Fizika, FTN (E1): ispitna pitanja sa odgovorima

1. Atomska struktura materije i interakcija između atoma: međuatomske sile, potencijalna energija interakcije i atomske jedinice.

Supstanca se sastoji od atoma, koji se na malim rastojanjima sjedinjuju u molekule. Sila između atoma je električne prirode. Na rastojanju $r > r_0$ je privlačna, na $r < r_0$ je odbojna, a na $r_0$ je nula, pa je to položaj ravnoteže. Potencijalna energija $\Pi(r)$ ima minimum na $r_0$, a kako je $F = -\mathrm{d}\Pi/\mathrm{d}r$, tu je sila nula.

Atomske jedinice su: energija u elektron-voltima, $1\ \mathrm{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ J, dimenzije u angstremima, $1\ \text{Å} = 10^{-10}$ m, a količina u molovima, sa Avogadrovim brojem $N_{Av} = 6{,}0225\cdot 10^{23}$ čestica/mol. Molarna masa je $M = \mu N_{Av}$, a broj molekula u masi $m$ je $N = mN_{Av}/M = m/\mu$.

2. Makroskopski parametri gasa, nulti zakon termodinamike i problem merenja temperature.

Stanje gasa opisuju makroskopski parametri: zapremina $V$, pritisak $p$, kao srednja sila sudara molekula sa zidom po jedinici površine, i temperatura $T$, mera srednje kinetičke energije molekula. Nulti zakon kaže: ako su dva tela u toplotnoj ravnoteži sa trećim, u ravnoteži su i međusobno. Tako temperatura postaje veličina koja je ista za sva tela u ravnoteži.

Na tome počiva merenje: termometar se dovede u ravnotežu sa telom, a meri se neka veličina koja zavisi od temperature, na primer dužina stuba žive, pritisak gasa ili otpornost. Problem je kako, kada se temperatura definiše preko neke fizičke pojave, odrediti na primer dvostruko veću temperaturu. Rešava se izborom supstance sa osobinom $X$ koja se menja linearno sa temperaturom, $T(X) = aX + b$. Na Kelvinovoj skali, jedinici SI sistema, je $b = 0$, pa je $T(X) = aX$, a sa Celzijusovom skalom je vezuje $T = t + 273{,}15$.

3. Jednačina stanja idealnog gasa (izvođenje).

Idealan gas čine molekuli zanemarljive zapremine, koji međudejstvuju samo u elastičnim sudarima. Molekul brzine $v_x$ pri sudaru sa zidom prenosi impuls $2\mu v_x$. Za vreme $\Delta t$ površinu $S$ udari polovina molekula iz zapremine $Sv_x\Delta t$, pa je pritisak, sa $\langle v_x^2\rangle = v_T^2/3$ zbog izotropije, gde je $v_T = \sqrt{\langle v^2\rangle}$ toplotna brzina:

Pošto je $\frac{1}{2}\mu v_T^2 = \frac{3}{2}k_BT$, dobija se $p = n_0k_BT$. Sa $n_0 = N/V$ i $N = \tilde nN_{Av}$, a $R = k_BN_{Av} = 8{,}314$ J/(mol·K):

4. Realni gas. Van der Valsova jednačina.

Realan gas se razlikuje od idealnog na velikim pritiscima i niskim temperaturama, jer se tada ne mogu zanemariti zapremina molekula i privlačne sile među njima. Van der Vals je zato uveo dve popravke. Molekuli zauzimaju deo zapremine, pa slobodna zapremina nije $V$ nego $V - \tilde nb$. Privlačne sile vuku molekul od zida unazad i smanjuju pritisak, za član srazmeran kvadratu koncentracije, $a\tilde n^2/V^2$:

Konstante $a$ i $b$ zavise od vrste gasa. Pri malim gustinama popravke su male i jednačina prelazi u jednačinu stanja idealnog gasa.

5. Unutrašnja energija termodinamičkih sistema i idealnog gasa.

Unutrašnja energija $\tilde U$ je zbir kinetičkih energija haotičnog kretanja i potencijalnih energija interakcije svih molekula, bez energije kretanja sistema kao celine. To je funkcija stanja: njena promena zavisi samo od početnog i krajnjeg stanja. Kod idealnog gasa nema interakcije, pa je samo kinetička. Na svaki stepen slobode molekula otpada $\frac{1}{2}k_BT$, pa je za $j$ stepeni slobode (3 za jednoatomni, 5 za dvoatomni, 6 za višeatomni molekul):

Unutrašnja energija idealnog gasa zavisi, dakle, samo od temperature.

6. Osnovni parametri statističkih raspodela.

Sistem sa ogromnim brojem čestica opisuje se verovatnoćama. Ako veličina $X$ uzima vrednosti $X_i$ sa verovatnoćama $p_i$, raspodelu opisuju matematičko očekivanje $\mu$ i disperzija $\sigma^2$, a standardno odstupanje $\sigma$ meri koliko je raspodela široka:

Za neprekidnu veličinu funkcija raspodele $f(X)$ daje verovatnoću da je vrednost u intervalu $\mathrm{d}X$: $\mathrm{d}N/N = f(X)\,\mathrm{d}X$. Normirana je, jer čestica mora imati neku vrednost. Iz nje se računaju srednja i srednja kvadratna vrednost, a iz maksimuma funkcije najverovatnija vrednost:

7. Bolcmanova raspodela čestica u gravitacionom polju. Barometarska formula.

U izotermnoj atmosferi pritisak opada sa visinom zbog težine sloja: $\mathrm{d}p = -\rho g\,\mathrm{d}h$. Sa $\rho = n_0\mu = p\mu/(k_BT)$ i integracijom od $h = 0$ dobija se barometarska formula, a pošto je $p = n_0k_BT$, ista zavisnost važi i za koncentraciju, što je Bolcmanova raspodela u gravitacionom polju:

Koncentracija opada eksponencijalno sa visinom, tim brže što je molekul teži i temperatura niža: gravitacija ih vuče naniže, a toplotno kretanje rasipa.

