Topološko-matrična metoda, zvezda radijalnih grana: rešen zadatak

Zadatak

Primena matrične metode pri proračunu kratkih spojeva

Za slučaj kvara u šemi iz prethodnog zadatka primenom topološko – matrične metode odrediti:

1. Ekvivalentna impedansa kvara za mrežu za sva tri redosleda,
2. Impedanse ekvivalentne zvezde radijalnih grana,
3. Približni vremenski tok struje u granama mreže (naizmenične komponente).

Vodovi: $l_{AB} = 150$ km, $l_{AC} = 100$ km, $l_{BC} = 100$ km, $\ph{z}_v = (0{,}1 + \mathrm{j}0{,}4)$ Ω/km, $x^0 = 3 \cdot x_v$.

Poznato

• $S_{nG1} = S_{nG3} = 200$MVA
• $x_{d1}'' = x_1^i = 0{,}12$r.j.
• $x_{d1}' = 0{,}18$r.j.
• $x_{d1} = 1{,}6$r.j.
• $x_1^0 = 0{,}05$r.j.
• $T_{d1}'' = 0{,}03$s
• $T_{d01}' = 10$s
• $T_{a1} = 0{,}15$s
• $S_{nT1} = S_{nT3} = 200$MVA
• $x_{T1} = 0{,}12$r.j.
• $r_{T1}/x_{T1} = 0{,}05$
• $S_{nG2} = 500$MVA
• $x_{d2}'' = x_2^i = 0{,}1$r.j.
• $x_{d2}' = 0{,}15$r.j.
• $x_{d2} = 1{,}2$r.j.
• $x_2^0 = 0{,}03$r.j.
• $T_{d2}'' = 0{,}02$s
• $T_{d02}' = 8$s
• $T_{a2} = 0{,}1$s
• $S_{nT2} = 500$MVA
• $x_{T2} = 0{,}1$r.j.
• $r_{T2}/x_{T2} = 0{,}05$
• $l_{AB} = 150$km
• $l_{AC} = 100$km
• $l_{BC} = 100$km
• $r_v = 0{,}1$Ω/km
• $x_v = 0{,}4$Ω/km
• $x^0/x_v = 3$

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Kvar je jednopolni kratak spoj u čvoru C mreže iz zadatka 3, sa istim podacima i istim usvojenim pretpostavkama, rešen simetričnim komponentama (mreža 220 kV, prazan hod sa $E = 1$ r.j., otpornosti zanemarene, reaktanse u r.j. na $S_B = 100$ MVA). Topološko-matrična metoda iz predavanja o nesimetričnim stanjima polazi od jednačine injektiranja $\ph{\boldsymbol{I}} = \ph{\boldsymbol{Y}}_{BUS} \ph{\boldsymbol{V}}$. Čvorovi se dele na karakteristične ($p$) i nekarakteristične ($q$, bez injektiranja), a nekarakteristični se eliminišu:

Šta je karakterističan čvor, a šta referentni, zavisi od toga šta se traži: mesto kvara za impedanse kvara, tačke iza generatora za zvezdu radijalnih grana.

a) Impedanse koje se vide sa mesta kvara

Mesto kvara C je jedini karakteristični čvor, a zajednička tačka elektromotornih sila (zemlja) referentni. Tada $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$ ima jedan element, a njegova recipročna vrednost je impedansa mreže viđena iz C. Matrice admitansi su one iz zadatka 3: u direktnom redosledu generatorske grane $x_d'' + x_T$, $x_d' + x_T$, odnosno $x_d + x_T$ prema zemlji, u inverznom iste kao u suptranzijentnom periodu, a u nultom samo $x_T$ uzemljenih zvezdišta i vodovi sa $X^0 = 3X$. Za suptranzijentni period, na primer, $Y_p = -\mathrm{j}25{,}62$ r.j., pa je:

Ekvivalentna impedansa kvara, kojom se uticaj inverznog i nultog redosleda unosi u šemu direktnog, kod jednopolnog kratkog spoja je:

b) Ekvivalentna zvezda radijalnih grana

Svaka generatorska grana deli se na deo $\mathrm{j}(X - x_d'')$ uz elektromotornu silu i deo $\mathrm{j}x_d''$ do mreže; tačka između njih je $\mathrm{M}_i$. Desno od tačaka M je pasivna mreža, ista za sve periode: $x_d'' + x_T$ do čvorova A, B i C, vodovi i, iz čvora C, impedansa kvara $\ph{Z}_{(k)}$ do fiktivne tačke B iza nje, koja je referentni čvor. Karakteristični čvorovi su $\mathrm{M}_1$, $\mathrm{M}_2$ i $\mathrm{M}_3$, a A, B i C se eliminišu:

Admitanse radijalnih grana, od svake tačke M do tačke B, dobijaju se kao $\ph{\boldsymbol{Y}}_B = \ph{\boldsymbol{Y}}_p [\boldsymbol{1}]$, gde je $[\boldsymbol{1}]$ kolona jedinica, to jest kao zbirovi vrsta matrice $\ph{\boldsymbol{Y}}_p$. Admitanse između tačaka M se zanemaruju: u suptranzijentnom periodu sve tačke M su na istom potencijalu $E$ i kroz njih struja ne teče.

Provera: zbir admitansi zvezde je 8,674 r.j., što je tačno $1/(X^{d''} + X_{(k)})$ iz tačke a), pa radijalne grane u suptranzijentnom periodu daju struju kvara bez greške. Najkraću radijalnu granu ima G2, najjači generator, vezan na čvor B dvostrukim vodom: kraću i od G3, koji je u samom čvoru C.

c) Približni vremenski tok struja u granama

Svaka radijalna grana je sada jedan generator koji preko svoje spoljne reaktanse $X_{e,i} = X_{Bi} - x_{d,i}''$ napaja kvar, pa se na nju primenjuju formule za radijalnu granu. U tranzijentnom i ustaljenom periodu na red dolazi još $x_d' - x_d''$, odnosno $x_d - x_d''$:

gde je $T_{d0}'' = T_d'' x_d'/x_d''$ (0,045 s za G1 i G3, 0,03 s za G2), a $T_{d0}'$ dato. Naizmenična komponenta struje u grani $i$ (direktni redosled) je:

Struje u vodovima dobijaju se iz struja radijalnih grana matricom raspodele iz predavanja, računatom jednom, za pasivnu mrežu:

Kako su sve impedanse reaktanse, elementi matrice $\ph{\boldsymbol{C}}$ su realni brojevi, udeli struje svake grane generatora u struji voda (smer od prvog slova ka drugom). Generator G3 je u čvoru C, pa njegova struja ide pravo u kvar i ni u jednom vodu nema udela:

Struja voda A–B je mala i teče od B ka A, pa je u tabeli negativna: deo struje G2 ide preko čvora A i voda A–C.

Struja kvara je zbir struja radijalnih grana, puta tri: $I_{k1}(t) \approx 3\left[ I_1(t) + I_2(t) + I_3(t) \right]$. Efektivne vrednosti naizmeničnih komponenti, u kA na strani od 220 kV:

Poređenje sa tačnim vrednostima iz zadatka 3 pokazuje koliko je približenje dobro. U suptranzijentnom periodu radijalne grane daju tačno $I_{k1}'' = 26{,}02$ r.j. U tranzijentnom periodu zbir je 24,62 r.j. prema tačnih 24,63 r.j. (greška 0,05 %), a u ustaljenom 11,53 r.j. prema 11,7 r.j. (1,48 %): u tim periodima tačke M više nisu na istom potencijalu, pa zanemarene grane između njih unose malu grešku, kako i predavanje kaže. Zato se metoda koristi tamo gde je potreban vremenski tok u granama, za izbor prekidača i strujnih transformatora. Inverzne i nulte komponente struja u granama raspodeljuju se po svojim šemama na isti način; kod jednopolnog kratkog spoja one su u mestu kvara jednake direktnoj, pa prate njen vremenski tok.