Skip to content
Učionica

I kolokvijum, računski deo, Zadatak 1

Bolcmanova raspodela, koncentracija na visini h: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 14. maja 2023. Rešenje: Miloš Sarić

Fizika (E1), FTN Novi Sad

Zadatak

Koliko će iznositi odnos koncentracija molekula ugljen-dioksida (MCO2=44M_{CO_2} = 44 g/mol) i virusa na visini h=100h = 100 m na temperaturi T=300T = 300 K, ukoliko je ustanovljeno da su im koncentracije na površini zemlje jednake? Koliko iznose termičke brzine molekula CO2CO_2 i virusa? Masa jednog virusa je μ=10−21\mu = 10^{-21} kg. Vrednosti konstanti su: g=9,81 m/s2g = 9{,}81\ \text{m/s}^2, R=8,314R = 8{,}314 J/mol·K i kB=1,38⋅10−23k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23} J/K.

hnCO2virusn(0)
Koncentracija u zavisnosti od visine, za iste koncentracije na površini

Poznato

  • MCO2=44M_{CO_2} = 44g/mol
  • h=100h = 100m
  • T=300T = 300K
  • μ=1\mu = 1· 10⁻²¹ kg
  • g=9,81g = 9{,}81m/s²
  • R=8,314R = 8{,}314J/mol·K
  • kB=1,38k_B = 1{,}38· 10⁻²³ J/K

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Čestice u gravitacionom polju raspoređene su po visini po Bolcmanovoj raspodeli, koju daje kinetička teorija gasova: što je čestica teža, to joj koncentracija brže opada sa visinom. Zato se raspodela piše za obe vrste čestica i deli jedna drugom, a termičke brzine slede iz temperature.

Bolcmanova raspodela za obe vrste čestica

n(h)=n(0) e−μghkBTn(h) = n(0)\, e^{-\frac{\mu g h}{k_B T}}

Za gas je zgodnije računati sa molarnom masom, jer je μkB=MR\dfrac{\mu}{k_B} = \dfrac{M}{R}. Za virus je data masa čestice, pa ostaje Bolcmanova konstanta:

nCO2(h)=nCO2(0) e−MCO2ghRTnvir(h)=nvir(0) e−μghkBT\begin{aligned} n_{CO_2}(h) &= n_{CO_2}(0)\, e^{-\frac{M_{CO_2} g h}{R T}} \\ n_{vir}(h) &= n_{vir}(0)\, e^{-\frac{\mu g h}{k_B T}} \end{aligned}

Eksponenti

MCO2ghRT=44⋅10−3⋅9,81⋅1008,314⋅300=0,01731μghkBT=10−21⋅9,81⋅1001,38⋅10−23⋅300=237,0\begin{aligned} \frac{M_{CO_2} g h}{R T} &= \frac{44 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 \cdot 100}{8{,}314 \cdot 300} \\ &= 0{,}01731 \\ \frac{\mu g h}{k_B T} &= \frac{10^{-21} \cdot 9{,}81 \cdot 100}{1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} \\ &= 237{,}0 \end{aligned}

Odnos koncentracija

Na površini su koncentracije jednake, nCO2(0)=nvir(0)n_{CO_2}(0) = n_{vir}(0), pa se u odnosu skraćuju:

nCO2(h)nvir(h)=e−0,01731e−237,0=e237\frac{n_{CO_2}(h)}{n_{vir}(h)} = \frac{e^{-0{,}01731}}{e^{-237{,}0}} = e^{237}

To je broj reda veličine 1010310^{103}: na visini od 100 m koncentracija molekula CO2CO_2 je gotovo ista kao na površini (98,3 % nje), a koncentracija virusa je zanemarljiva.

Termičke brzine

vTCO2=3RTMCO2=3⋅8,314⋅30044⋅10−3=412,4 m/svTvir=3kBTμ=3⋅1,38⋅10−23⋅30010−21=3,52 m/s\begin{aligned} v_T^{CO_2} &= \sqrt{\frac{3RT}{M_{CO_2}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{44 \cdot 10^{-3}}} \\ &= 412{,}4\ \text{m/s} \\ v_T^{vir} &= \sqrt{\frac{3 k_B T}{\mu}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{10^{-21}}} \\ &= 3{,}52\ \text{m/s} \end{aligned}

Rezultat

Odnos koncentracija na visini 100 m: nCO2/nvir=e237n_{CO_2}/n_{vir} = e^{237}.

Termičke brzine: vTCO2=412,4v_T^{CO_2} = 412{,}4 m/s i vTvir=3,52v_T^{vir} = 3{,}52 m/s.

Slični zadaci

Teme

Termodinamika i kinetička teorija gasova

Ispit u PDF-u, na Drive-u (otvara se u novom tabu)

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.