8. Bolcmanova raspodela čestica u polju sila. Primeri.

Rezultat za gravitaciju važi i za bilo koje konzervativno polje, jer je $\mu gh$ potencijalna energija molekula. Za polje u kome čestica ima potencijalnu energiju $E_p$:

Čestice se gomilaju tamo gde im je potencijalna energija mala, tim izraženije što je temperatura niža. Primeri su Plankov zakon zračenja crnog tela, Ajnštajnov zakon stimulisane emisije kod lasera i dipoli dielektrika u spoljašnjem električnom polju: bez polja ih raspoređuje temperatura, a jako polje ih uređuje. Za slobodne elektrone u polju $E$ duž ose $x$ je $E_p = -eEx$, pa je $n(x) = n(0)\mathrm{e}^{eEx/(k_BT)}$.

9. Maksvelova raspodela molekula po brzinama. Određivanje funkcije raspodele.

Maksvelova raspodela kaže koji deo molekula gasa u ravnoteži ima brzinu u intervalu $\mathrm{d}v$. Pošto su pravci jednako verovatni, a komponente brzine nezavisne, raspodela po svakoj komponenti je Bolcmanova, sa kinetičkom energijom umesto potencijalne: $f(v_x) \propto \mathrm{e}^{-\mu v_x^2/(2k_BT)}$. Proizvod tri komponente zavisi samo od $v^2$. Sabiranjem po sfernom sloju zapremine $4\pi v^2\mathrm{d}v$ i iz uslova normiranja:

10. Karakteristike Maksvelove raspodele molekula po brzinama. Karakteristične brzine.

Funkcija $f(v)$ počinje od nule, ima maksimum, a zatim eksponencijalno opada. Nije simetrična, jer je deo molekula sa velikim brzinama veći. Površina ispod krive je jedinica, pa sa porastom temperature maksimum ide ka većim brzinama, a kriva se širi i spušta. Karakteristične brzine, u redosledu po veličini, su najverovatnija $v_m$ (iz $\mathrm{d}f/\mathrm{d}v = 0$), srednja $\langle v\rangle$ i srednja brzina termičkog kretanja $v_T$:

Širina raspodele je $\sigma = 0{,}67\sqrt{k_BT/\mu}$. Za vazduh na $T = 300$ K te tri brzine su 413, 466 i 507 m/s.

11. Srednji slobodni put molekula gasa (izvođenje).

Srednji slobodni put $\langle\ell\rangle$ je srednje rastojanje koje molekul pređe između dva sudara. Molekul prečnika $d$ sudara se sa svakim molekulom čiji je centar u cilindru preseka $\sigma_0 = \pi d^2$ (efikasni presek) oko njegove putanje. Na putu $\Delta s$ cilindar ima zapreminu $\sigma_0\Delta s$, pa je broj sudara $\Delta N = n_0\sigma_0\Delta s$, a put podeljen brojem sudara $\langle\ell\rangle = 1/(n_0\sigma_0)$. Pošto se kreću svi molekuli, a ne samo jedan, relativna brzina je $\sqrt{2}$ puta veća od srednje, pa je:

12. Povratni i nepovratni termodinamički procesi. Izoprocesi.

Proces je povratan ako se sistem može vratiti u početno stanje preko istih međustanja, a da u okolini ne ostane nikakva promena. To je granični slučaj, kvazistatički proces, koji se odvija toliko sporo da je sistem stalno u ravnoteži. Realni procesi su nepovratni, zbog trenja, difuzije ili provođenja toplote sa konačnom razlikom temperatura.

Izoprocesi su procesi u kojima je jedan parametar stalan: izohorski ($V$ = const, $p/T$ = const), izobarski ($p$ = const, $V/T$ = const) i izotermski ($T$ = const, $pV$ = const). Sa njima se razmatra i adijabatski, bez razmene toplote ($pV^\kappa$ = const).

13. Prvi zakon (princip) termodinamike. Unutrašnja energija i termodinamički rad.

Prvi zakon je zakon održanja energije za termodinamičke sisteme: toplota dovedena sistemu troši se na promenu unutrašnje energije i na rad koji sistem vrši.

Rad je, kada gas širi klip površine $S$ za $\mathrm{d}x$, $F\mathrm{d}x = pS\mathrm{d}x = p\mathrm{d}V$, što je površina ispod krive u $p$–$V$ dijagramu. Unutrašnja energija je funkcija stanja, a rad i toplota nisu: zavise od puta, zato se pišu sa $\delta$. Posledica zakona je da ne postoji perpetuum mobile prve vrste, koji bi radio bez dovođenja energije.

14. Primena prvog zakona termodinamike na izoprocese.

Za idealan gas je $\delta Q = \tilde nC_V\mathrm{d}T + p\mathrm{d}V$, sa $C_V = jR/2$ i $C_p = C_V + R$ (Majerova jednačina).

15. Zatvoreni termodinamički ciklusi.

U zatvorenom ciklusu sistem se vraća u početno stanje, pa je promena unutrašnje energije nula. Tada je, po prvom zakonu, ukupan rad jednak ukupnoj razmenjenoj toploti, $A = Q_1 - |Q_2|$, gde je $Q_1$ toplota primljena od grejača, a $Q_2$ predata hladnjaku. Rad je površina koju ciklus zatvara u $p$–$V$ dijagramu. Stepen korisnog dejstva je:

Ako se ciklus obilazi udesno, sistem vrši rad, kao toplotni motor. Ako se obilazi ulevo, rad se troši da se toplota prenese sa hladnijeg na toplije telo, kao u frižideru.

16. Termodinamička definicija entropije. Entropija idealnog gasa.

Toplota $\delta Q$ nije totalni diferencijal, ali je $\delta Q/T$ za povratne procese: njen integral ne zavisi od puta. To je diferencijal funkcije stanja, entropije $S$:

Za idealan gas je $\delta Q = \tilde nC_V\mathrm{d}T + p\mathrm{d}V$, a sa $p = \tilde nRT/V$:

17. Promena entropije kod izoprocesa.

Iz $\Delta S = \tilde nC_V\ln(T_2/T_1) + \tilde nR\ln(V_2/V_1)$:

• •izohorski proces: $\Delta S = \tilde nC_V\ln(T_2/T_1)$;
• •izobarski proces, pošto je $V_2/V_1 = T_2/T_1$: $\Delta S = \tilde nC_p\ln(T_2/T_1)$;
• •izotermski proces: $\Delta S = \tilde nR\ln(V_2/V_1) = Q/T$;
• •adijabatski proces: $\delta Q = 0$, pa je entropija stalna, $\Delta S = 0$.

18. Entropija i slobodna energija.

Iz prvog zakona, sa $\delta Q = T\mathrm{d}S$, sledi $\delta A = -\mathrm{d}\tilde U + T\mathrm{d}S$, a to se može napisati kao $\delta A = -\mathrm{d}(\tilde U - TS) - S\mathrm{d}T$. Veličina $F = \tilde U - TS$ je slobodna energija, pa je:

Unutrašnja energija se, dakle, sastoji od dva dela. Slobodna energija $F$ se pri izotermskom procesu može u potpunosti pretvoriti u rad, jer je tada $\delta A = -\mathrm{d}F$. Vezana energija $TS$ se ne može pretvoriti u rad. Što je veća entropija, veći je deo energije koji se ne može iskoristiti.

19. Statistička interpretacija entropije.

Makrostanje sistema određeno je parametrima $T$, $p$, $V$ i $\tilde n$, a mikrostanje položajima i brzinama svih molekula. Istom makrostanju odgovara ogroman broj mikrostanja. Taj broj je statistička težina (termodinamička verovatnoća) $Z$. Bolcman je povezao entropiju sa njom:

Entropija je tako mera neuređenosti sistema. Izolovan sistem prelazi iz stanja manje u stanje veće verovatnoće, a ravnotežno stanje je ono najveće verovatnoće i najneuređenije, sa najvećom entropijom. Logaritam čini entropiju aditivnom, dok se verovatnoće dva sistema množe.

20. Drugi zakon (princip) termodinamike.

Prvi zakon ne zabranjuje nijedan proces koji čuva energiju, a ipak se mnogi ne dešavaju: toplota sama ne prelazi sa hladnijeg na toplije telo. Smer toplotnih procesa određuje drugi zakon, koji ima nekoliko formulacija.

• •Klauzijusova: u izolovanom sistemu entropija pri svakom realnom procesu raste, a ostaje ista samo pri povratnom: $\mathrm{d}S \ge 0$.
• •Toplota ne može sama od sebe da pređe sa hladnijeg na toplije telo.
• •Kelvinova (Plankova): nemoguća je periodična mašina čiji bi jedini rezultat bio pretvaranje toplote jednog izvora u rad, što je perpetuum mobile druge vrste.

21. Karnoov ciklus.

Karnoov ciklus je povratni ciklus idealne toplotne mašine, sa dve izoterme i dve adijabate. Radno telo se izotermski širi na temperaturi grejača $T_1$ i prima toplotu $Q_1$, zatim se adijabatski širi i hladi do temperature hladnjaka $T_2$, zatim se izotermski sabija na $T_2$ i predaje $Q_2$, pa se adijabatski sabija nazad. Iz izotermi je $Q_1 = \tilde nRT_1\ln(V_2/V_1)$ i $|Q_2| = \tilde nRT_2\ln(V_3/V_4)$, a iz adijabati $V_2/V_1 = V_3/V_4$, pa je:

To je najveći stepen korisnog dejstva između te dve temperature, i ne zavisi od radnog tela: svaki realan ciklus između njih ima manji. U $T$–$S$ dijagramu ciklus je pravougaonik, od dve izoterme i dve izentrope, a njegova površina je rad.

22. Statistička interpretacija drugog zakona termodinamike.

Molekuli se kreću haotično i ništa ih ne sprečava da se svi nađu u jednoj polovini suda, ali je takvo stanje neverovatno, jer mu odgovara mnogo manje mikrostanja nego ravnomernoj raspodeli. Za $N$ molekula verovatnoća da su svi u jednoj polovini je $2^{-N}$, što je za makroskopski sistem praktično nula.

Drugi zakon je zato statistički: sistem ide od manje ka većoj verovatnoći, a entropija raste, jer je $S = k_B\ln Z$. Suprotan proces nije zabranjen, nego je zanemarljivo malo verovatan za veliki broj čestica. Na malim skupovima čestica se vidi kao fluktuacija. Maksvelov demon, koji bi propuštao samo brze molekule u jednu polovinu i tako smanjio entropiju, ne narušava zakon, jer sam mora da izmeri brzine, što povećava entropiju.

23. Kalorimetrija. Toplotni kapaciteti.

Kalorimetrija se bavi merenjem razmenjene toplote. Toplotni kapacitet tela je količina toplote potrebna da mu se temperatura promeni za 1 K: $C = \delta Q/\mathrm{d}T$, u J/K. Po jedinici mase to je specifični toplotni kapacitet $c = \delta Q/(m\mathrm{d}T)$, pa je $\delta Q = mc\,\mathrm{d}T$ (kalorimetrijska jednačina), a po molu molarni $C_M = \delta Q/(\tilde n\mathrm{d}T)$, sa $C_M = Mc$.

Toplotni kapacitet zavisi od toga kako se proces odvija. Za idealan gas je pri stalnoj zapremini $C_V = jR/2$, a pri stalnom pritisku $C_p = (j + 2)R/2 = C_V + R$, jer se deo toplote troši na rad širenja. Odnos $\kappa = C_p/C_V = (j + 2)/j$ je adijabatska (Poasonova) konstanta.

24. Kalorimetrijski procesi.

Kada se tela različitih temperatura dovedu u dodir unutar toplotno izolovanog kalorimetra, toplota prelazi sa toplijih na hladnija, dok se temperature ne izjednače. Pošto toplota ne odlazi u okolinu, važi jednačina toplotnog bilansa: predata toplota jednaka je primljenoj. Za dva tela je:

Entropija pri tome raste: $\Delta S = m_1c_1\ln(T_s/T_1) + m_2c_2\ln(T_s/T_2) > 0$. Ako tokom procesa dođe do faznog prelaza, u bilans se dodaje latentna toplota, $Q = mq_T$, gde je $q_T$ specifična toplota topljenja ili isparavanja, a temperatura je tada stalna. Kalorimetrom se tako meri nepoznati specifični toplotni kapacitet ili latentna toplota.

25. Fazni prelazi. Fazni dijagram.

Faza je homogeni deo sistema sa istim osobinama, a fazni prelaz je promena faze: topljenje, isparavanje, sublimacija i njima suprotni procesi. Kod prelaza I vrste razmenjuje se latentna toplota, a skokovito se menjaju zapremina i entropija, dok su pritisak i temperatura stalni. Kod prelaza II vrste, poput prelaza u superprovodno stanje, nema latentne toplote i skoka zapremine, a skokovito se menja, na primer, toplotni kapacitet.

Fazni dijagram je $p$–$T$ dijagram sa tri krive koje razdvajaju oblasti faza: topljenja, isparavanja i sublimacije. Na krivoj su dve faze u ravnoteži. U trojnoj tački, gde se krive sreću, sve tri faze postoje istovremeno, za vodu na 273,16 K i 611 Pa. Kriva isparavanja završava se u kritičnoj tački, iznad koje nema razlike između tečnosti i gasa.

26. Klauzijus-Klapejronova jednačina (izvođenje).

Jednačina daje nagib krive faznog prelaza. Izvodi se iz malog Karnoovog ciklusa između $T_1 = T + \mathrm{d}T$ i $T_2 = T$: masa $m$ tečnosti ispari pri $T_1$ i pritisku $p + \mathrm{d}p$, primajući toplotu $Q = mq_T$, a zatim se para kondenzuje pri $T_2$ i $p$. Rad je površina ciklusa, $\delta A = (V_p - V_t)\mathrm{d}p$, a stepen korisnog dejstva je $\eta = \delta A/Q = (T_1 - T_2)/T_1 \approx \mathrm{d}T/T$. Odatle je, sa $v_p$ i $v_t$ specifičnim zapreminama pare i tečnosti:

27. Primena Klauzijus-Klapejronove jednačine na ključanje vode.

Za vodu na 100 °C je $q_T = 2{,}26\cdot 10^6$ J/kg. Para je približno idealan gas, sa $v_p = RT/(Mp) = 1{,}723\ \mathrm{m^3/kg}$, a tečnost ima $v_t = 10^{-3}\ \mathrm{m^3/kg}$, pa je $v_p/v_t = 1723$, i $v_t$ se može zanemariti:

Promena pritiska od 3,5 kPa pomera tačku ključanja za oko 1 K. Na velikim visinama, gde je pritisak manji, voda zato ključa na nižoj temperaturi, a u ekspres-loncu, pod većim pritiskom, na višoj, pa se hrana brže kuva. Integracijom se, sa $v_p = RT/(Mp)$, dobija $p = p_0\mathrm{e}^{-Mq_T/(RT)} = p_0\mathrm{e}^{-\mu q_T/(k_BT)}$, što je oblik Bolcmanove raspodele: presudan je odnos toplotne energije $k_BT$ i energije $\mu q_T$ koja je potrebna da molekul napusti tečnost. Latentna toplota opada sa temperaturom, a u kritičnoj tački pada na nulu.

28. Difuzija. Prvi Fikov zakon (izvođenje).

Difuzija je prenos čestica iz oblasti veće koncentracije u oblast manje, usled haotičnog kretanja. Neka se koncentracija $n$ menja duž ose $x$. Kroz površinu $S$ za vreme $\Delta t$ prolazi sa svake strane šestina molekula iz zapremine $Sv_T\Delta t$, jer se šestina kreće u svakom smeru: $\Delta N_1 = \frac{1}{6}n_1Sv_T\Delta t$ i $\Delta N_2 = \frac{1}{6}n_2Sv_T\Delta t$. Molekuli dolaze sa rastojanja $\langle\ell\rangle$, gde su se poslednji put sudarili, pa je $n_{1,2} = n_0 \mp (\mathrm{d}n/\mathrm{d}x)\langle\ell\rangle$, a gustina struje je:

To je I Fikov zakon, sa konstantom difuzije $D = \frac{1}{3}v_T\langle\ell\rangle$. Znak minus znači da je struja suprotna gradijentu koncentracije.

29. Provođenje toplote. Furijeov zakon.

Provođenje toplote je prenos unutrašnje energije bez makroskopskog kretanja supstance: usled razlike temperatura, sudarima molekula, toplota ide sa mesta više ka mestu niže temperature. Količina toplote koja kroz površinu $S$ prođe za vreme $\mathrm{d}\tau$ srazmerna je gradijentu temperature:

$K$ je koeficijent toplotne provodnosti. Zakon je analogan I Fikovom zakonu. Primena na vodove je u predavanju Termičko opterećenje vodova i transformatora.

30. Primena Furijeovog zakona - provođenje toplote kroz homogenu ravnu površinu.

U ploči debljine $d$, površine $S$ i provodnosti $K$, čije su strane na stalnim temperaturama $T_1 > T_2$, u stacionarnom stanju je $j_Q$ isto u svakom preseku. Iz Furijeovog zakona temperatura opada linearno, a toplotni protok je:

Za više slojeva na red zbir termičkih otpora $d_i/(K_iS)$ zamenjuje $d/(KS)$.

31. Primena Furijeovog zakona - provođenje toplote kroz cilindrični sloj.

Toplota kroz cev dužine $L$, poluprečnika $r_1$ i $r_2$, teče radijalno. U stacionarnom stanju protok $P$ je isti kroz svaki sloj površine $2\pi rL$, ali gradijent nije stalan: $P = -K\,2\pi rL\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}r$. Razdvajanjem promenljivih i integracijom od $r_1$ do $r_2$:

32. Primena Furijeovog zakona - provođenje toplote kroz sfernu površinu.

Kroz sferni sloj poluprečnika $r_1$ i $r_2$ protok je stalan kroz svaku sferu površine $4\pi r^2$: $P = -K\,4\pi r^2\,\mathrm{d}T/\mathrm{d}r$. Integracija daje:

33. Viskoznost fluida. Njutnov zakon viskoznosti.

Viskoznost je unutrašnje trenje: pri kretanju slojeva fluida različitim brzinama brži sloj vuče sporiji, a sporiji koči bržeg. Sila trenja između slojeva srazmerna je površini dodira i gradijentu brzine, koji pokazuje koliko se brzina menja po rastojanju između slojeva:

$\eta$ je dinamička viskoznost, u Pa·s, a $\tilde\vartheta = \eta/\rho$ kinematička. Viskoznost tečnosti opada sa temperaturom, a gasova raste. Fluidi za koje je $\eta$ stalno, poput vode i vazduha, nazivaju se njutnovski.

34. Viskoznost fluida. Poazejev zakon i protok mase.

Pri laminarnom proticanju kroz cev poluprečnika $R$ i dužine $L$, sa razlikom pritisaka $\Delta p$, razlika pritisaka je u ravnoteži sa viskoznom silom na cilindar poluprečnika $r$: $\Delta p\,\pi r^2 = -\eta\,2\pi rL\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}r$. Integracija sa $v(R) = 0$ daje parabolu brzine, najveću u osi, a integracija po preseku daje zapreminski protok:

Protok je srazmeran četvrtom stepenu poluprečnika, pa dvostruko šira cev propušta 16 puta više.

35. Viskoznost fluida. Rejnoldsov broj. Laminarno i turbulentno kretanje.

Režim kretanja kroz viskozni fluid ocenjuje se bezdimenzionim Rejnoldsovim brojem, gde je $d$ karakteristična dimenzija, a $v$ brzina:

Pri dovoljno malim vrednostima kretanje je u Stoksovom režimu, laminarno: slojevi fluida klize jedan preko drugog bez mešanja, a sila otpora je srazmerna brzini. Kada kinetička energija, sa porastom brzine, dostigne privlačnu potencijalnu energiju, uređene linije toka se razbijaju i nastaje turbulentno kretanje, a uslov za njega je $\mathrm{Re} \gg 1$. Slojevi se tada mešaju, a sila otpora je srazmerna kvadratu brzine: $F = \mathrm{const}\cdot\rho d^2v^2$ (Njutnov zakon otpora).

36. Viskoznost fluida. Stoksova formula.

Na kuglu poluprečnika $r$ koja se malom brzinom $v$, u laminarnom režimu, kreće kroz viskozni fluid deluje sila otpora:

Kugla koja pada kroz fluid ubrzava dok se težina, potisak i Stoksova sila ne uravnoteže, a dalje se kreće stalnom brzinom. Iz $\frac{4}{3}\pi r^3\rho_kg = \frac{4}{3}\pi r^3\rho_tg + 6\pi\eta rv$, gde je $\rho_k$ gustina kugle, a $\rho_t$ tečnosti, sledi $v = 2r^2(\rho_k - \rho_t)g/(9\eta)$. Merenjem te brzine može se odrediti viskoznost $\eta$.

37. Viskoznost fluida. Milikenov eksperiment.

Miliken je između 1909. i 1913. izmerio naelektrisanje elektrona, posmatrajući naelektrisane kapljice ulja između ploča kondenzatora. Bez napona kapljica pada stalnom brzinom $v$, kada su težina, potisak i Stoksova sila u ravnoteži, pa se iz brzine dobija njen poluprečnik:

Sa naponom $U$, na razmaku ploča $d$, na kapljicu deluje i električna sila $qU/d$, pa se iz ravnoteže računa naelektrisanje $q$. Svi rezultati su bili celobrojni umnošci jedne vrednosti, elementarnog naelektrisanja $|q_e| = 1{,}602\cdot 10^{-19}$ C.

