I kolokvijum, računski deo, Zadatak 4

Toplotna provodljivost, od kog je materijala telo: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 14. maja 2023. Rešenje: Miloš Sarić

Zadatak

Potrebno je odrediti od kog materijala je napravljeno cilindrično telo T na osnovu njegove toplotne provodljivosti. Na slici je prikazana aparatura koja se koristi pri merenju. Izmerena dužina tela je $L = 9{,}89$ cm, a prečnik $d = 4{,}78$ cm. Telo se zagreva sa donje strane pomoću suda C temperature $t_p = 100$ °C, dok je na telo postavljena čaša D u koju se sipa $m_v = 800$ g vode temperature $t_0 = 25$ °C. Nakon $\tau = 131$ s temperatura vode se povećala za 10 °C. Materijal od kog je napravljeno telo je:

bakar: $K_{Cu} \approx 380$ W/(m°C);
aluminijum: $K_{Al} \approx 200$ W/(m°C);
olovo: $K_{Pb} \approx 35$ W/(m°C).

Napomena: Izvesti odgovarajući izraz za toplotnu provodljivost zanemarujući razmenu toplote aparature sa okolinom!

Poznato

$L = 9{,}89$ cm
$d = 4{,}78$ cm
$t_p = 100$ °C
$m_v = 800$ g
$t_0 = 25$ °C
$\tau = 131$ s
$\Delta t = 10$ °C
$c_v = 4{,}19$ · 10³ J/(kg·K)

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Traži se toplotna provodljivost tela, da bi se uporedila sa tri date vrednosti. Toplota kroz telo greje vodu, ali čim se voda zagreje, razlika temperatura na krajevima tela se smanjuje, pa protok toplote nije stalan. Zato se Furijeov zakon piše za kratko vreme $\mathrm{d}\tau$ , izjednačuje sa toplotom koju primi voda i integrali.

Izvođenje izraza za toplotnu provodljivost

Telo ima poprečni presek $S$ i dužinu $L$ . Donja osnova je na temperaturi $t_p$ , a gornja na trenutnoj temperaturi vode $t$ . Furijeov zakon daje toplotu koja za vreme $\mathrm{d}\tau$ prođe kroz telo:

\mathrm{d}Q = K S \frac{t_p - t}{L}\, \mathrm{d}\tau

Bez razmene toplote sa okolinom, sva ta toplota greje vodu, $\mathrm{d}Q = m_v c_v\, \mathrm{d}t$ . Izjednačavanjem i razdvajanjem promenljivih:

\frac{\mathrm{d}t}{t_p - t} = \frac{K S}{m_v c_v L}\, \mathrm{d}\tau

Integrali se od početka, kada je voda na $t_0$ , do trenutka $\tau$ , kada je na $t_1$ :

\begin{aligned} \ln \frac{t_p - t_0}{t_p - t_1} &= \frac{K S \tau}{m_v c_v L} \\ K &= \frac{m_v c_v L}{S \tau} \ln \frac{t_p - t_0}{t_p - t_1} \end{aligned}

Brojna vrednost

Krajnja temperatura vode je $t_1 = 25 + 10 = 35$ °C, specifični toplotni kapacitet vode $c_v = 4{,}19 \cdot 10^3$ J/(kg·K), a poprečni presek tela:

S = \left( \frac{d}{2} \right)^2 \pi = \left( \frac{4{,}78}{2} \cdot 10^{-2} \right)^2 \pi = 1{,}795 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^2

\begin{aligned} K &= \frac{0{,}8 \cdot 4{,}19 \cdot 10^3 \cdot 9{,}89 \cdot 10^{-2}}{1{,}795 \cdot 10^{-3} \cdot 131} \\ &\quad \cdot \ln \frac{75}{65} \\ &= 202\ \frac{\text{W}}{\text{m} \cdot {}^\circ\text{C}} \end{aligned}

To je najbliže vrednosti za aluminijum, $K_{Al} \approx 200$ W/(m°C).

Rezultat

Toplotna provodljivost tela: $K = 202$ W/(m·°C), pa je telo napravljeno od aluminijuma (b).

Slični zadaci

Teme

Termodinamika i kinetička teorija gasova

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.