Ispit 13, Zadatak 1

Jakobijan u prvoj iteraciji, sinhroni kompenzator: rešen zadatak

Zadatak sa ispita iz predmeta Analiza elektroenergetskih sistema (AEES), FTN Novi Sad. Rešenje: Miloš Sarić

Analiza elektroenergetskih sistema (AEES), FTN Novi Sad

Zadatak

Na slici 1 dat je elektroenergetski sistem (EES) sa tri čvora u stacionarnom simetričnom režimu. Podaci o elementima dati su ispod slike 1. Elektrana priključena u čvor 1, koju čine generator G i blok-transformator T1, ima dovoljan kapacitet da se pokrije bilo kakav zahtev za potrošnjom. Elektrana održava konstantan moduo napona čvora 1 na 400 kV. Sinhroni kompenzator, priključen u čvor 3, održava konstantan moduo napona čvora 3 na 31,5 kV. Kompleksna snaga potrošnje, priključena u čvoru 2, nezavisna je od napona i iznosi 150 MW i 50 MVAr.

Postaviti problem ustaljenog stacionarnog režima razmatranog EES u zadatim uslovima, formulisati matematički model tokova snaga, pripremiti ga za rešavanje primenom Newton-Raphson-ovog iterativnog postupka i izračunati elemente matrice Jakobijana u prvoj iteraciji.

Podaci o tronamotajnom transformatoru:

	$V_{n1}/V_{n2}/V_{n3}$	$u_{k12}/u_{k13}/u_{k23}$	$S_{n12}/S_{n13}/S_{n23}$
T2	400/115/31,5 kV/kV/kV	12,38/14,49/9,82 %/%/%	300/300/100 MVA/MVA/MVA

Slika 1 – Elektroenergetski sistem

Poznato

$V_{n1} = 400$ kV
$V_{n2} = 115$ kV
$V_{n3} = 31{,}5$ kV
$u_{k12} = 12{,}38$ %
$u_{k13} = 14{,}49$ %
$u_{k23} = 9{,}82$ %
$S_{n12} = 300$ MVA
$S_{n13} = 300$ MVA
$S_{n23} = 100$ MVA
$P = 150$ MW
$Q = 50$ MVAr

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Traži se postavka tokova snaga i Jakobijan u prvoj iteraciji. Tronamotajni transformator se predstavlja ekvivalentnom zvezdom, čija je sredina još jedan čvor, bez injektiranja. Blok-transformator i generator stoje iza čvora 1, koji se drži na zadatom naponu, pa u model ne ulaze. Sinhroni kompenzator drži napon i ne proizvodi aktivnu snagu, pa je čvor 3 PV sa $P_3 = 0$ .

Ekvivalentna zvezda transformatora T2

Bazni naponi su nominalni naponi T2, 400, 115 i 31,5 kV, pa nema fiktivnih odnosa, a elektrana i kompenzator drže $V_1 = V_3 = 1$ r.j. Sa $S_B = 100$ MVA:

\begin{aligned} x_{12} &= \frac{12{,}38}{100} \cdot \frac{100}{300} = 0{,}04127\ \rj \\ x_{13} &= \frac{14{,}49}{100} \cdot \frac{100}{300} = 0{,}04830\ \rj \\ x_{23} &= \frac{9{,}82}{100} \cdot \frac{100}{100} = 0{,}09820\ \rj \end{aligned}

\begin{aligned} x_1 &= \tfrac{1}{2} \left( x_{12} + x_{13} - x_{23} \right) = -0{,}00432\ \rj \\ x_2 &= \tfrac{1}{2} \left( x_{12} + x_{23} - x_{13} \right) = 0{,}04558\ \rj \\ x_3 &= \tfrac{1}{2} \left( x_{13} + x_{23} - x_{12} \right) = 0{,}05262\ \rj \end{aligned}

Negativna reaktansa jedne grane zvezde je samo računska posledica transformacije i često se javlja kod tronamotajnih transformatora.