38. Harmonijske oscilacije. Jednačina kretanja harmonijskog oscilatora (izvođenje).

Harmonijski oscilator je telo mase $m$ na koje deluje elastična sila srazmerna otklonu od ravnoteže, a usmerena ka ravnoteži, $F = -kx$. Drugi Njutnov zakon daje:

Rešenje je prostoperiodično: $A$ je amplituda, a $\varphi$ početna faza, koje slede iz početnih uslova, dok period zavisi samo od osobina oscilatora, a ne od amplitude.

39. Harmonijske oscilacije. Brzina, ubrzanje, kinetička i potencijalna energija harmonijskog oscilatora.

Iz $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ izvodi daju brzinu, koja prednjači otklonu za $\pi/2$, i ubrzanje, koje je u protivfazi sa otklonom:

Zbir je stalan, $E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$. Energija prelazi iz kinetičke u potencijalnu i nazad, dvostruko većom učestanošću od oscilovanja, a srednja vrednost svake je $E/2$.

40. Harmonijske oscilacije. Oscilatorno (LC) kolo.

LC kolo je električni analog oscilatora. Zbir napona na kondenzatoru i kalemu je nula, $q/C + L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t = 0$, a kako je $i = \mathrm{d}q/\mathrm{d}t$:

Odgovaraju: naelektrisanje otklonu, struja brzini, $L$ masi, a $1/C$ konstanti opruge. Energija prelazi iz električne $q^2/(2C)$ u magnetnu $Li^2/2$ i nazad, a zbir ostaje stalan. Otpornost kola prigušuje oscilacije.

41. Mehanički talasi. Jednačina ravnog progresivnog talasa (izvođenje).

Mehanički talas je prostiranje oscilacija kroz elastičnu sredinu, kojim se prenosi energija, a ne materija. Ako čestica na mestu $x = 0$ osciluje po zakonu $\psi_0\cos\omega t$, čestica na rastojanju $x$ ponavlja to oscilovanje sa zakašnjenjem $x/v_0$, koliko je potrebno talasu brzine $v_0$ da stigne do nje:

To je talasna funkcija ravnog progresivnog talasa koji se prostire u pozitivnom smeru ose $x$, a $k$ je talasni broj.

42. Mehanički talasi. Brzina i ubrzanje. Osnovna relacija talasnog kretanja. Vrste talasa.

Čestica sredine ima brzinu i ubrzanje iz izvoda po vremenu: $\partial\psi/\partial t = -\omega\psi_0\sin(\omega t - kx)$ i $\partial^2\psi/\partial t^2 = -\omega^2\psi$, što nije isto što i brzina talasa. Talasna dužina $\lambda$ je rastojanje koje talas pređe za jedan period, pa važi osnovna relacija:

Po pravcu oscilovanja talasi su longitudinalni, kada čestice osciluju u pravcu prostiranja (zvuk u vazduhu), i transverzalni, kada osciluju normalno na njega (talas na žici). Po obliku fronta su ravni i sferni. Longitudinalni talasi se prostiru kroz sve sredine, a transverzalni kroz one koje imaju elastičnost oblika, a to su čvrsta tela.

43. Longitudinalni talas u homogenoj dugoj šipki (izvođenje talasne jednačine).

Posmatra se deo šipke preseka $S$, gustine $\rho$ i modula elastičnosti $E$, dužine $\mathrm{d}x$. Pomeranje preseka je $\psi(x, t)$, a relativna deformacija $\partial\psi/\partial x$. Po Hukovom zakonu, napon je $\sigma = E\,\partial\psi/\partial x$. Rezultujuća sila na deo je razlika sila na njegova dva kraja, a drugi Njutnov zakon daje:

44. Talasna jednačina. Karakteristike i primena na transverzalni talas u homogenoj zategnutoj žici, zvučni talas u vazduhu i elektromagnetni talas.

Talasna jednačina je linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda: važi superpozicija, a svaka funkcija oblika $f(x \pm v_0t)$ je njeno rešenje. Koeficijent uz vremenski izvod daje brzinu talasa, pa za svaku sredinu brzina sledi iz njenih osobina:

• •transverzalni talas u žici, sa silom zatezanja $F$ i podužnom gustinom $\gamma = m/L$: $v_0 = \sqrt{F/\gamma}$;
• •zvučni talas u vazduhu, adijabatski proces: $v_0 = \sqrt{\kappa p/\rho} = \sqrt{\kappa RT/M}$ (Laplasov obrazac), oko 340 m/s;
• •elektromagnetni talas, iz Maksvelovih jednačina: $v_0 = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$, a u vakuumu $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$.

45. Zvučni talas. Prenos energije zvučnim talasom.

Molekuli osciluju harmonijski, pa je srednja energija molekula mase $\mu$ jednaka $\langle\epsilon\rangle = \frac{1}{2}\mu\omega^2\psi_0^2$. Sa koncentracijom $n_0$ gustina energije je $\langle w\rangle = \frac{1}{2}\rho\omega^2\psi_0^2$. Talas je prenosi brzinom $v_0$, pa je intenzitet, snaga kroz jedinicu površine:

Intenzitet je srazmeran kvadratu amplitude i kvadratu frekvencije.

46. Zvučni talas. Fizički i fiziološki intenzitet zvuka.

Fizički intenzitet je energija koja u jedinici vremena prođe kroz jediničnu površinu, u W/m². Ljudsko uho zvuk čuje na oko 20 Hz do 20 kHz, a najosetljivije je na 800 do 6000 Hz, gde je prag čujnosti $I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$, a prag bola $I_{max} = 1\ \mathrm{W/m^2}$. Kako uho oseća jačinu približno logaritamski, fiziološki intenzitet (čujnost) je:

Prag čujnosti je 0 dB, a prag bola 120 dB. Povećanje intenziteta 10 puta je povećanje čujnosti za 10 dB.

