Tropolni kratak spoj na krajevima generatora: rešen zadatak

Zadatak

Primena matrične metode pri proračunu kratkih spojeva

Na slici je prikazan prenosni sistem sa svim podacima potrebnim za proračun. Potrebno je izračunati

1. Vremenski tok struje tropolnog kratkog spoja za kvar na krajevima generatora $\mathrm{K}_1$, i to:

• 1° prema potpunom izrazu,
• 2° prema praktičnoj formuli,
• 3° prema uprošćenoj praktičnoj formuli,

b) Vremenski tok struje tropolnog kratkog spoja za kvar na mestu $\mathrm{K}_2$.

Poznato

• $S_{nG} = 100$MVA
• $U_{nG} = 15{,}75$kV
• $x_d = 1{,}2$r.j.
• $x_d' = 0{,}3$r.j.
• $x_d'' = 0{,}2$r.j.
• $x_q = 0{,}75$r.j.
• $x_q'' = 0{,}24$r.j.
• $T_d'' = 0{,}04$s
• $T_d' = 1$s
• $T_a = 0{,}15$s
• $S_{nT} = 100$MVA
• $U_{n1}^T = 15{,}75$kV
• $U_{n2}^T = 231$kV
• $x_T = 0{,}1$r.j.
• $r_T / x_T = 0{,}05$
• $l_{12} = 200$km
• $r_v = 0{,}08$Ω/km
• $x_v = 0{,}4$Ω/km

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Traži se kako se u vremenu menja struja tropolnog kratkog spoja, prvo na krajevima generatora ($\mathrm{K}_1$), a zatim na kraju voda ($\mathrm{K}_2$). Tropolni kratak spoj je simetričan, pa se računa po jednoj fazi. Struja koju sinhroni generator daje u kvar ima tri dela: naizmeničnu komponentu, koja opada od suptranzijentne preko tranzijentne do ustaljene vrednosti jer reaktansa generatora raste od $x_d''$ preko $x_d'$ do $x_d$, jednosmernu (aperiodičnu) komponentu, koja se prigušuje sa $T_a$, i, kod mašine kojoj $x_d''$ i $x_q''$ nisu jednaki, mali član dvostruke učestanosti. Za mrežu iza sabirnice 2 podaci nisu dati, pa računamo struju koju u kvar daje generator.

Pre kvara generator je u praznom hodu, na nazivnom naponu, pa su sve tri njegove elektromotorne sile jednake naponu: $E'' = E' = E = 1$ r.j. Reaktansa $x_q$ zato nije potrebna: ona bi ušla u proračun tek preko elektromotorne sile opterećenog generatora.

Bazne veličine

Uzimamo $S_B = 100$ MVA, a za bazne napone nazivne napone transformatora, 15,75 kV na strani generatora i 231 kV na strani voda. Podaci generatora i transformatora dati su na snazi od 100 MVA, pa ih ne treba preračunavati. Bazne struje su:

Karakteristične vrednosti naizmenične komponente za kvar K1

Efektivne vrednosti naizmenične komponente u suptranzijentnom, tranzijentnom i ustaljenom periodu su:

1° Potpuni izraz

Za generator u praznom hodu, sa uglom $\alpha$ koji određuje trenutak nastanka kvara (fazni stav napona faze R u tom trenutku), struja faze R je:

Prvi red je naizmenična komponenta, drugi jednosmerna, a treći član dvostruke učestanosti, koji postoji zato što rotor nije isti u d i q osi. U trenutku $t = 0$ zbir sva tri je nula, kako i mora biti, jer struja kroz induktivnost ne može skokom da se promeni. Sa brojevima ($\omega = 314{,}2$ rad/s):

Jednosmerna komponenta je najveća za $\alpha = 90^\circ$, kada kvar nastane u prolasku napona faze R kroz maksimum. Tada je struja posle pola periode najveća, a najveća vrednost, udarna struja, iznosi $i_p = 13{,}13$ r.j. $= 48{,}15$ kA, u $t = 9{,}891$ ms.

2° Praktična formula

Praktična formula iz predavanja o kratkim spojevima u distributivnim mrežama zanemaruje razliku $x_d''$ i $x_q''$: jednosmernu komponentu računa sa $I_k''$, a član dvostruke učestanosti izostavlja. Ukupna struja je zbir dve komponente, $i_k(t) = i_{AC}(t) + i_{DC}(t)$:

Za $\alpha = 90^\circ$ udarna struja je $i_p = 13{,}14$ r.j. $= 48{,}15$ kA: od potpunog izraza se razlikuje tek u četvrtoj cifri. Jednosmerna komponenta potpunog izraza je manja ($4{,}583$ umesto $5$), ali je posle pola periode član dvostruke učestanosti dodaje skoro tačno nazad, jer je $\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{x_d''} + \tfrac{1}{x_q''}\big) + \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{x_d''} - \tfrac{1}{x_q''}\big) = \tfrac{1}{x_d''}$. Zato je praktična formula dovoljna za udarnu struju.

3° Uprošćena praktična formula

Uprošćena formula iz predavanja o nesimetričnim stanjima daje samo efektivnu vrednost naizmenične komponente, anvelopu struje bez jednosmerne komponente:

Na primer, posle 0,1 s, kada se otvaraju kontakti brzog prekidača, $I_{AC} = 3{,}232$ r.j. $= 11{,}85$ kA. Suptranzijentni deo je tada već skoro nestao ($T_d'' = 0{,}04$ s), a tranzijentni traje još nekoliko sekundi.

b) Kvar na mestu K2

Između generatora i mesta kvara sada su transformator i vod. Njihove impedanse na baznom naponu 231 kV, gde je $Z_B = U_B^2/S_B = 533{,}6$ Ω:

Spoljna reaktansa $X_e$ dodaje se reaktansi generatora u svakom periodu (otpornosti se u naizmeničnoj komponenti zanemaruju):

To su struje na strani od 231 kV; na strani generatora je $I_k'' = 8{,}147$ kA. Menjaju se i vremenske konstante. Date $T_d'$ i $T_d''$ važe za kratak spoj na krajevima generatora, pa se iz njih prvo nalaze vremenske konstante praznog hoda, koje su svojstvo mašine:

a sa spoljnom reaktansom:

Jednosmerna komponenta se prigušuje sa odnosom reaktanse i otpornosti kola. Na krajevima generatora $T_a = x_i/(\omega r_a)$, gde je $x_i = (x_d'' + x_q'')/2 = 0{,}22$ r.j. inverzna reaktansa, pa je otpornost statora $r_a = x_i/(\omega T_a) = 0{,}004669$ r.j. Iza transformatora i voda:

Po praktičnoj formuli, za kvar na mestu K2:

Suptranzijentna struja je više nego dvostruko manja nego na krajevima generatora, tranzijentni deo traje duže, a jednosmerna komponenta, zbog otpornosti voda, nestaje četiri puta brže. Udarna struja ($\alpha = 90^\circ$) je $i_p = 5{,}448$ r.j. $= 1{,}362$ kA, $1{,}733$ puta temena vrednost $\sqrt{2}\, I_k''$.

Vremenski tok u brojevima

Efektivna vrednost naizmenične komponente $I_{AC}$ za oba kvara i najveća moguća jednosmerna komponenta ($\alpha = 90^\circ$) za kvar K1: