Analiza EES, FTN: pitanja za usmeni sa odgovorima

1. Grafička predstava i analitička forma Newton-Raphson-ovog metoda za rešavanje jedne nelinearne jednačine sa jednom nepoznatom veličinom.

Metod rešava jednačinu $f(x) = 0$ tako što funkciju u tekućoj aproksimaciji $x^h$ zameni tangentom. Na grafiku: iz tačke $(x^h, f(x^h))$ povuče se tangenta na krivu, a njen presek sa osom $x$ je nova aproksimacija $x^{h+1}$. Iz nje se postupak ponavlja i preseci se približavaju rešenju.

Analitički, funkcija se razvije u Tejlorov red oko $x^h$, uzmu se prva dva člana, a tako dobijena linearna jednačina reši po korekciji $\Delta x^h = x - x^h$:

Postupak se završava kada je $|f(x^h)|$ dovoljno malo i kada je korekcija $|\Delta x^h|$ dovoljno mala. Brzina zavisi od početne aproksimacije, a u blizini rešenja konvergencija je kvadratna. Isti metod za sistem jednačina, sa jakobijanom umesto izvoda, je u predavanju Newton-Raphson-ov metod.

2. Fundamentalne osobine matrice admitansi.

Matrica admitansi kola bez sprega i idealnih transformatora ima tri fundamentalne osobine:

1. Generiše se jednostavno, inspekcijom kola. Dijagonalni element $\ph{Y}_{kk}$ je zbir admitansi svih grana priključenih u čvor $k$, a vandijagonalni $\ph{Y}_{ki} = -\ph{y}_{ki}$ je negativna admitansa grane između čvorova $k$ i $i$.
2. Simetrična je, $\ph{Y}_{ki} = \ph{Y}_{ik}$, jer grana između dva čvora ima istu admitansu u oba smera. Kola sa elementima koji narušavaju simetriju, a to su idealni transformatori sa kompleksnim odnosom, svode se na ovakva primenom relativnih vrednosti i relativnih uglova.
3. Retka je. Element van dijagonale postoji samo tamo gde grana stvarno povezuje dva čvora, a u EES je čvor povezan sa malo drugih, pa je najveći deo elemenata nula. Zato se računa tehnikom retkih matrica. Inverzna matrica, matrica impedansi, je puna.

Formiranje iz grafa mreže je u predavanju Matrica admitansi, a na brojevima u zadatku Matrica admitansi sa regulacionim transformatorima.

3. Smisao domena simetričnih komponenti i sistema relativnih vrednosti. Napomena 1: Uz metod simetričnih komponenti dvo(tro)žičnog voda za potrebe definicije induktivne sprege – induktivnog uticaja faze a na fazu b (Lab ⇒ Zab) skicirati situaciju. Napomena 2: Domen relativnih vrednosti prikazati na primeru EES sa L naponskih nivoa.

Simetrične komponente. U faznom domenu su faze spregnute: pad napona u fazi a zavisi i od struje faze b. Struja faze a stvara fluks koji obuhvata i konturu faze b, a to je međusobna induktivnost $L_{ab}$, koja se u kompleksnom domenu piše kao impedansa $\ph{Z}_{ab} = \mathrm{j}\omega L_{ab}$:

Smisao transformacije je da se ove sprege uklone. Kod uravnoteženih elemenata, sa istom sopstvenom impedansom $\ph{Z}_s$ i istom međusobnom $\ph{Z}_m$, matrica impedansi je u domenu simetričnih komponenti dijagonalna: za trofazni vod $\ph{Z}^d = \ph{Z}^i = \ph{Z}_s - \ph{Z}_m$ i $\ph{Z}^0 = \ph{Z}_s + 2\ph{Z}_m$. Trofazno kolo se tako raspada na tri nespregnuta jednofazna pogonska kola, direktnog, inverznog i nultog redosleda, a kod simetričnog režima dovoljno je samo kolo direktnog redosleda. Nesimetrija, kao kratak spoj, spreže kola samo na jednom mestu. Vidi predavanje Primena simetričnih komponenata.

Relativne vrednosti. U EES sa $L$ naponskih nivoa fizičke veličine jako se razlikuju po nivoima, a nivoe razdvajaju idealni transformatori. Bira se jedna bazna snaga $S_B$ za ceo sistem i po jedan bazni napon $U_{Bl}$ za svaki nivo, $l = 1, \dots, L$. Oni određuju baze ostalih veličina na tom nivou:

Ako su bazni naponi nivoa u odnosu nominalnih napona transformatora, idealni transformatori iz modela nestaju, pa ceo EES postaje kolo bez njih, kao da ima jedan naponski nivo. Vrednosti u r.j. su reda jedinice, pa se odmah vidi da li su napon ili struja u očekivanim granicama. Vidi Normalizacija veličina i zadatak Zamenska šema u relativnim jedinicama.

4. Klasičan model tokova snaga.

Model opisuje ustaljen simetričan režim EES sa $n$ čvorova preko jednofaznog pogonskog kola, u relativnim vrednostima, pomoću bilansa snaga u čvorovima. Čvorovi su tri tipa: jedan balansni, sa zadatim modulom i uglom napona, $p$ čvorova tipa PV, sa zadatom aktivnom snagom i modulom napona, i $n - 1 - p$ čvorova tipa PQ, sa zadatom aktivnom i reaktivnom snagom.

Trivijalni deo modela je $2 + p$ jednačina koje samo zadaju poznate veličine: $\theta_1 = \theta_1^{spec}$, $U_1 = U_1^{spec}$ i $U_k = U_k^{spec}$ za PV čvorove. Dominantni deo je $2n - 2 - p$ nelinearnih jednačina: bilans aktivnih snaga svih čvorova osim balansnog i bilans reaktivnih snaga svih čvorova tipa PQ:

gde su $G_{ki} + \mathrm{j}B_{ki}$ elementi matrice admitansi. Nepoznat je vektor $\boldsymbol{X}$ sa isto toliko komponenti: uglovi svih čvorova osim balansnog i moduli napona čvorova tipa PQ. Sistem se rešava Newton-Raphson-ovim metodom. Posle toga se rekonstruiše ceo režim: snage balansnog čvora, reaktivne snage PV čvorova, tokovi po granama i gubici. Vidi predavanje Model tokova snaga i zadatak Newton-Raphson, tri čvora.

5. Jedan kratak spoj (jednofazni, dvofazni, dvofazni sa zemljom, trofazni, trofazni sa zemljom). Napomena: Osam slika počevši sa EES pre kratkog spoja, pa sve sa tri pogonska kola trofaznog Δ-kola.

Osam slika prati put od sistema pre kvara do tri pogonska kola. Redom:

1. EES pre kratkog spoja, u simetričnom prostoperiodičnom režimu, sa trofaznim čvorom $k$ u kome se kvar simulira.
2. Isti EES, sa čvorom $k$ izvučenim bezimpedantnim linijama do čvorova a′, b′ i c′. Struje u tim linijama su nula.
3. EES sa kratkim spojem: na a′, b′ i c′ priključena je topološka struktura kratkog spoja, sa impedansom na mestu kvara ili bez nje.
4. Prva dekompozicija: režim se rastavlja na jednosmeran i naizmeničan režim, a dalje se računa naizmeničan.
5. U bezimpedantne linije insertuju se parovi idealnih naponskih generatora istih elektromotornih sila, a suprotnih znakova, jednakih faznim naponima čvora k pre kvara. Oni zajedno sa strukturom kratkog spoja čine ansambl kratkog spoja. Režim se time ne menja.
6. Druga dekompozicija, po superpoziciji: prvo kolo sa generatorima usmerenim od zemlje ka kolu, čiji je režim baš poznat režim pre kratkog spoja, i Δ kolo sa generatorima usmerenim ka zemlji.
7. Trofazno Δ kolo samo: pasivno svuda osim na mestu kvara, a treća dekompozicija ga deli na suptranzitnu, tranzitnu i ustaljenu sekvencu.
8. Četvrta dekompozicija: tri pogonska kola Δ kola, direktnog, inverznog i nultog redosleda, raspregnuta svuda osim u čvoru k, a tamo povezana onako kako određuje vrsta kvara.

Struje se računaju iz tih kola. Neka je $\ph{U}_k$ fazni napon čvora $k$ pre kvara, $\ph{Z}^d$, $\ph{Z}^i$ i $\ph{Z}^0$ impedanse pogonskih kola viđene iz čvora $k$, a kvar bez impedanse:

Sabiranjem sa režimom pre kvara dobija se režim sa kratkim spojem. Izvođenja su u predavanjima Jednofazni kratak spoj, Dvofazni kratak spoj, Dvofazni zemljospoj i Trofazni kratak spoj, a rešen primer je Jednopolni kratak spoj iza tronamotajnog transformatora.

6. Pogonska kola trofaznog transformatora (npr. Ynd7).

Transformator je uravnotežen, pa u domenu simetričnih komponenti ima tri raspregnuta pogonska kola. Kolo direktnog redosleda je impedansa $\ph{Z}_T$ na red sa idealnim transformatorom, čiji kompleksni odnos sadrži pomak faze sprege: za sprežni broj 7 napon niženaponske strane kasni za $7\cdot 30^\circ = 210^\circ$. Kolo inverznog redosleda ima istu impedansu, a pomak je suprotnog znaka. Grana magnećenja se obično zanemaruje, jer je struja magnećenja mala.

Kolo nultog redosleda je topološki drugačije. Nulta struja strane $\mathrm{Y_n}$ teče kroz uzemljeno zvezdište, a indukovana struja kruži u trouglu. Tako je sa strane čvora 1 impedansa $\ph{Z}_T$ prema zemlji, uz $3\ph{Z}_n$ na red ako je zvezdište uzemljeno preko impedanse $\ph{Z}_n$. Trougao nema izvod za nultu struju, pa je čvor 2 otvoren: nulta struja ne prolazi kroz transformator u mrežu strane d.

Impedanse redosleda za transformatore i ostale elemente su u predavanju Impedanse nultog redosleda, a transformatori sa zvezdištima u složenoj mreži u zadatku Jednopolni kratak spoj iza tronamotajnog transformatora.