47. Stojeći talasi. Jednačina stojećeg talasa (izvođenje).

Stojeći talas nastaje superpozicijom dva talasa istih amplituda i frekvencija koji se kreću u suprotnim smerovima, najčešće upadnog i odbijenog:

Sve tačke osciluju u fazi, ali im amplituda $2\psi_0|\cos kx|$ zavisi od položaja. U trbusima je najveća, za $kx = m\pi$, a u čvorovima je nula, za $kx = (2m + 1)\pi/2$. Rastojanje između susednih čvorova, kao i trbuha, je $\lambda/2$. Stojeći talas ne prenosi energiju, jer kroz čvor ona ne prolazi.

48. Stojeći talasi. Rezonancija.

Rezonancija nastaje kada je frekvencija pobude jednaka sopstvenoj frekvenciji sistema: amplituda jako raste, a energija se najbolje prenosi. Na telu konačne dužine $L$ stojeći talas postoji samo za određene frekvencije, jer se na krajevima moraju zadovoljiti uslovi: na učvršćenom kraju čvor, na slobodnom trbuh.

• •žica ili šipka učvršćena na oba kraja, kao i cev otvorena na oba kraja: $L = m\lambda/2$, pa je $\nu_m = mv_0/(2L)$;
• •šipka učvršćena na jednom kraju, ili cev zatvorena na jednom kraju: $L = (2m - 1)\lambda/4$, pa je $\nu_m = (2m - 1)v_0/(4L)$;
• •šipka učvršćena na sredini: čvor je na sredini, trbusi na krajevima, pa je $L = (2n + 1)\lambda_n/2$, a $\nu_n = \frac{2n + 1}{2L}\sqrt{E/\rho}$, $n = 0, 1, 2\dots$, sa osnovnim tonom $\lambda_0 = 2L$.

49. Sferni talasi.

Tačkasti izvor u homogenoj sredini emituje sferne talase, čiji su frontovi koncentrične sfere. Bez apsorpcije, ista snaga prolazi kroz svaku sferu površine $4\pi r^2$, pa intenzitet opada kao $1/r^2$, a amplituda kao $1/r$:

Daleko od izvora mali deo sfernog fronta je približno ravan, pa se talas tu može smatrati ravnim.

50. Slabljenje talasa.

Talas slabi jer deo energije prelazi u toplotu, kroz termičko kretanje molekula i viskozno trenje. Smanjenje intenziteta u tankom sloju srazmerno je upadnom intenzitetu i širini sloja, $\mathrm{d}I = -\Lambda I\mathrm{d}x$, gde $\Lambda$ zavisi od sredine i frekvencije. Integracija daje, a amplituda opada upola sporije jer je $I \propto \psi_0^2$:

Kod sfernog talasa dodaje se i opadanje zbog širenja fronta: $\psi(r, t) = (r_0/r)\psi_0(r_0)\mathrm{e}^{-\Lambda r/2}\cos(\omega t - kr)$.

51. Hajgensov princip.

Svaka tačka do koje talas stigne postaje izvor novih, elementarnih sfernih talasa. Novi talasni front je obvojnica tih elementarnih talasa posle vremena $\Delta t$. Tako se iz poznatog položaja fronta može konstruisati njegov položaj u narednom trenutku.

Principom se objašnjavaju pravolinijsko prostiranje, odbijanje i prelamanje, kao i difrakcija, širenje talasa iza prepreke.

52. Doplerov efekat.

Kada se izvor i prijemnik kreću jedan u odnosu na drugog, frekvencija $\nu$ koju prima prijemnik razlikuje se od emitovane $\nu_0$. Ako se izvor brzinom $v_i$ kreće ka prijemniku, frontovi se ispred njega zgušnjavaju, pa je talasna dužina manja. Ako se prijemnik brzinom $v_p$ kreće ka izvoru, on u jedinici vremena preseca više frontova. Sa brzinom talasa $v_0$:

gde gornji znaci važe pri približavanju, a donji pri udaljavanju. Pri približavanju frekvencija raste, kao kod sirene koja dolazi, a pri udaljavanju opada.

53. Prostiranje elektromagnetnog talasa. Intenziteti vektora jačine električnog polja i magnetne indukcije. Brzina elektromagnetnog talasa.

Promenljivo električno polje stvara magnetno, a promenljivo magnetno električno, pa se polje širi kao talas, i kroz vakuum. Talas je transverzalan: $\vec E$ i $\vec B$ su normalni jedan na drugi i na pravac prostiranja, i osciluju u fazi. Za ravan talas, sa $\vec E$ duž ose $x$, $\vec B$ duž ose $y$ i prostiranjem duž ose $z$:

Isti talas, vođen duž provodnika, računa se u predavanju Ustaljeni režimi vodova.

54. Prenos energije elektromagnetnim talasom (izvođenje).

Gustina energije polja je $w = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + B^2/(2\mu)$. Iz $E = v_0B$ i $v_0^2 = 1/(\varepsilon\mu)$ sledi da su oba člana jednaka, pa je $w = \varepsilon E^2$. Talas nosi energiju brzinom $v_0$, pa je snaga po jedinici površine:

To je Pointingov vektor, usmeren u pravcu prostiranja. Srednja vrednost po vremenu je intenzitet talasa, $I = \frac{1}{2}E_0H_0$.

55. Spektar elektromagnetnih talasa.

Talasi se razlikuju samo po talasnoj dužini, a sve se prostiru brzinom svetlosti, $c = \lambda\nu$. Talasna dužina zavisi od dimenzije emitera: što je on manji, ona je manja.

