Predavanje 05 i 10

Energetsko-eksploatacione karakteristike prenosnih mreža i formula gubitaka

Predavanje prof. dr Andrije T. Sarića

Eksploatacija elektroenergetskih sistema, FTN

Energetsko-eksploatacione karakteristike prenosnih mreža

Elementi prenosnih mreža

Povezuju izvorne i potrošačke čvorove. Prenose velike snage na velika rastojanja. Zato se koriste visoki naponi.

U topološkom smislu prenosne mreže su petljaste.

Izbor topologije je vrlo bitan. Postoji jako puno drugih problema:

Određivanje tehničkih karakteristika vodova i transformatora.
Izbor tipova i osnovnih šema transformatorskih stanica i razvodnih postrojenja.
Proračun troškova elemenata.
Proračun gubitaka energije.
Izbor ostalih elemenata.

Troškovi prenosnih elemenata

Postoje investicioni i eksploatacioni (pogonski) troškovi.

Investicioni se izračunavaju kao:

\begin{gathered} C_I = c_sL; \\ C_I^g = c_I^gc_sL, \end{gathered}

gde su:

$L$ – dužina voda;
$c_s$ – specifični troškovi izgradnje dalekovoda (stubovi, provodnici, izolatori, zemljovodna užad, pribor za vešanje provodnika ...).

Kod transformatorskih stanica struktura troškova je drugačija: troškovi zemljišta, objekata, transformatora, rasklopne opreme, mernih transformatora, zaštite i automatike.

Proračun gubitaka u elementima EES-a

Gubici koji zavise od opterećenja (gubici u bakru mašina i transformatora i gubici usled opterećenja vodova).
Gubici koji ne zavise od opterećenja, već dominantno od napona (gubici u gvožđu mašina i transformatora, gubici korone i dielektrički gubici).

Promenljivi gubici aktivne i reaktivne snage su:

\begin{gathered} \Delta P_g = R_\ell\frac{P_p^2 + Q_p^2}{U_2^2} \approx \frac{R_\ell}{U_n^2}S_p^2; \\ \Delta Q_g = X_\ell\frac{P_p^2 + Q_p^2}{U_2^2} \approx \frac{X_\ell}{U_n^2}S_p^2. \end{gathered}

Međutim, važni su gubici energije koji su promenljivi u vremenu:

\begin{gathered} \Delta W_g = \int_0^T \Delta P_g(t)\,\mathrm{d}t; \\ \Delta W_g = \int_0^T R_\ell\frac{P_p^2(t) + Q_p^2(t)}{U_n^2}\,\mathrm{d}t = \frac{R_\ell}{U_n^2}\int_0^T P_p^2(t)\left[1 + \mathrm{tg}^2\varphi(t)\right]\mathrm{d}t. \end{gathered}

Ako se usvoji da je faktor snage konstantan, što je vrlo realno, onda je:

\Delta W_g = K\int_0^T P_p^2(t)\,\mathrm{d}t, \ \text{gde je}\ K = \frac{R_\ell}{U_n^2}\left[1 + \mathrm{tg}^2\varphi\right].

Ovaj integral se često rešava kao zbir suma.

Ako se podsetimo ranije definisanog vremena iskorišćenja maksimalne snage:

T_M = \frac{\displaystyle\int_0^T S_p(t)\,\mathrm{d}t}{S_{pM}} \approx \frac{\displaystyle\int_0^T P_p(t)\,\mathrm{d}t}{P_{pM}},

može se slično definisati i ekvivalentno vreme trajanja gubitaka pri maksimalnom opterećenju kao:

\tau_g = \frac{\displaystyle\int_0^T S_p^2(t)\,\mathrm{d}t}{S_{pM}^2} \approx \frac{\displaystyle\int_0^T P_p^2(t)\,\mathrm{d}t}{P_{pM}^2},

koje se grafički može prikazati kao:

Kriva trajanja opterećenja S_p u relativnim jedinicama, od 1 do kraja godine T_M^g = 8760: pravougaonik visine 1 do T_M ima istu površinu kao površina ispod krive.

Kriva kvadrata opterećenja S_p², ispod krive S_p (tačkasto), od 1 do T_M^g = 8760: pravougaonik visine 1 do τ_g ima istu površinu kao površina ispod krive S_p².

Sada se gubici energije mogu izračunati kao:

\Delta W_g = \frac{R_\ell}{U_n^2}S_{pM}^2\tau_g = \Delta P_{gM}\tau_g.

