.

Na sličan način je za struje:

I‾AB=I‾AmT2mT1.\boxed{\ph{I}_A^B = \ph{I}_A\frac{m^{T2}}{m^{T1}}}.

Svođenje impedansi daje:

Z‾1Z‾1C=1(mT1)2;Z‾1CZ‾1B=(mT2)21, odakle je Z‾1B=Z‾1(mT1)2(mT2)2.\frac{\ph{Z}_1}{\ph{Z}_1^C} = \frac{1}{\left(m^{T1}\right)^2}; \quad \frac{\ph{Z}_1^C}{\ph{Z}_1^B} = \frac{\left(m^{T2}\right)^2}{1}, \text{ odakle je } \boxed{\ph{Z}_1^B = \ph{Z}_1\frac{\left(m^{T1}\right)^2}{\left(m^{T2}\right)^2}}.

Svođenje admitansi daje:

Y‾1Y‾1C=(mT1)21;Y‾1CY‾1B=1(mT2)2, odakle je Y‾1B=Y‾1(mT2)2(mT1)2.\frac{\ph{Y}_1}{\ph{Y}_1^C} = \frac{\left(m^{T1}\right)^2}{1}; \quad \frac{\ph{Y}_1^C}{\ph{Y}_1^B} = \frac{1}{\left(m^{T2}\right)^2}, \text{ odakle je } \boxed{\ph{Y}_1^B = \ph{Y}_1\frac{\left(m^{T2}\right)^2}{\left(m^{T1}\right)^2}}.

Na sličan način je:

Z‾T1,B=Z‾T11(mT2)2;Z‾2B=Z‾21(mT2)2;Y‾2B=Y‾2(mT2)2.\boxed{\ph{Z}^{T1,B} = \ph{Z}^{T1}\frac{1}{\left(m^{T2}\right)^2}; \quad \ph{Z}_2^B = \ph{Z}_2\frac{1}{\left(m^{T2}\right)^2}; \quad \ph{Y}_2^B = \ph{Y}_2\left(m^{T2}\right)^2}.

Svođenje impedansi transformatora T2T2 daje:

Z‾T2,B=Z‾T21(mT2)2=(PCunT2⋅(VpnT2)2(SnT2)2+jxT2(%)100⋅(VpnT2)2SnT2)⋅(VsnT2)2(VpnT2)2.\ph{Z}^{T2,B} = \ph{Z}^{T2}\frac{1}{\left(m^{T2}\right)^2} = \left(P_{Cun}^{T2} \cdot \frac{\cancel{\left(V_{pn}^{T2}\right)^2}}{\left(S_n^{T2}\right)^2} + \mathrm{j}\frac{x^{T2}(\%)}{100} \cdot \frac{\cancel{\left(V_{pn}^{T2}\right)^2}}{S_n^{T2}}\right) \cdot \frac{\left(V_{sn}^{T2}\right)^2}{\cancel{\left(V_{pn}^{T2}\right)^2}}.

Proračun vodova i jednostavnih mreža metodom bilansa snaga

Na ovaj način mogu se proučavati samo jednostavne mreže. Iz prvog Kirhofovog zakona (suma struja u čvoru je nula, ∑I‾=0\sum\ph{I} = 0), sledi forma zakona data za snage:

∑U‾ I‾∗=0, odnosno ∑S‾=∑P+jQ=0.\sum\ph{U}\,\ph{I}^* = 0, \text{ odnosno } \sum\ph{S} = \sum P + \mathrm{j}Q = 0.

Prethodna kompleksna jednačina se može napisati u formi dve realne:

∑P=0;∑Q=0,\boxed{\sum P = 0}; \quad \boxed{\sum Q = 0},

odnosno: Suma aktivnih i reaktivnih snaga koje ulaze/izlaze u čvor je nula.

Gubici u nekom elementu impedanse Z‾=R+jX\ph{Z} = R + \mathrm{j}X su:

Aktivne snage:ΔP=RI2=RP2+Q2V2.Reaktivne snage:ΔQ=XI2=XP2+Q2V2.\begin{aligned} &\text{Aktivne snage:} && \Delta P = RI^2 = R\frac{P^2 + Q^2}{V^2}. \\ &\text{Reaktivne snage:} && \Delta Q = XI^2 = X\frac{P^2 + Q^2}{V^2}. \end{aligned}

U slučaju trofazne mreže je:

ΔP3f=RP3f2+Q3f2U2;ΔQ3f=XP3f2+Q3f2U2.\boxed{\Delta P_{3\text{f}} = R\frac{P_{3\text{f}}^2 + Q_{3\text{f}}^2}{U^2}}; \quad \boxed{\Delta Q_{3\text{f}} = X\frac{P_{3\text{f}}^2 + Q_{3\text{f}}^2}{U^2}}.

Metodom bilansa snaga biće prikazana na primeru samo jednog voda.

Vod u π-šemi za metod bilansa snaga: redna grana R i jX, sa gubicima ΔP_R i ΔQ_X, između dve otočne grane G/2 i jB/2, sa gubicima ΔP1, ΔQ1 na početku i ΔP2, ΔQ2 na kraju; snage P1, Q1 na početku, P″, Q″ i P′, Q′ sa leve i desne strane redne grane i P2, Q2 na kraju, gde je napon V2 = V2.

Poznate veličine su P2P_2, Q2Q_2 i V2V_2, pri čemu su snage trofazne, a naponi linijski.

Stepen korisnog dejstva voda i gubici su:

η=P2P1;ΔPg=P1−P2P1.\boxed{\eta = \frac{P_2}{P_1}}; \quad \boxed{\Delta P_g = \frac{P_1 - P_2}{P_1}}.

Gubici u desnoj otočnoj grani su:

ΔP2=G2U22;−ΔQ2=−B2U22.\Delta P_2 = \frac{G}{2}U_2^2; \quad -\Delta Q_2 = -\frac{B}{2}U_2^2.

Snaga koja teče sa desne strane redne impedanse R+jXR + \mathrm{j}X je:

P′=P2+ΔP2;Q′=Q2−ΔQ2.P' = P_2 + \Delta P_2; \quad Q' = Q_2 - \Delta Q_2.

Gubici snage u rednoj impedansi su:

ΔPR=RP′2+Q′2U22=R(P2+ΔP2)2+(Q2−ΔQ2)2U22;ΔQX=XP′2+Q′2U22=X(P2+ΔP2)2+(Q2−ΔQ2)2U22.\begin{gathered} \Delta P_R = R\frac{P'^2 + Q'^2}{U_2^2} = R\frac{\left(P_2 + \Delta P_2\right)^2 + \left(Q_2 - \Delta Q_2\right)^2}{U_2^2}; \\ \Delta Q_X = X\frac{P'^2 + Q'^2}{U_2^2} = X\frac{\left(P_2 + \Delta P_2\right)^2 + \left(Q_2 - \Delta Q_2\right)^2}{U_2^2}. \end{gathered}

Sada su snage sa leve strane redne impedanse R+jXR + \mathrm{j}X:

P′′=P′+ΔPR;Q′′=Q′+ΔQX.P'' = P' + \Delta P_R; \quad Q'' = Q' + \Delta Q_X.

Znajući snage koje teku kroz redni element R+jXR + \mathrm{j}X može se izračunati napon na početku voda kao:

U‾1=U2+P′R+Q′XU2+jP′X−Q′RU2.\ph{U}_1 = U_2 + \frac{P'R + Q'X}{U_2} + \mathrm{j}\frac{P'X - Q'R}{U_2}.

Kada se zna napon na početku voda, mogu se izračunati gubici u levoj otočnoj grani kao:

ΔP1=G2U12;−ΔQ1=−B2U12.\Delta P_1 = \frac{G}{2}U_1^2; \quad -\Delta Q_1 = -\frac{B}{2}U_1^2.

Ovi gubici se razlikuju od onih u desnoj grani, zbog razlike u naponima na koje su otočni elementi priključeni.

Sada su snage na početku voda:

P1=P′′+ΔP1=P2+ΔP2+ΔPR+ΔP1;ΔPg=ΔP2+ΔPR+ΔP1.Q1=Q′′−ΔQ1=Q2−ΔQ2+ΔQX−ΔQ1;ΔQg=−ΔQ2+ΔQX−ΔQ1.\begin{gathered} P_1 = P'' + \Delta P_1 = P_2 + \Delta P_2 + \Delta P_R + \Delta P_1; \quad \Delta P_g = \Delta P_2 + \Delta P_R + \Delta P_1. \\ Q_1 = Q'' - \Delta Q_1 = Q_2 - \Delta Q_2 + \Delta Q_X - \Delta Q_1; \quad \Delta Q_g = -\Delta Q_2 + \Delta Q_X - \Delta Q_1. \end{gathered}

U slučaju kada je ΔQX>ΔQ2+ΔQ1\Delta Q_X > \Delta Q_2 + \Delta Q_1, onda vod troši reaktivnu snagu, a u suprotnom je generiše.

Vodovi su po pravilu izvor reaktivne snage. Ovo se posebno odnosi na vodove visokih naponskih nivoa i sve kablovske vodove.

Primera radi, vod 400 kV generiše približno 50 MVAr/100 km.

Za vazdušne vodove ≤ 35 kV zanemaruje se generisanje reaktivne snage, dok je kod kablovskih vodova ono značajno.

Teme

Vodovi i kablovi · Relativne jedinice i svođenje veličina · Regulacija napona

Predavanje u PDF-u, na Drive-u (otvara se u novom tabu)

Folder predmeta Elementi i modeli elektroenergetskih sistemaNa Drive-u: Predavanja