I kolokvijum, računski deo, Zadatak 2

Maksvelova raspodela brzina, temperatura gasa: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 29. maja 2022. Rešenje: Miloš Sarić

Zadatak

Na kojoj je temperaturi broj molekula kiseonika čije su brzine u intervalu (199 − 201) m/s dva puta manji od broja molekula sa brzinama u intervalu (599 − 601) m/s? Maksvelova raspodela je data relacijom:

f(v) = 4\pi \left( \frac{\mu}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{\mu v^2}{2 k_B T}},

Molarna masa kiseonika je 32 g/mol.

Koristiti sledeće vrednosti konstanti: $k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ J/K, $R = 8{,}314$ J/(mol·K).

Maksvelova raspodela na traženoj temperaturi

Poznato

$v_1 = 200$ m/s
$v_2 = 600$ m/s
$\Delta v = 2$ m/s
$M = 32$ g/mol
$k_B = 1{,}38$ · 10⁻²³ J/K
$R = 8{,}314$ J/(mol·K)

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Traži se temperatura na kojoj dva intervala brzina sadrže molekule u odnosu 1 : 2. Maksvelova raspodela iz kinetičke teorije gasova kaže koliki deo molekula ima brzinu u uskom intervalu, a oba intervala su uska i iste širine, pa se poredi vrednost raspodele u njihovim sredinama. Temperatura ostaje jedina nepoznata.

Broj molekula u intervalu brzina

Interval je uzak, pa je broj molekula u njemu $\Delta N = N f(v) \Delta v$ , gde je $v$ sredina intervala. Ovde je $v_1 = 200$ m/s, $v_2 = 600$ m/s i $\Delta v = 2$ m/s u oba intervala. Uslov zadatka je:

\Delta N_1 = \frac{\Delta N_2}{2} \quad \Rightarrow \quad 2 f(v_1) = f(v_2)

Jednačina za temperaturu

Činilac ispred $v^2$ je isti u oba člana, jer je temperatura ista, pa se skraćuje:

2 v_1^2 e^{-\frac{\mu v_1^2}{2 k_B T}} = v_2^2 e^{-\frac{\mu v_2^2}{2 k_B T}}

Odnos mase molekula i Bolcmanove konstante isti je kao odnos molarne mase i gasne konstante, $\mu/k_B = M/R$ . Grupisanjem eksponenata i logaritmovanjem:

\begin{aligned} e^{\frac{M (v_2^2 - v_1^2)}{2RT}} &= \frac{v_2^2}{2 v_1^2} \\ \frac{M (v_2^2 - v_1^2)}{2RT} &= \ln \frac{v_2^2}{2 v_1^2} \\ T &= \frac{M (v_2^2 - v_1^2)}{2R \ln \dfrac{v_2^2}{2 v_1^2}} \end{aligned}

Brojna vrednost

\begin{aligned} \frac{v_2^2}{2 v_1^2} &= \frac{600^2}{2 \cdot 200^2} = 4{,}5, \quad \ln 4{,}5 = 1{,}504 \\ T &= \frac{32 \cdot 10^{-3} \cdot (600^2 - 200^2)}{2 \cdot 8{,}314 \cdot 1{,}504} = 409{,}4\ \text{K} \end{aligned}

Rezultat

Tražena temperatura: $T = 409{,}4$ K.

Slični zadaci

Teme

Termodinamika i kinetička teorija gasova

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.