Očigledno je da je $\tau_g$ zavisno od $T_M$ , odnosno oba pokazatelja zavise od oblika dijagrama opterećenja. Često se u literaturi nalazi ovakva njihova zavisnost:

\tau_g = 0{,}17T_M + 0{,}83\frac{T_M^2}{T^g}.

Proračun konstantnih gubitaka energije

Ako se pretpostavi da je $\Delta P_g = \text{Const.}$ , onda su gubici energije:

\Delta W_g = \Delta P_gT.

Ukupni gubici u transformatoru su:

\Delta W_g = \Delta P_{CuM}\tau_g + \Delta P_{Fe}T = \Delta P_{Cun}\left(\frac{S_{TM}}{S_{Tn}}\right)^2\tau_g + \Delta P_{Fen}T.

U eksploataciji se gubici najčešće aproksimiraju kvadratnim funkcijama (B-koeficijentima ili George-ovom formulom).

Gubitke u složenim mrežama je dosta teško izračunati. Kombinacija svega napred izloženog. Najtačniji način je proračunom tokova snaga, ali je to teško primeniti pošto se zahteva kompletan skup ulaznih podataka o dijagramima opterećenja čvorova.

Formula gubitaka

Jedan od važnih problema u ekonomskom dispečingu je kako u proračun uključiti gubitke, odnosno kako proračunati formulu gubitaka. U realnim sistemima oni se uglavnom ne mogu zanemariti, pošto su važan faktor u ukupnoj ekonomiji sistema.

Najbolje bi bilo da se koriste jednačine tokova snaga (aktivnih i reaktivnih), sa poznatim modelom prenosne mreže. Međutim, kod ekonomskog dispečinga zanemaruje se efekat reaktivnih snaga, tako da se gubici izražavaju samo u funkciji aktivnih snaga.

Najčešće se to radi preko formule gubitaka, odnosno metoda B-koeficijenata. Ona se može napisati u formi kvadratne jednačine (Kron-ova formula):

P_L = P_{L0} + \boldsymbol{B_1}^{\mathrm{T}}\Delta\boldsymbol{P_g} + \Delta\boldsymbol{P_g}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B_2}\Delta\boldsymbol{P_g};

gde su:

$P_{L0} = B_0$ – konstantan član (skalar);
$\Delta\boldsymbol{P_g}$ , $\boldsymbol{B_1}$ – M-dimenzioni vektori;
$\boldsymbol{B_2}$ – $(N_{PV} \times N_{PV})$ -dimenziona matrica, gde je $N_{PV}$ broj generatorskih čvorova (isključuje referentno-balansni (SL) čvor).

Izvođenje prethodne formule

Injektirane snage su:

\ph{S}_i = P_i + \mathrm{j}Q_i = \ph{V}_i\ph{I}_i^*,

dok su gubici:

\begin{aligned} P_L + \mathrm{j}Q_L &= \sum_{i=1}^N \ph{V}_i\ph{I}_i^* = \ph{\boldsymbol{V}}_{BUS}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^* \\ &= \left[\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}\right]^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^* = \ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{Z}}_{BUS}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^*. \end{aligned}

U razvijenoj formi prethodni izraz je:

P_L + \mathrm{j}Q_L = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N \ph{I}_i\ph{Z}_{ij}\ph{I}_j^*.

Pošto je matrica impedansi simetrična, onda je $R_{ij} = R_{ji}$ , pa je:

P_L = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N \ph{I}_iR_{ij}\ph{I}_j^*, \ \text{odnosno}\ \ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{BUS}\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS}^*.

Ako se definiše ukupno opterećenje u sistemu kao zbir pojedinačnih struja opterećenja:

\ph{I}_{p1} + \ph{I}_{p2} + \cdots + \ph{I}_{pN_{PQ}} = \ph{I}_p,

gde je $N_{PQ}$ ukupan broj potrošačkih čvorova, onda je udeo svakog od opterećenja u ukupnom:

\ph{\ell}_k = \frac{\ph{I}_{pk}}{\ph{I}_p}.

Za referentno-balansni (SL) čvor važi sledeća jednačina:

\ph{V}_{SL} = \ph{Z}_{SL,1}\ph{I}_1 + \ph{Z}_{SL,2}\ph{I}_2 + \cdots + \ph{Z}_{SL,N}\ph{I}_N.