56. Geometrijska optika. Zakoni geometrijske optike i Fermaov princip.

Geometrijska optika svetlost opisuje zracima, i važi dok su prepreke mnogo veće od talasne dužine. Zakoni su: pravolinijsko prostiranje u homogenoj sredini, nezavisnost prostiranja zraka, zakon odbijanja i zakon prelamanja.

Fermaov princip ih sve objedinjuje: svetlost između dve tačke ide putem za koji joj je potrebno ekstremno, najčešće najkraće vreme. U homogenoj sredini to je prava linija, a na granici dve sredine iz njega slede zakon odbijanja i prelamanja.

57. Odbijanje i prelamanje svetlosti.

Na granici dve sredine deo svetlosti se odbije, a deo prelomi. Upadni, odbijeni i prelomljeni zrak leže u istoj ravni sa normalom. Odbojni ugao jednak je upadnom, $\alpha' = \alpha$. Prelamanje nastaje zato što se brzina svetlosti menja, a indeks prelamanja je $n = c/v$:

Pri prelasku u optički gušću sredinu zrak se prelama ka normali, a frekvencija ostaje ista, dok se talasna dužina smanjuje.

58. Objašnjenje odbijanja i prelamanja svetlosti pomoću Fermaovog principa.

Odbijanje. Zrak ide od tačke A, na visini $a$, do B, na visini $b$, preko tačke granice na $x$, a horizontalno rastojanje A i B je $d$. Vreme je $t = (\sqrt{a^2 + x^2} + \sqrt{b^2 + (d - x)^2})/v$. Uslov $\mathrm{d}t/\mathrm{d}x = 0$ daje $\sin\alpha = \sin\alpha'$, pa je $\alpha = \alpha'$.

Prelamanje. Delovi puta su u sredinama brzina $v_1$ i $v_2$, pa je $t = \sqrt{a^2 + x^2}/v_1 + \sqrt{b^2 + (d - x)^2}/v_2$. Uslov minimuma daje $\sin\alpha/v_1 = \sin\beta/v_2$, što je zakon prelamanja: svetlost duži deo puta prelazi tamo gde je brža.

59. Totalna refleksija. Definicija i primene.

Pri prelasku iz optički gušće u ređu sredinu, $n_1 > n_2$, prelomni ugao je veći od upadnog. Za granični upadni ugao $\alpha_g$ prelomni je $90^\circ$, a za veće uglove sva svetlost se odbija, što je totalna refleksija:

Za prelaz iz vode u vazduh $\alpha_g \approx 48{,}6^\circ$, a iz stakla $\approx 41{,}8^\circ$. Primenjuje se u optičkim vlaknima, gde svetlost putuje kroz vlakno odbijajući se od zidova, i u prizmama za skretanje zraka u dvogledima. U prirodi je razlog za fatamorganu.

60. Tanka sočiva.

Sočivo je providno telo ograničeno sfernim površinama, tanko ako mu je debljina mala u odnosu na poluprečnike. Sabirno sočivo je na sredini deblje i paralelne zrake skuplja u žiži, a rasipno je na sredini tanje, pa ih rasipa. Žižna daljina $f$, udaljenost predmeta $p$ i lika $\ell$ povezani su sa:

Ovde je $n_2$ indeks prelamanja sočiva, a $n_1$ sredine oko njega. Kod rasipnih sočiva $f$ i $\ell$ se uzimaju sa negativnim predznakom, jer su imaginarni. Uvećanje je $\ell/p$, a optička jačina $j$ meri se u dioptrijama. Sabirno sočivo daje realan lik predmeta van žiže, a uspravan i uvećan unutar nje, kao lupa.

61. Talasna optika. Interferencija svetlosti.

Interferencija je slaganje koherentnih talasa, koji imaju istu frekvenciju i stalnu razliku faza. Rezultat se ne dobija sabiranjem intenziteta nego amplituda, pa nastaju pojačanja i slabljenja. To zavisi od optičke razlike puteva $\delta = n_2d_2 - n_1d_1$:

Dva obična izvora nisu koherentna, pa se koherentna svetlost dobija deljenjem jednog talasa na dva puta, kao u Jangovom eksperimentu ili na tankom sloju.

62. Interferencija svetlosti. Jangov eksperiment.

Svetlost iz jednog izvora pada na dva uska otvora, na rastojanju $d$, koji po Hajgensovom principu postaju koherentni izvori. Na zaklonu, na rastojanju $L \gg d$, nastaju pruge. Razlika puteva do tačke na visini $y$ je $\delta = d\sin\alpha \approx dy/L$, a svetle pruge su gde je $d\sin\alpha = k\lambda$, pa su njihovi položaji i razmak između njih:

Merenjem razmaka pruga dobija se talasna dužina. Tomas Jang je ovim eksperimentom 1801. pokazao talasnu prirodu svetlosti.

63. Interferencija na tankom planparalelnom providnom sloju.

Zrak se delimično odbija od gornje površine sloja debljine $d$ i indeksa $n$, a delimično ulazi, odbija se od donje i izlazi. Ta dva koherentna zraka interferiraju. Razlika puteva, sa $\lambda/2$ zbog promene faze pri odbijanju od optički gušće sredine, je:

Maksimum je za $\delta = k\lambda$, odnosno $2d\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} = (2k + 1)\lambda/2$, a minimum za $\delta = (2k + 1)\lambda/2$. Pošto uslov zavisi od talasne dužine i ugla, u beloj svetlosti sloj izgleda obojen, kao mehur od sapunice ili ulje na vodi. Na tome počivaju antirefleksni slojevi na sočivima.