I kolokvijum, računski deo, Zadatak 2

Koeficijent korisnog dejstva kružnog ciklusa: rešen zadatak

Zadatak sa kolokvijuma iz predmeta Fizika (E1), FTN Novi Sad, 25. aprila 2021. Rešenje: Miloš Sarić

Zadatak

Zatvoreni termodinamički ciklus sastoji se od izohorskog zagrevanja pri zapremini $V_1$ , adijabatskog širenja do zapremine $V_2$ i izobarskog sabijanja do prvobitne zapremine $V_1$ . Radna supstanca je idealni dvoatomski gas. Znajući da je odnos maksimalne i minimalne zapremine u ciklusu $V_2/V_1 = \beta$ , izvesti opšti izraz za koeficijent korisnog dejstva idealne toplotne mašine čiji se rad zasniva na opisanom termodinamičkom ciklusu i izračunati ga za $\beta = 2$ .

Ciklus u

p

–

V

dijagramu

Poznato

$\beta = 2$

Rešenje

Šta se traži i kojim postupkom

Koeficijent korisnog dejstva je odnos rada koji gas dobije u ciklusu i toplote koju pri tome primi. Pošto se gas na kraju ciklusa vraća u početno stanje, promena unutrašnje energije je nula, pa je rad jednak razlici primljene i odate toplote:

\eta = \frac{A}{Q_{\text{pr}}} = \frac{Q_{\text{pr}} - |Q_{\text{od}}|}{Q_{\text{pr}}} = 1 - \frac{|Q_{\text{od}}|}{Q_{\text{pr}}}

Ostaje da se za svaki deo ciklusa odredi razmenjena toplota, a temperature u stanjima izraze preko jedne, $T_1$ .

Temperature u stanjima

Stanja su: 1 na početku izohorskog zagrevanja, 2 na početku adijabatskog širenja i 3 na početku izobarskog sabijanja. Izobara $3 \to 1$ daje vezu zapremina i temperatura, $V/T = \text{const}$ :

\frac{V_2}{T_3} = \frac{V_1}{T_1} \quad \Rightarrow \quad T_3 = \beta T_1

Adijabata $2 \to 3$ povezuje stanja 2 i 3 preko $T V^{\kappa - 1} = \text{const}$ , gde je $\kappa = C_p/C_V$ :

\begin{aligned} T_2 V_1^{\kappa - 1} &= T_3 V_2^{\kappa - 1} \\ T_2 &= T_3 \beta^{\kappa - 1} = \beta^{\kappa} T_1 \end{aligned}

Toplote u ciklusu

Izohora $1 \to 2$ : rada nema, gas prima toplotu, $Q_{12} = nC_V (T_2 - T_1) = nC_V T_1 (\beta^{\kappa} - 1) > 0$ .
Adijabata $2 \to 3$ : nema razmene toplote, $Q_{23} = 0$ .
Izobara $3 \to 1$ : gas odaje toplotu, $Q_{31} = nC_p (T_1 - T_3) = -nC_p T_1 (\beta - 1) < 0$ .

Opšti izraz za koeficijent korisnog dejstva

\begin{aligned} \eta &= 1 - \frac{|Q_{31}|}{Q_{12}} = 1 - \frac{nC_p T_1 (\beta - 1)}{nC_V T_1 (\beta^{\kappa} - 1)} \\ &= 1 - \frac{\kappa (\beta - 1)}{\beta^{\kappa} - 1} \end{aligned}

Brojna vrednost

Molekul dvoatomskog gasa ima $j = 5$ stepeni slobode, pa je $C_V = \tfrac{5}{2} R$ , $C_p = \tfrac{7}{2} R$ i $\kappa = 7/5 = 1{,}4$ . Za $\beta = 2$ :

\begin{aligned} \eta &= 1 - \frac{1{,}4 \cdot (2 - 1)}{2^{1{,}4} - 1} = 1 - \frac{1{,}4}{1{,}639} \\ &= 1 - 0{,}8542 = 0{,}146 \end{aligned}

Rezultat

Opšti izraz: $\eta = 1 - \dfrac{\kappa (\beta - 1)}{\beta^{\kappa} - 1}$ , sa $\kappa = 7/5$ za dvoatomski gas.

Za $\beta = 2$ : $\eta = 14{,}6$ %.

Slični zadaci

Teme

Termodinamika i kinetička teorija gasova

Ispit u PDF-u, na Drive-u

Folder predmeta Fizika (E1)Na Drive-u: Predavanja (2023) · Zadaci sa rešenjima (2023) · Kolokvijumi (2021-2023) · Ispitna pitanja · Sve u jednom PDF-u · Stari materijali (2020-2021)

Ako si autor nečega što je ovde i želiš da se ukloni, piši mi na milossaric@outlook.com i uklanjam ga.