Ova jednačina za referentno-balansni (SL) čvor se može napisati i kao:

\begin{gathered} \ph{V}_{SL} = \sum_{i=1}^{N_{PV}}\ph{Z}_{SL,i}\ph{I}_{gi} + \ph{I}_p\sum_{k=1}^{N_{PQ}}\ph{Z}_{SL,k}\ph{\ell}_k; \\ \ph{V}_{SL} = \sum_{i=1}^{N_{PV}}\ph{Z}_{SL,i}\ph{I}_{gi} + \ph{I}_p\ph{T}; \quad \ph{T} = \sum_{k=1}^{N_{PQ}}\ph{Z}_{SL,k}\ph{\ell}_k. \end{gathered}

Ako se za referentno-balansni (SL) čvor definiše:

\ph{V}_{SL} = -\ph{Z}_{SL,SL}\ph{I}_{SL}

i ovo zameni u prethodnu jednačinu, koja se reši po $\ph{I}_p$ , dobije se:

\ph{I}_p = -\frac{1}{\ph{T}}\sum_{i=1}^{N_{PV}}\ph{Z}_{SL,i}\ph{I}_{gi} - \frac{1}{\ph{T}}\ph{Z}_{SL,SL}\ph{I}_{SL}.

Onda su struje opterećenja pojedinih potrošačkih čvorova:

\ph{I}_{pk} = \ph{\ell}_k\ph{I}_p = -\frac{\ph{\ell}_k}{\ph{T}}\sum_{i=1}^{N_{PV}}\ph{Z}_{SL,i}\ph{I}_{gi} - \frac{\ph{\ell}_k}{\ph{T}}\ph{Z}_{SL,SL}\ph{I}_{SL},

odnosno:

\ph{I}_{pk} = \ph{\rho}_k\sum_{i=1}^{N_{PV}}\ph{Z}_{SL,i}\ph{I}_{gi} + \ph{\rho}_k\ph{Z}_{SL,SL}\ph{I}_{SL}.

Ova jednačina se može napisati u sledećoj formi:

\begin{bmatrix} \ph{I}_{g1} \\ \vdots \\ \ph{I}_{gN_{PV}} \\ \ph{I}_{p1} \\ \vdots \\ \ph{I}_{pN_{PQ}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \ph{\rho}_1\ph{Z}_{11} & \ph{\rho}_1\ph{Z}_{12} & \cdots & \ph{\rho}_1\ph{Z}_{1M} & \ph{\rho}_1\ph{Z}_{SL,SL} \\ \ph{\rho}_2\ph{Z}_{11} & \ph{\rho}_2\ph{Z}_{12} & \cdots & \ph{\rho}_2\ph{Z}_{1M} & \ph{\rho}_2\ph{Z}_{SL,SL} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \\ \ph{\rho}_M\ph{Z}_{11} & \ph{\rho}_M\ph{Z}_{12} & \cdots & \ph{\rho}_M\ph{Z}_{1M} & \ph{\rho}_M\ph{Z}_{SL,SL} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ph{I}_{g1} \\ \vdots \\ \ph{I}_{gN_{PV}} \\ \ph{I}_{SL} \end{bmatrix}.

Prethodna jednačina se može napisati u kompaktnoj formi:

\ph{\boldsymbol{I}}_{BUS} = \ph{\boldsymbol{C}}\ph{\boldsymbol{I}}_{novo}.

To znači da su sada gubici aktivne snage:

P_L = \left[\ph{\boldsymbol{C}}\ph{\boldsymbol{I}}_{novo}\right]^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{BUS}\ph{\boldsymbol{C}}^*\ph{\boldsymbol{I}}_{novo}^*.

Kompleksno opterećenje generatora može se pisati kao:

\ph{I}_{gi} = \frac{\ph{S}_{gi}^*}{\ph{V}_i^*} = \frac{P_{gi} - \mathrm{j}Q_{gi}}{\ph{V}_i^*} = \frac{1 - \mathrm{j}\dfrac{Q_{gi}}{P_{gi}}}{\ph{V}_i^*}P_{gi} = \ph{\psi}_iP_{gi}.

To znači da se struje injektiranja mogu pisati kao:

\begin{bmatrix} \ph{I}_{g1} \\ \vdots \\ \ph{I}_{gN_{PV}} \\ \ph{I}_{SL} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ph{\psi}_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \ph{\psi}_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ph{\psi}_{N_{PV}} & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \ph{I}_{SL} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_{g1} \\ P_{g2} \\ \vdots \\ P_{gN_{PV}} \\ 1 \end{bmatrix},

ili:

\ph{\boldsymbol{I}}_{novo} = \ph{\boldsymbol{\psi}}\boldsymbol{P_{ge}}.

