Skip to content
Učionica

I kolokvijum, računski deo, Zadatak 4

Provođenje toplote kroz omotač cilindra: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 25. aprila 2021. Rešenje: Miloš Sarić

Fizika (E1), FTN Novi Sad

Zadatak

Prostor između dva koaksijalna cilindra poluprečnika r=2r = 2 cm i R=3R = 3 cm napunjen je materijalom nepoznate toplotne provodljivosti. Ako je poznato da temperatura unutrašnjeg cilindra iznosi t1=80t_1 = 80 °C, a spoljašnjeg t2=20t_2 = 20 °C, i da su toplotni gubici po jediničnoj dužini cevi ΦQ/ℓ=650,8\Phi_Q/\ell = 650{,}8 W/m, odrediti koeficijent toplotne provodljivosti ispitivanog materijala.

Napomena: Polazeći od Furijeovog zakona, najpre izvesti formulu za provođenje toplote kroz omotač cilindra, a potom je primeniti na opisani slučaj.

rRt1t2K

Poznato

  • r=2r = 2cm
  • R=3R = 3cm
  • t1=80t_1 = 80°C
  • t2=20t_2 = 20°C
  • ΦQ/ℓ=650,8\Phi_Q/\ell = 650{,}8W/m

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Traži se koeficijent toplotne provodljivosti KK. Toplota teče radijalno, od unutrašnjeg cilindra ka spoljašnjem, kroz površinu koja raste sa poluprečnikom, pa temperaturni gradijent nije isti na svakom poluprečniku. Zato se Furijeov zakon piše za tanak sloj i integrali po poluprečniku.

Izvođenje formule za omotač cilindra

Posmatramo cilindrični sloj poluprečnika ρ\rho i debljine dρ\mathrm{d}\rho, dužine ℓ\ell, čija je površina S=2πρℓS = 2\pi\rho\ell. Furijeov zakon daje toplotni fluks kroz njega:

ΦQ=−KSdtdρ=−K⋅2πρℓ⋅dtdρ\Phi_Q = -K S \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\rho} = -K \cdot 2\pi\rho\ell \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\rho}

U stacionarnom stanju kroz svaki sloj prolazi isti fluks ΦQ\Phi_Q, pa se promenljive razdvajaju i integrali od rr do RR, odnosno od t1t_1 do t2t_2:

ΦQ∫rRdρρ=−2πKℓ∫t1t2dtΦQln⁡Rr=2πKℓ(t1−t2)\begin{aligned} \Phi_Q \int_r^R \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} &= -2\pi K \ell \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \\ \Phi_Q \ln \frac{R}{r} &= 2\pi K \ell (t_1 - t_2) \end{aligned}

Toplotni fluks kroz omotač cilindra je, dakle:

ΦQ=2πKℓ(t1−t2)ln⁡(R/r)\Phi_Q = \frac{2\pi K \ell (t_1 - t_2)}{\ln (R/r)}

Koeficijent toplotne provodljivosti

K=ΦQℓ⋅ln⁡(R/r)2π(t1−t2)=650,8⋅ln⁡(3/2)2π⋅(80−20)=650,8⋅0,4052π⋅60=0,70 Wm⋅∘C\begin{aligned} K &= \frac{\Phi_Q}{\ell} \cdot \frac{\ln (R/r)}{2\pi (t_1 - t_2)} \\ &= 650{,}8 \cdot \frac{\ln (3/2)}{2\pi \cdot (80 - 20)} \\ &= 650{,}8 \cdot \frac{0{,}405}{2\pi \cdot 60} = 0{,}70\ \frac{\text{W}}{\text{m} \cdot {}^\circ\text{C}} \end{aligned}

Rezultat

Koeficijent toplotne provodljivosti: K=0,70K = 0{,}70 W/(m·°C).

Slični zadaci

Teme

Termodinamika i kinetička teorija gasova

Ispit u PDF-u, na Drive-u (otvara se u novom tabu)

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.