II kolokvijum, računski deo, Zadatak 1

Harmonijske oscilacije, teg na opruzi: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 11. juna 2023. Rešenje: Miloš Sarić

Zadatak

Teg mase $m = 200$ g, obešen o oprugu konstante elastičnosti $k = 50$ N/m harmonijski osciluje sa amplitudom $x_0 = 16$ cm. Odrediti:

kružnu frekvenciju i period oscilovanja tega;
u kom će položaju tega njegova potencijalna energija biti dva puta manja od kinetičke;
koliko vremena je potrebno tegu da iz ravnotežnog položaja dođe u položaj pod b).

Poznato

$m = 200$ g
$k = 50$ N/m
$x_0 = 16$ cm

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Teg na opruzi vrši harmonijske oscilacije: kružna frekvencija zavisi samo od krutosti opruge i mase. Položaj pod b) dobija se iz uslova za energije, sa brzinom izraženom preko položaja. Vreme pod c) sledi iz jednačine kretanja, koja počinje iz ravnoteže.

a) Kružna frekvencija i period

\begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0{,}2}} = 15{,}81\ \text{rad/s} \\ T &= \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{15{,}81} = 0{,}397\ \text{s} \end{aligned}

b) Položaj u kome je potencijalna energija dva puta manja od kinetičke

Uslov zadatka je:

E_p = \frac{E_k}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{4} m v^2

Krutost je $k = m\omega^2$ , a brzina u položaju $x$ je $v = \omega \sqrt{x_0^2 - x^2}$ . Zamenom se $m$ i $\omega$ skraćuju:

\begin{aligned} \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 &= \frac{1}{4} m \omega^2 \left( x_0^2 - x^2 \right) \\ 2x^2 &= x_0^2 - x^2 \\ x &= \pm \frac{x_0}{\sqrt{3}} = \pm \frac{16}{\sqrt{3}} = \pm 9{,}24\ \text{cm} \end{aligned}

c) Vreme od ravnotežnog položaja do položaja pod b)

Jednačina kretanja je $x = x_0 \sin (\omega t + \varphi_0)$ . Teg kreće iz ravnoteže, pa je $\varphi_0 = 0$ :

\begin{aligned} t &= \frac{1}{\omega} \arcsin \frac{x}{x_0} = \frac{1}{\omega} \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{0{,}615}{15{,}81} = 0{,}039\ \text{s} \end{aligned}

Rezultat

a) $\omega = 15{,}81$ rad/s, $T = 0{,}397$ s.

b) $x = \pm 9{,}24$ cm od ravnotežnog položaja.

c) $t = 0{,}039$ s.

Slični zadaci

Teme

Oscilacije, talasi i fotoni

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.