Sada su gubici aktivne snage:

\begin{aligned} P_L &= \left[\ph{\boldsymbol{\psi}}\boldsymbol{P_{ge}}\right]^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{BUS}\ph{\boldsymbol{C}}^*\ph{\boldsymbol{\psi}}^*\boldsymbol{P_{ge}} \\ &= \boldsymbol{P_{ge}}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{\psi}}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{BUS}\ph{\boldsymbol{C}}^*\ph{\boldsymbol{\psi}}^*\boldsymbol{P_{ge}} \\ &= \boldsymbol{P_{ge}}^{\mathrm{T}}\ph{\Re}\boldsymbol{P_{ge}}. \end{aligned}

U prethodnom izrazu $\ph{\Re} = \ph{\boldsymbol{\psi}}^{\mathrm{T}}\ph{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{R}_{BUS}\ph{\boldsymbol{C}}^*\ph{\boldsymbol{\psi}}^*$ je Hermitijan matrica. Ako se iz nje izdvoji realni deo, dobija se:

\mathrm{Real}(\ph{\Re}) = \frac{\ph{\Re} + \ph{\Re}^*}{2} = \left[\begin{array}{cccc|c} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1N_{PV}} & B_{01}/2 \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2N_{PV}} & B_{02}/2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ B_{N_{PV}1} & B_{N_{PV}2} & \cdots & B_{N_{PV}N_{PV}} & B_{0N_{PV}}/2 \\ \hline B_{01}/2 & B_{02}/2 & \cdots & B_{0N_{PV}}/2 & B_{00} \end{array}\right].

Konačno, gubici aktivne snage mogu se napisati u formi:

\begin{aligned} P_L = {} & \begin{bmatrix} P_{g1} & P_{g2} & \cdots & P_{gN_{PV}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1N_{PV}} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2N_{PV}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{N_{PV}1} & B_{N_{PV}2} & \cdots & B_{N_{PV}N_{PV}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_{g1} \\ P_{g2} \\ \vdots \\ P_{gN_{PV}} \end{bmatrix} \\ & + \begin{bmatrix} P_{g1} & P_{g2} & \cdots & P_{gN_{PV}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{01}/2 \\ B_{02}/2 \\ \vdots \\ B_{0N_{PV}}/2 \end{bmatrix} + B_{00}, \end{aligned}

ili u prethodno datoj matričnoj formi:

P_L = P_{L0} + \boldsymbol{B_1}^{\mathrm{T}}\Delta\boldsymbol{P_g} + \Delta\boldsymbol{P_g}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B_2}\Delta\boldsymbol{P_g}.

Egzaktan način proračuna penalizacionih faktora gubitaka korišćenjem referentnog čvora

Prethodni proračun gubitaka primenom B-koeficijenata i kvadratne formule pretpostavlja da su sve struje opterećenja normalizovane (predstavljaju neki relativni deo) u odnosu na ukupno opterećenje i da je ekvivalentno (ukupno) opterećenje jednako negativnoj sumi svih generisanja. Međutim, ova pretpostavka može da pravi određene probleme u modelu priraštaja (inkremenata).

Priraštaj gubitaka je promena gubitaka aktivne snage kada postoji neki priraštaj generatorske snage. Primera radi, priraštaj gubitaka za i-ti čvor pretpostavlja da snage svih ostalih generatora ostaju konstantne. Međutim, sa originalnom pretpostavkom tvrdi se da sve struje opterećenja stoje u nekom odnosu jedna prema drugoj i prema ukupnom opterećenju i da su uvek uravnotežene sa generisanjem.

Drugačije rečeno, ako postoji priraštaj u generisanju on bi morao biti uravnotežen sa priraštajem u potrošnji, što nije slučaj.

Zato postoji i alternativni pristup koji pretpostavlja postojanje referentnog čvora (po pravilu to je referentno-balansni (SL) čvor), čija se snaga uvek pomera, kada dođe do priraštaja snage generisanja.

Promena u snazi i-te generatorske jedinice je:

P_{gi}^{novo} = P_{gi}^{staro} + \Delta P_{gi}

Za konstantnu ukupnu potrošnju, gornja pretpostavka menja injektiranje u referentno-balansnom (SL) čvoru kao:

P_{gSL}^{novo} = P_{gSL}^{staro} + \Delta P_{gSL}

gde je $\Delta P_{gSL} = -\Delta P_{gi} + \Delta P_L$ .

Faktor inkrementa (priraštaja) je:

\begin{gathered} \beta_i = \frac{-\Delta P_{gSL}}{\Delta P_{gi}} \ \text{ili}\ \beta_i = \frac{\Delta P_{gi} - \Delta P_L}{\Delta P_{gi}} = 1 - \frac{\partial P_L}{\partial P_{gi}}, \\ \beta_i = \frac{1}{(FP)_i^{SL}}. \end{gathered}

Ekonomski dispečing može se definisati kao:

Svi generatori učestvuju u ekonomskom dispečingu kada mala promena $\Delta P$ u MW nekog generatora u odnosu na onaj u referentnom čvoru ne dovodi do promene ukupne proizvodne snage sistema.

Za konstantne ukupne troškove proizvodnje u sistemu $\sum_{i=1}^M C_{Ri}(P_{gi})$ promena troškova za priraštaj generisanja $\Delta P_g$ ( $\Delta P_{cost}$ ) je:

\begin{gathered} \Delta P_{cost} = \frac{\mathrm{d}C_{Ri}(P_{gi})}{\mathrm{d}P_{gi}}\Delta P_{gi} + \frac{\mathrm{d}C_{RSL}(P_{gSL})}{\mathrm{d}P_{gSL}}\Delta P_{gSL} \\ \text{i} \quad \Delta P_{gSL} = -\beta_i\Delta P_{gi}. \end{gathered}

Tada je:

\Delta P_{cost} = \frac{\mathrm{d}C_{Ri}(P_{gi})}{\mathrm{d}P_{gi}}\Delta P_{gi} - \beta_i\frac{\mathrm{d}C_{RSL}(P_{gSL})}{\mathrm{d}P_{gSL}}\Delta P_{gi}.

Za optimalan ekonomski dispečing važi:

\Delta P_{cost} = 0, \ \text{ili}\ \frac{\mathrm{d}C_{Ri}(P_{gi})}{\mathrm{d}P_{gi}} = \beta_i\frac{\mathrm{d}C_{RSL}(P_{gSL})}{\mathrm{d}P_{gSL}}.

Gornja jednačina može se napisati i kao:

\frac{1}{\beta_i}\frac{\mathrm{d}C_{Ri}(P_{gi})}{\mathrm{d}P_{gi}} = \frac{\mathrm{d}C_{RSL}(P_{gSL})}{\mathrm{d}P_{gSL}}.

Osnovna pretpostavka primenjene metodologije je da su priraštaji generatorske snage tokom iterativnog procesa dovoljno mali, tako da rešenje uvek ostaje u oblasti dozvoljenih rešenja (feasible region).

Razvoj jednačine troškova u Taylor-ov red i zanemarivanje viših članova daje:

\Delta F_T = \frac{\partial F_1(P_{g1})}{\partial P_{g1}}\Delta P_{g1} + \ldots + \frac{\partial F_N(P_{gN})}{\partial P_{gN}}\Delta P_{gN}.

Za male perturbacije oko inicijalne radne tačke sledi:

\sum_{i=1}^N \Delta P_{gi} = 0, \ \text{ili}\ \Delta P_{gSL} = -\sum_{i \ne SL}\Delta P_{gi}.

Tada je:

\Delta F_T = \sum_{i \ne SL}\left[\frac{\partial F_i(P_{gi})}{\partial P_{gi}} - \frac{\partial F_{SL}(P_{gSL})}{\partial P_{gSL}}\right]\Delta P_{gi} = \sum_{i \ne SL}\frac{\partial F_T(P_{gi})}{\partial P_{gi}}\Delta P_{gi}.

Ovaj metod radi na principu da se minimum funkcije $F_T$ može naći u nizu koraka koji uvek vode u pravcu smanjivanja vrednosti funkcije cilja. Iz neke radne tačke model izračunava pravac najbržeg opadanja funkcije cilja.

Teme

Gubici · Ekonomski dispečing

Predavanje u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Eksploatacija elektroenergetskih sistemaNa Drive-u: Predavanja · Slajdovi · Statička sigurnost - MATLAB program · Pitanja za usmeni ispit