Matrica admitansi

Čvor 4 je sredina zvezde. Sve je reaktivno, pa je $G_{ij} = 0$ , $B_{i4} = 1/x_i$ , a dijagonalni elementi su zbir sa suprotnim znakom:

\begin{aligned} B_{14} &= -231{,}66, \quad B_{24} = 21{,}94, \quad B_{34} = 19{,}01 \\ B_{22} &= -21{,}94, \quad B_{33} = -19{,}01, \quad B_{44} = 190{,}72 \end{aligned}

Postavka problema

Čvor	Vrsta	Zadato	Nepoznato
1	referentni	$V_1 = 1$ r.j., $\theta_1 = 0$	$P_1$ , $Q_1$
2	PQ	$P_2 = -1{,}5$ r.j., $Q_2 = -0{,}5$ r.j.	$\theta_2$ , $V_2$
3	PV	$P_3 = 0$ , $V_3 = 1$ r.j.	$\theta_3$ , $Q_3$
4	PQ	$P_4 = 0$ , $Q_4 = 0$	$\theta_4$ , $V_4$

Matematički model

Nepoznatih je pet: $\theta_2$ , $\theta_3$ , $\theta_4$ , $V_2$ , $V_4$ . Grane su reaktivne, pa su jednačine, za $i = 2, 3, 4$ kod aktivne i $i = 2, 4$ kod reaktivne snage:

\begin{aligned} P_i &= V_i \sum_{j} V_j B_{ij} \sin\theta_{ij} \\ Q_i &= -V_i \sum_{j} V_j B_{ij} \cos\theta_{ij} \end{aligned}

Newton-Raphson-ov postupak koristi blokove Jakobijana iz predavanja, sa $\Delta\boldsymbol{\theta}$ i $\Delta\boldsymbol{V}$ kao popravkama:

\begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\theta} \\ \Delta \boldsymbol{V} \end{bmatrix}^{(k+1)} = -\begin{bmatrix} \boldsymbol{H} & \boldsymbol{F}' \\ \boldsymbol{K} & \boldsymbol{L}' \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{P} \\ \Delta \boldsymbol{Q} \end{bmatrix}^{(k)}

Jakobijan u prvoj iteraciji

Polazi se od ravnog profila: svi uglovi nula i svi naponi 1 r.j. Tada su svi $\sin\theta_{ij} = 0$ , a $\cos\theta_{ij} = 1$ . Svaki element bloka $\boldsymbol{F}'$ i $\boldsymbol{K}$ sadrži $\sin\theta_{ij}$ ili injektiranje $P_i = 0$ , pa su ti blokovi nula. U blokovima $\boldsymbol{H}$ i $\boldsymbol{L}'$ ostaje $H_{ij} = L'_{ij} = -B_{ij}$ :

\boldsymbol{H}^{(0)} = \begin{bmatrix} 21{,}94 & 0 & -21{,}94 \\ 0 & 19{,}01 & -19{,}01 \\ -21{,}94 & -19{,}01 & -190{,}72 \end{bmatrix}

\boldsymbol{L}'^{(0)} = \begin{bmatrix} 21{,}94 & -21{,}94 \\ -21{,}94 & -190{,}72 \end{bmatrix}

Rešenje modela

Postupak konvergira posle 3 iteracije, do tačnosti $10^{-6}$ r.j.: $V_2 = 0{,}9771$ r.j., odnosno 112,4 kV, i $\theta_2 = -3{,}63^\circ$ . Sinhroni kompenzator pri tome daje −5,5 MVAr.

Rezultat

Nepoznate: $\theta_2$ , $\theta_3$ , $\theta_4$ , $V_2$ , $V_4$ . Jakobijan je 5 × 5.

U prvoj iteraciji $\boldsymbol{F}' = \boldsymbol{K} = 0$ ; $H_{22} = 21{,}94$ , $H_{33} = 19{,}01$ , $H_{44} = -190{,}72$ , $L'_{22} = 21{,}94$ , $L'_{44} = -190{,}72$ .

Metod u predavanju

Primena opšteg Newton-Raphson-ovog metoda na proračun tokova snaga
Proračun tokova snaga
Proračun parametara tronamotajnog transformatora
Transformatori kao elementi EES-a

Slični zadaci

Teme

Tokovi snaga · Transformatori

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Analiza elektroenergetskih sistema (AEES)Na Drive-u: Udžbenik i predavanja · Vežbe i zadaci · Ispitni rokovi · Usmeni ispit · Rešeni zadaci, rukom

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.